Конспект урока «Геометрия Лобачевского»

МБОУ "СОШ им. М. М. Рудченко с. Перелюб"

Исследовательская работа

ГеометрияЛобачевского

Автор :

Арутюнян Инга, ученица 10 А класса

МБОУ "СОШ им. М. М. Рудченко"

Руководитель :

Сапьянова Л. И., учитель математики

МБОУ "СОШ им. М. М. Рудченко"

Перелюб 2019 г.

Содержание

Паспорт..............................................................................................с.2

Введение........................................................................................с.4-6

Глава 1.Что представляет собой геометрия Лобачевского?..........с.7

1.1.Историясоздания...........................................................с.7-8

1.2.Модели.............................................................................с.8-9

Глава 2. Геометрия Лобачевского и Евклида.....................................с.10

Глава 3. Применение неевклидовой геометрии в жизни.................с.11

Заключение........................................................................................с.12

Списоклитературы.........................................................................с.13

Приложение 1......................................................................................с.14

Приложение 2......................................................................................с.15-16

Введение

Эйнштейн о Лобачевском не без зависти сказал: «Он бросил вызов аксиоме». Полагаю, что это аксиома настоящего процесса. Он берет этот принцип за основу как аксиому и на нем строит здание своей теории. Если изменить даже одну аксиому, изменится вся теория. Ведь отрицать одну из основных аксиом евклидовой геометрии (а пришлось сделать именно это) значило отрицать и саму геометрию.

Николай Иванович Лобачевский родился 20 ноября 1792 года в Нижнем Новгороде. Окончил Казанскую гимназию в конце 1806 года, показав хорошие знания, особенно по математике и языкам — латинскому, немецкому, французскому. В проявившемся уже тогда его интересе к математике — большая заслуга преподавателя гимназии Г. И. Карташевского. В 15 лет поступил на физико-математический факультет Казанского университета. В это время там читал лекции по математике профессор И. Бартельс (1769-1836). Он обратил внимание на одаренного мальчика и начал заниматься с Лобачевским. В 19 лет Николай Иванович получил степень магистра, а в 23 года стал профессором. В течение 40 лет преподавал в Казанском университете, в том числе 19 лет руководил им в должности ректора; его активность и умелое руководство вывели университет в число передовых российских учебных заведений.

Опрос

1.Слышали ли вы фамилию Лобачевский?

2.Кем был Н. И. Лобачевский?

3.Как расположены буквы на картинке: параллельно или нет?

По итогу опроса можно сделать вывод, что большинство обучающихся знают, кем был Н.И. Лобачевский. Благодаря зрительным искажениям, существует искусство (живопись, архитектура).Но одних наблюдений недостаточно, необходимо опираться на доказательства. «Новая», неевклидова геометрия открывает широкие возможности различным направлениям наук.

Актуальность : Во всех школах изучается геометрия Евклида, и большинство людей не знают о существование геометрии Лобачевского, хотя она намного точнее, правильнее, чем Евклидова геометрия.

Цель работы:Обосновать, чем отличается геометрия Лобачевского от геометрии Евклидова.

Задачи: 1)Выявить как создалась геометрия Лобачевского

2)Установить соответствии между геометрией Лобачевского и Евклида

3)Описать использование геометрии Лобачевского в науке

Проблема:Почему в школьной программе не изучается геометрия Лобачевского?

Глава 1. Что представляет собой геометрия Лобачевского?

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная эвклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.

В конце прошлого века в работах Пуанкаре и Клейна была установлена прямая связь геометрии Лобачевского с теорией функций комплексной переменной и с теорией чисел (точнее, арифметикой неопределенных квадратичных форм). С тех пор аппарат геометрии Лобачевского стал неотъемлемым компонентом этих разделов математики. В последние 15 лет значение геометрии Лобачевского еще более возросло благодаря работам американского математика Тёрстона установившего ее связь с топологией (непрерывность) трехмерных многообразий. Десятки работ ежегодно публикуются в этой области. Современные исследования все больше требуют делового владения геометрией Лобачевского.[1]

Геометрия Лобачевского пред­став­ля­ет со­бой тео­рию, бо­га­тую со­дер­жа­ни­ем и имею­щую при­ме­не­ния как в ма­те­ма­ти­ке, так и в фи­зи­ке. Ис­то­рическое зна­че­ние со­сто­ит в том, что её по­строе­ни­ем Ло­ба­чев­ский по­ка­зал воз­мож­ность су­ще­ст­во­ва­ния гео­мет­рии, от­лич­ной от евк­ли­до­вой, что зна­ме­но­ва­ло эпо­ху в раз­ви­тии гео­мет­рии и ма­те­ма­ти­ки во­об­ще.

1.1. История создания

«Начала» - величайший памятник деятельности Евклида, в котором он собрал воедино всё то, что сделали его предшественники в области геометрии и «словесной алгебры». Но не только в этом его заслуга. Он также внёс много своего, нового, оригинального. Вплоть до XX в. геометрию в школах преподавали по учебникам, в которые были включены евклидовы «Начала», переведённые и литературно обработанные.

Однако не всё написанное Евклидом удовлетворяло живших после него математиков. Великолепной была его попытка дать аксиоматическое изложение геометрии, т.е. сформулировать небольшое количество аксиом, из которых логически выводятся все теоремы геометрии. Список аксиом сразу же подвергся критике, некоторые из них оказались совсем не нужными, например, что «все прямые углы равны между собой».

В развитии Геометрии можно указать четыре основных периода, переходы между которыми обозначали качественное изменение геометрии.

Первый -- период зарождения геометрии как математической науки -- протекал в Древнем Египте, Вавилоне и Греции примерно до 5 в. до н. э. Первичные геометрические сведения появляются на самых ранних ступенях развития общества. Зачатками науки следует считать установление первых общих закономерностей, в данном случае -- зависимостей между геометрическими величинами.

Второй период развития геометрии связан со становлением геометрии в самостоятельную математическую науку: появились систематические её изложения, где её предложения последовательно доказывались. Известны упоминания о систематическом изложении геометрии. Сохранились и появившиеся около 300 г. до н. э. «Начала» Евклида.

Третий период выделяют с 1-й половины XVII в Р.Декартом, который ввёл в геометрию метод координат. Метод координат позволил связать геометрию с развивавшейся тогда алгеброй и зарождающимся анализом. Применение методов этих наук в геометрии породило аналитическую геометрию, а потом и дифференциальную.

Четвёртый период в развитии геометрии открывается построением Н. И. Лобачевским в 1826 новой, неевклидовой геометрии, называемой теперь геометрией Лобачевского.

1.2. Модели

Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского:

1) Псевдосфера (модель Бельтрами)

Итальянский математик Э. Бельтрами в 1868 году заметил, что геометрия на куске плоскости Лобачевского совпадает с геометрией на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. Простейший пример которых представляет псевдосфера. Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере. При этом длины, углы, площади понимаются в смысле естественного измерения их на псевдосфере. Однако здесь даётся только локальная интерпретация геометрии, то есть на ограниченном участке, а не на всей плоскости Лобачевского.

2)Модель Клейна

В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского. Плоскостью служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга. «Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку O, не лежащую на данной хорде а(то есть «прямой»), проходит сколько угодно не пересекающих её хорд («прямых») (например, b, b').

3)Модель Пуанкаре

Позже Пуанкаре, в связи с задачами теории функций комплексного переменного дал другую модель. За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями — преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми. Модель Пуанкаре замечательна тем, что в ней углы изображаются обычными углами.[4]

Глава 2. Геометрия Лобачевского и Евклида

«Чем отличается геометрия Лобачевского
от геометрии Евклида?»

Евклидова аксиома о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

Аксиома Лобачевского о параллельных прямых: через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её.

! Геометрия Лобачевского отличается от евклидовой лишь в одной аксиоме — пятой. Но главное различие кроется в понимании самой природы пространства.

Пятый постулат Евклида, формулировка которого в разных источниках приводится по-разному, с самого начала вызвала спор и желание перевести его в разряд теорем путем построения обоснованного доказательства. Кстати, нередко его подменяют другим выражением, на самом деле придуманным Проклом и известным также, как аксиома Плейфера. Оно гласит: на плоскости через точку, не принадлежащей данной прямой, возможно провести одну и только одну прямую, параллельную данной. [3]

Глава 3. Применение неевклидовой геометрии в жизни

Сам Лобачевский применял неевклидову геометрию для вычисления определенных интегралов при нахождении длины, площади или объема фигуры в своей геометрии. Но применение новых знаний не ограничилось математикой. Была установлена связь геометрии Лобачевского с физикой, а именно кинематикой – специальной (частной) теории относительности.

Применяется геометрия Лобачевского в живописи. В 2013 году в московском Музее современного искусства прошла выставка Маурица Корнелиса Эшера. Нидерландский художник-график известен благодаря своим работам, где он использует различные математические понятия, приемы и теории: пределы, ленты Мебиуса, геометрию Лобачевского. Заинтересовали работы-иллюзии и орнаменты( рис.1).

В 2015 году в Центральном зале центра дизайна ARTPLAY прошла еще одна не менее интересная выставка «Ван Гог. Ожившие полотна (Van Gogh Alive)». На его картинах отсутствует ровный фон, геометрия вангоговского пространства подчиняется законам, которые только предстояло открыть учёным 19-го столетия. Более того, во время просмотра посетители слушали классическую музыку. (рис.2)

Использование геометрии Лобачевского в искусстве не ограничивается живописью. Творчество Фрэнка Гери тому доказательство. Он продемонстрировал возможности современных технологий проектирования. Его здания похожи друг на друга словно детали «конструктора из титана», но «мнет и гнет» он их каждый раз по-другому. В этом заключается уникальность дизайна построенных объектов (рис.3).

Заключение

Заслуга Лобачевского состоит в том, что он не только высказал идею, но действительно построил и развил новую геометрию, логически столь же совершенную и богатую выводами, как евклидова, несмотря на её несоответствие обычным наглядным представлениям. Лобачевский рассматривал свою геометрию как возможную теорию пространственных отношений.

В ходе работы:

- изучили учебную литературу, связанную с жизнью Лобачевского;

-познакомились с особенностями его теории;

- рассмотрели применение неевклидовой геометрии в современной жизни.

Создание геометрии Лобачевского оказало огромное влияние на все науки. Ее результаты используются внутри математики и физики.

Непреходящее значение открытия геометрии Лобачевского для науки состоит в том, что оно разрушило приобретенные веками традиционные взгляды на окружающий мир, вывело ученых из узких рамок созданных ими стереотипов мышления. Они стали более восприимчивы к новым неожиданным научным открытиям.

Список литературы

1. http://www.unn.ru/site/images/docs/lichnost/vinberg.pdf Э. Б. Винберг . О Неевклидовой геометрии

2. https://bigenc.ru/mathematics/text/2177061 А. Д. Александров. Геометрия Лобачевского

3.https://vuzlit.ru/903351/istoriya_sozdaniya_geometrii_lobachevskogo Геометрия Лобачевского и ее модели

4. https://studfiles.net/preview/6226437/page:2/ Брянский государственный университет им. академика И.Г. Петровского. Лобачевский Попытки доказательства пятого постулата

Приложение 1

1.Слышали ли вы фамилию Лобачевский?

2. Кем был Н.И.Лобачевский?

3. Как расположены буквы на картинке: параллельно или нет?

Приложение 2 рис.1 Иллюзия и орнамент

рис.2 «Ван Гог. Ожившие полотна (Van Gogh Alive)»

рис.3 Здания Френка Гери похожи друг на друга словно детали «конструктора из титана», но «мнет и гнет» он их каждый раз по-другому

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/363847-konspekt-uroka-geometrija-lobachevskogo