Научная работа по математики

Региональный конкурс исследовательских работ и проектов школьников в области математики, прикладной математики

«МАТЕМАТИКА ВОКРУГ НАС»

Номинация: «За страницами учебника математики»

Тема: «Движение – это жизнь»

Автор: Ледовских Тимофей, ученик 6»а» класса

ГБОУ СОШ №3 г. Новокуйбышевска,

Самарской области

Научный руководитель: Мордвинова Наталья Николаевна,

учитель математики ГБОУ СОШ №3

г. Самара, 2019 г

Содержание

1. Введение………………………………………………………………………...3

2. Глава 1. Задачи на движение и их способы решения………………………..4

1.1 Арифметический способ решения……………………………………………4

1.2 Алгебраический способ решения…………………………………………….6

1.3 Виды движения………………………………………………………………..8

1.3.1) движение навстречу друг другу…………………………………………..8

1.3.2) движение в противоположные стороны………………………………….9

1.3.3) движение вдогонку……………………………………………………….9

1.3.4) движение с отставанием…………………………………………………10

1.3.5) движение по реке………………………………………………………….10

1.3.60 движение по кругу………………………………………………………..12

3. Глава 2 . Решение исторических и олимпиадных задач на движение……..12

2.1 Исторические задачи…………………………………………………………12

2.2 Олимпиадные задачи…………………………………………………………13

4. Заключение……………………………………………………………………..14

5. Список литературы…………………………………………………………….15

6. Приложение…………………………………………………………………….16

Введение

Человек всегда хотел знать, что там за горизонтом. Поэтому он любил путешествовать, а во время путешествий рождались задачи, которые мы сейчас называем задачами на движение.

Несмотря на относительную простоту задач на движение,некоторыеизнихтребуют красивых идей для своего решения.Поэтому,я решилглубжеразобраться в этой, заинтересовавшей менятеме.

Навыки, приобретенные мной в процессе изучения этогораздела математики, помогут мне не тольков школе,но и в дальнейшей жизни. Изучение задач на движение поможет мне развить логическое мышление, так как решение этих задач предполагает наличие умений правильно мыслить и логически рассуждать. В каждой задаче алгоритм заранее не известен и поэтому решение идёт путём рассуждений,которыеприводят к составлению уравнений и ихсистем.

Объект исследования: задачи на движение.

Предмет исследования: методы решения задач на движение.

Гипотеза исследования: если знать методы решения задач, можно решить любую жизненную задачу на движение.

Цель исследования: применить способы решения задач на движение при решении жизненных задач.

Задачи:

1) рассмотреть способы решения задач;

2) рассмотреть виды задач на движение;

3) найти исторические и олимпиадные задачи на движение.

Методы исследования: метод классификации, библиографии, анализа.

Практическая значимость исследования состоит в том, что полученная классификация задач и их методы решения помогут решить любую жизненную задачу на движение.

Работа состоит из введения, двух глав, заключения и литературы. Во введении сформулированы цель, задачи, практическая значимость работы. В первой главе рассмотрены способы решения задач. Во второй главе рассмотрены виды движений, решены задачи различными способами. В заключении сформулированы выводы.

Глава 1. Задачи надвижение и их способы решения.

В задачах данной работы считается, чтодвижение является равномерным. Этозначит,чтообъекты движутся с постоянными скоростями. Скоростью называется расстояние, пройденное за единицу времени.

Многиевеличинывматематикеимеютспециальныеобозначения.Вчастности, общепринято,что:

путь обозначается буквой S; скорость – буквой V;

время – буквой t.

S= V· t(расстояние равно скорости, умноженной на время).

Это равенство называется формулой пути. Оно устанавливает зависимость между тремя основными величинами, характерными для движения любого объекта.¹

1.1. Арифметический способ решения

Задачи на движение можно решать с помощью двух способов арифметического и алгебраического. Рассмотрим отдельно каждый из этих способов.

Арифметическийспособзаключаетсявтом,чтозадачарешается отдельными арифметическими действиями. Значение неизвестнойвеличины

определяется через известные по условию задачи величины. При этом необходимовыяснить, какая из трех основных величин (пройденный путь, скорость, время) неизвестна, и с помощью какогоарифметического действия можно определить эту неизвестнуювеличину.Напомним, что за основу берется формулапройденного пути S =V ·t,откудаполучаем еще две формулы:

V= S: t– для определения скорости,

t= S: V– для определения времени движения.

Обратим внимание на то, что существуют несколько способов оформления решения задач арифметическим способом:

а) вопрос – действие;

б) действие – пояснение;

в) составление числового выражения и нахождение его значения; г) в виде содержательной схемы (этот способ применяется реже).

Рассмотрим и решим задачу..

Задача 1. Расстояние от дома Егора до торгового центра 120 км. Сначала он добирался на велосипеде 3 часа со скоростью 14 км/ч, потом на автобусе со скоростью 25 км/ч и ехал 3 часа. Оставшийся отрезок пути он прошел пешком со скоростью 3 км/ч. Какое время Егор двигался пешком?

Решение. Решим задачу арифметическим способом, используя все способы оформления.

а) Вопрос – действие

Сколькокилометров Егор проехал на велосипеде? 14 · 3 =42(км)

Сколькокилометров он проехал на автобусе?

25 · 3 = 75(км)

Сколькокилометров проехал на велосипеде ина автобусе вместе?

42+75=117 (км)

Сколькокилометров он прошел пешком?120-117 = 3(км)

Сколько времени Егор шелпешком? 3 : 3 = 1 (ч)

б) Действие – пояснение.

14 · 3 = 42(км)– проехал навелосипеде.

25 · 3 = 75 (км)– проехал наавтобусе.

42+75=117 (км)– проехал на велосипеде ина автобусе вместе.

120-117 = 3(км)– прошелпешком.

3 : 3 = 1 (ч)– с такойскоростью шелпешком.

в) С помощью числовоговыражения

(120 - (14 · 3 + 25 · 3)) : 3 = (340 – (42 + 75)) : 3 = 3:3= 1 (ч)

г) В виде схемы (рис.1)

25 км/ч

3 ч

14 км/ч

3 ч

25 · 3 = 75 км

Ответ:1 час.^Рис.1

Задача 2. Из сел Знаменское и Ленинское одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Первый шел со скоростью 3,4 км/ч, второй со скоростью 5,6 км/ч. Через 2 часа пути расстояние между ними осталось 18 км. Через какое время они встретятся? Какое расстояние было между двумя селами?

Решимзадачу,используяспособоформления«Действие-пояснение».

3,4 + 5,6 = 9 (км/ч) – скорость сближения пешеходов.

9 км/ч · 2ч=18 (км) – расстояние, пройденное участниками пути за 2 часа.

18 км + 18 км= 36 (км) – расстояние между двумя селами.

36 км : 9 км/ч = 4 (ч) – время, через которое пешеходы встретятся.

Ответ:36 км, 4 часа.

1.2. Алгебраический способ решения

Решение задач алгебраическим способом осуществляется при помощи уравнений. Для того чтобы решить задачу с помощью уравнения, надо сначала по условию задачи составить его. Для этого соотношения между величинами в задаче необходимо перевести на математический язык. Вот примерная схема (алгоритм) решения задачи алгебраическим способом:

Выбирают одну из неизвестных величин, входящих в условие задачи, и обозначают ее буквойx (можно другой латинскойбуквой). Обычно через xобозначают искомую величину,т.е.ту,которуютребуется определить. Но иногдабываетудобнееобозначить через xкакую-либо другую неизвестную величину,связанную с искомойвеличиной.

Все остальные неизвестные величины,входящиев условие задачи, выражают через x. При этом необходимострого следить за тем, чтобы все однородныевеличины были выражены в единицах одногонаименования (приведены к одной единицеизмерения).

На основании данной в условии задачи зависимости между величинами составляютуравнение.

4. Решают составленноеуравнение.

5. Далее необходимопроверить, удовлетворяет линайденный корень условиюзадачи.

6. Записьответа.

Решим следующую задачу алгебраическим способом.

Задача 3. Велосипедист ехал 3 часа по грунтовой дороге и 2 часа по шоссе. Всего он проехал 49 км. Скорость его по шоссе была на 5 км/ч больше, чем скорость по грунтовой дороге. С какой скоростью перемещался велосипедист по шоссе и по грунтовке?

Решим задачу с помощью уравнения, причем результаты анализа задачи постепенно будем вписывать в таблицу.

Задача 3. Велосипедист ехал 3 часа по грунтовой дороге и 2 часа по шоссе. Всего он проехал 49 км. Скорость его по шоссе была на 5 км/ч больше, чем скорость по грунтовой дороге. С какой скоростью перемещался велосипедист по шоссе и по грунтовке?

Решим задачу с помощью уравнения, причем результаты анализа задачи постепенно будем вписывать в таблицу.

Общий пройденный велосипедистом путь составляет 49 км, поэтому можно составить уравнение:

5 · (x+ 5) + 3· x= 49

5x + 25 + 3 x= 49

8x+ 25=49

8x= 49 - 25

x= 24 : 8

x= 3

Значит, скорость движения по грунтовой дороге 3 км.

Тогда скорость движения по шоссе находится так:

3+5=8 (км/ч).

Ответ: 8 км/ч.

Задача 4. Самолет выполняет рейс между городами со скоростью 180 км/ч. если бы он увеличил скорость на 20 км/ч, то он мог бы выполнять рейс на 30 минут быстрее. Найти расстояние между городами.

Решение.Пусть x ч – время, за которое самолет выполняет обычный рейс. Тогда время, за которое он выполнил бы рейс с большей скоростью, будет равен: (x–0,5) ч.

Находим новую скорость передвижения лайнера: 180 + 20 = 200 км/ч.

Составим таблицу:

Так как это один и тот же рейс, данные расстояния будут равны, что позволит составить нам уравнение:

200· (x -0,5) = x ∙ 180;

200x – 100 = 180 x;

200x - 180x = 100;

20x= 100;

x= 100 : 20;

x=5 ч– время полета.

Находим расстояние между городами:

5 ч ∙ 180 км/ч = 900 км.

Ответ: 900 километров.

1.3. Виды задачнадвижение

1.3.1) движение навстречу друг другу

При решении задач на встречное движение существенной характеристикой является скорость сближения движущихся объектов. Расстояние, на которое сближаются движущиеся объекты за единицу времени, называют скоростью сближения.²

При встречном движении скорость сближения равна сумме скоростей движущихся объектов, т. е. V_сближ. = V₁ + V₂.

Расстояние между пунктами определяется по формулеS =V _сближ. · t _встр.

Рассмотрим решение задачи на встречное движение.

Задача 5. Расстояние между городами А и В 435 км. Из А в В вышел легковой автомобиль со скоростью 60 км/ч, а через 1 часа навстречу ему из В в А \второй автомобиль со скоростью 65 км/ч. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение. Выполним схематический чертеж к задаче (рис.3), выделим на нем участок движения скорого поезда в течение 1 часа (АС) и участок одновременного движения навстречу друг другу (ВС).

А

В

t₁ =1ч V₁ =60км/ч V₂ = 65км/ч

Через час после выезда первого автомобиля расстояние между автомобилями стало равно:

1) 435-60=375 (км)

Исходя из этого, автомобили встретятся через время, которое определяется по формуле t = S/ (V₁ +V₂):

2) 375 км/ (60 км/ч+65 км/ч)=3 (ч)

Таким образом, до момента встречи первый автомобиль будет находиться в пути 4 часа и пройдет путь, который можно определить по формуле:

S= V· t

60 км/ч ∙ 4 ч =240 (км)

Ответ:на расстоянии 240 км от города А.

1.3.2) движение в противоположных направлениях

При решении задач такоготипа суммарная скорость имеет другое название. Расстояние, на которое удаляются движущиеся предметы за единицу времени, называют скоростью удаления. При движении в противоположных направлениях скоростьудаленияравна сумме скоростей движущихся объектов, т.е.V _уд. = V₁+V₂.

Задача 6. Из пункта М вышел пешеход со скоростью 5км/ч. Через 4 часа из этого же пункта в противоположном направлении выехал всадник со скоростью 11 км/ч. через сколько часов после выезда всадника расстояние между ним и пешеходом станет 68 км?

1) 5∙4=20 км – прошел пешеход до выезда всадника;

2) 68-20=48 км – одновременно прошли вместе пешеход и всадник;

3) 5+11=16 км/ч - скорость удаления путников;

4) 48:16=3 ч – время, через которое расстояние между ними составит 68 км.

Ответ: через 3 часа. ³

1.3.3) движение водномвдогонку

При движении в одном направлении (вдогонку) скорость сближения объектов равна разности их скоростей: V_сближ. = V₁ – V₂ (V₁ > V₂).⁴

Задача 7. Одновременно от одной пристани в одном направлении вышли катер и буксир. Скорость катера составляет 27 км/ч, скорость буксира – 18 км/ч. какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Решение.

27 – 18 = 9 (км/ч) – скорость удалениякатера и буксира.

9 ∙ 3 = 27 (км) – расстояние между катером и буксиром через 3 часа.

Ответ:27 км.

1.3.4) движение сотставанием

Рассмотрим задачу, когда объекты начали свое движение из разных пунктов, но в одном направлении. При движении в одномнаправлении (с отставанием) скоростьудаленияобъектов равна разности их скоростей: V_уд. = V₁–V₂(V₁> V₂).

Задача 8. Антон вышел из дома (А) в парк (С) со скоростью 100 м/мин. Одновременно с ним из школы (В), которая находится на расстоянии 700 м от дома, со скоростью 80 м/мин вышла его сестра Нина, которая тоже отправилась парк. Какое расстояние между ними было через 20 минут? Через сколько минут после начала движения Антон догонит Нину?

Решение.

Расстояние, которое прошел Антон за 2 минуты, составит: 100 ∙ 2 = 200 м.

Расстояние, которое прошла Нина за эти же 2 минуты: 80 ∙ 2 = 160 м.

Теперь нужно найти расстояние между ними. Составляем выражение:

700 + 160 – 200 = 660м – через 2 минуты будет между ними.

Мы видим, что с каждой минутой Антон приближается к Нине на 20 метров, и в конце концов догонит ее. Поэтому скорость, равная 20м/мин, является скоростью сближения двух пешеходов: 100 – 80 = 20 м/мин

Найдем время, через которое Антон догонит Нину: 700 : 20 = 35 мин.

Ответ:660 метров, 35 минут.

1.3.5) движение пореке

При решении задач на движение по реке помогают знания из жизненного опыта: озеро (море) – стоячая вода, поэтому при движении она не помогает, но и не препятствует движению катера (или другого объекта). Очевидно, что катер движется с той скоростью, которая называется собственной скоростью катера (скоростью, обусловленной мощностью его двигателя).

^Vкатера^{= V} собств.

При движении по течению реки скорость катера увеличивается, т.к. движущаяся вода как бы «подталкивает», т.е. убыстряет его движение. В этом случае к собственной скорости катера необходимо прибавить скорость течения реки.

^Vпо теч.^{= V} собств.^{+ V} теч. р.

Отсюда выведем еще две формулы:

^Vсобств.^{= V} по теч. ^{– V} теч. р.

^Vтеч. р.^{= V} по теч. ^{– V} собств.

При движении против течения реки скорость катера уменьшается,т.к.река замедляет егодвижение, «сносит» катер. В этомслучае отсобственной скорости катера следует вычесть скорость теченияреки.

^Vпр. теч.^{= V} собств.^{– V} теч. р.

Из формулы получаем:

^Vсобств^{= V}пр. теч.^{+ V}теч.р.

^Vтеч. р. ^{= V}собств.^{– V} пр.теч.

Выведем еще две формулы, которые полезно знать:

формулу нахождения собственной скорости, если известны скорость по течению и скорость противтечения.

^Vпо теч. ^{= V}собств.^{+ V}теч.р.⁽¹⁾

^Vпр. теч. ^{= V}собств.^{– V}теч. р.⁽²⁾

Сложим (1) и (2), получим: V_потеч. + V _пр.теч. = 2V, откуда имеем:

^Vсобств⁼

2) формулу для нахождения скорости течения реки по темже известным величинам. Вычтем (2) из (1),получим:

V_потеч.– V_пр.теч. = 2V, откуда получаем:

^Vтеч. р.⁼

Рассмотрим решение задачи на движение.

Задача 9 От пристани против течения реки отправилась моторная лодка, собственная скорость которой 10 км/ч. Через 45 минут после выхода у лодки сломался мотор, и ее течением реки принесло обратно к пристани. Какова скорость течения реки?

Решим задачу с помощью уравнения, вписывая результаты анализа задачи в таблицу.

Пустьxкм/ч – скорость течения реки. Моторная лодка против течения реки шла со скоростью (10-x)км/ч, в пути была 45 минут.

Переведем время движения лодки против течения в часы: 45/60=3/4 часа=0,75ч.

То есть против течения моторная лодка прошла следующий путь:

(10-x)∙ 0,75 км.

Далее лодка с испорченным двигателем 3 часа плыла по течению со скоростью xкм/ч обратно к пристани. Весть этот путь равен:

3 ∙ xкм.

Так как расстояния туда и обратно равны, можно составить следующее равенство:

3 ∙ x = (10-x)∙ 0,75

3 ∙ x = 7,5 - 0,75∙x

3 ∙ x+ 0,75 ∙ x= 7,5

3,75 ∙ x = 7,5

x = 7,5 :3,75

x = 2

Значит, скорость течения реки 2 км/ч.

Ответ: 2 км/ч.

1.3.6) движение по кругу

Если два объекта одновременно начинаютдвижение по окружности в одну сторону со скоростямиV₁и V₂соответственно(V₁> V₂),топерваяточкаприближаетсяковторой соскоростьюV₁– V₂и вмомент,когдапервый объект в первый раз догоняет второй, онпроходитрасстояние на одинкругбольше.

Задача 10. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 14 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них больше чем скорость другого на 21 км/ч?

Решение. Скорость одного на 21 км/ч больше, чем у другого – это означает, что скорость вдогонку составляет 21 км/ч.

Найдем путь, который разделяет мотоциклистов изначально:

14 : 2 = 7 км.

Узнаем, за какое время он пройдет расстояние между ними:

7 : 21 = 1/3 (ч).

Переводим 1/3 часа в минуты: 1/3∙60=20 мин.

Ответ: мотоциклист преодолеет разницу за 7 минут.

3. Глава 2. Решение исторических и олимпиадных задач на движение

Задачи на движение появились с давних времен. В наше время сохранились исторические задачи. Решимнекоторыеизних.

2.1. Исторические задачи

Задача 10. Некий юноша был послан из Москвы в Санкт-Петербург. Он проходил за день 50 верст. Через день к нему был послан гувернер, который проходил за день 25 верст. Через сколько дней гувернер догонит юношу?⁵

Решение.Найдем скорость сближения пешеходов:

1) 55 – 50 = 5 (в/д);

Найдем время движения в пути:

2) 50 : 5 = 10 дней

Ответ: через 10 дней они встретятся.

Задача 11. Пароход проходит путь от Астрахани до Казани за 6 суток, а от Казани до Астрахани за четверо суток. За сколько суток пройдут то же расстояние поты, идущие следом?

Скорость парохода против течения реки равнапути, а скорость по течению равна пути. Тогда скорость течения реки равна (- ) : 2 =, а время , за которое плоты пройдут этот путь равен 24 суткам.

2.2. Олимпиадные задачи

Задача 12.. Двое путников одновременно вышли из А. в В. Первый из половину времени, затраченного им на переход, шел со скоростью по 5 км/ч, а затем пошел по 4 км/ч. Второй же путник первую половину пути них проходил по 4 км/ч, а затем пошел по 5 км/ч. Который из путников раньше пришел в В?

Пусть первый проходит весь путь за t часов. Тогда весь путь равен 2t+2,5t= 4,5t.

Тогда время второго будет равно += 1, 0325t. Получили, что время второго больше.

Ответ: первый придет раньше.

Задача 4:Капитан парохода рассчитал, что если пароход будет идти по 18км/ч, то придет к пристани на 40 минут раньше намеченного времени; если же пароход будет идти по 12, 5 км/ ч, то опоздает на 44 минуты. На каком расстоянии от пристани сделан расчет?

При данном расстоянии скорость парохода и время нахождения его в пути обратно пропорциональны, t_{2 =} 18: 12,5 = 22 : 15.

- = + = 1,4 часа.

Дальнейшее очевидно. Время первого равно 3 часа, время второго 4,4 часа, расстояние 55 км.

Ответ: 55 км.

Задача 13. Длина трамвайного маршрута 8,4 км. На нем всего 15 остановок, включая концевые Остаточные остановки делят весь маршрут на равные участки (пролеты).Средняя техническая скорость трамвая на пролете 14 км/ч. Средняя продолжительность каждой остановки - минута. На линии всего 20 трамваев. Какое наибольшее время нужно ожидать трамвая на остановке, если известно, что трамваи следуют друг за другом равномерно?

За один рейс в оба конца трамвай делает 28 остановок, затрачивая на них 28 минут. Расстояние в оба конца 16,8 км трамвай проходит за t = 16,8 :14 = 1,2 часа = 1 час 12 минут. Весь маршрут в оба конца занимает 28 минут + 1 час 12 минут = 100 минут. Интервал между двумя трамваями по времени 100 минут : 20 = 5 минут.

Наибольшее время ожидания рано 5 минут – 1 минуту = 4 минуты.

Ответ: 4 минут.⁶

Заключение

В своей работе я рассмотрел разные типы задач на движение и способы их решения. При решении задач на движение необходимо правильно мыслить и логически рассуждать. Решение состоит в том, чтобы как следует разобраться в условии задачи, распутать все связи между участвующими объектами.

Задачи на движение всегда интересовали человечество. Просмотрев различные книги, я убедился в этом. Немало задач на движение относится к разряду олимпиадных. Мне нравится решать задачи на движение.

Основные задачи, которые ставились перед началом работы, были выполнены. Я изучил различные типы задач на движение, нашел и решил исторические и олимпиадные задачи.

Вывод: зная виды и методы решения задач на движение можно решить любую жизненную задачу.

Список литературы

Газета Математика; статья: «Мы едем, едем,едем…»

Г.И. Григорьева– Подготовка школьников к олимпиадам по математике:5

– 6 классы. Методическое пособие. Изд. – Глобус, 2009.

Г.В. Дорофеев, И. Ф. Шарыгин – Математика: учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. Изд. – Просвещение,2006.

Ф.Ф.Нагибин,Е.С.Канин.–Математическаяшкатулка:Пособие для учащихся 4 – 8 кл. Изд. – Просвещение,1988.

А. В. Шевкин – Текстовыезадачи поматематике5 – 6 классы. Изд. – Илекса,2011.

Г.А.Сахабиева, В. А. Сахабиев – Учебное пособие поматематике.Изд. –Физматлит,2005.

Приложение

Задача 1. Находясь на расстоянии 30 км, два пешехода вышли навстречу друг другу. Через 3 часа они встретились. С какой скоростью шел каждый пешеход, если скорость второго была на 2 км/ч больше, чем у первого пешехода?

Решение.

Пустьxкм/ч – скорость второго пешехода, тогда скорость второго – (x+ 2) км/ч.

Путь, который прошли пешеходы навстречу друг к другу, составляет:

3 ∙ x км – путь первого пешехода;

3 ∙ (x + 2) км – путь второго пешехода.

По условию задачи, общее расстояние составляет 30 км. Можно составить уравнение:

3 ∙ x +3 ∙ (x + 2) =30

3 ∙ x + 3 ∙ x + 6=30

6 ∙ x + 6=30

6 ∙ x =30-6

6 ∙ x =24

x = 24:6

x = 4

Значит, скорость первого пешехода составляет 4 км/ч. Тогда скорость второго:

4+2=6 км/ч.

Ответ: 4 км/ч, 6 км/ч.

Задача 2. Из села Знаменское в село Ленинское одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Первый шел со скоростью 3,4 км/ч, второй со скоростью 6,6 км/ч. через 2 часа им осталось пройти 18 км. Через какое время они встретятся? Какое расстояние было между селами?

Решение.При встречном движении скорость сближения равна сумме скоростей движущихся объектов, т. е. V_сближ. = V₁ + V₂.

Используя формулу, находим скорость сближения пешеходов:

3,4 + 5,6= 9 км/ч.

Определим расстояние, пройденное участниками движения, за 2 часа:

9 ∙ 2 =18 км.

Найдем время, через которое два пешехода встретятся:

36 : 9=4 часа.

Определим расстояние между населенными пунктами:

18 + 18 = 36 км.

Ответ:через 4 часа; 36 км.

Задача 3. Два самолета вылетели одновременно с одного аэродрома в противоположных направлениях. Через полчаса полета расстояние между ними было 720 км. Первый самолет летел со скоростью 15 км/мин. С какой скоростью летел второй самолет?

V₁=15км/минV₂= ?км/мин

S = 720 км

Определяем, какое расстояние пролетит первый самолет за полчаса:

15∙30= 450 км.

Определяем расстояние, которое преодолел второй самолет:

720-450=270 км.

Используя формулу движения, находим скорость второго самолета:

270:30=9 км/мин.

Ответ: скорость второго самолета 9 км/мин.

Задача 4. От Луганска до Львова летят самолет и вертолет. Сначала самолет был позади вертолет на 400км. Скорость самолета 12 км/мин, скорость вертолета- 2 км/мин. Какое расстояние будет между ними через 20 минут? 1 час? Когда самолет догонит вертолет?

Решение.

Определяем путь самолета за 20 минут: 20 ∙ 12 = 240 км.

Определяем путь вертолета за 20 минут: 2 ∙ 20 = 40 км.

Находим определим расстояние между транспортными средствами через 20 минут:

400 + 40 – 240 = 200 км.

Можно эту задачу решить другим способом. Определяя разницу между скоростями, мы из большей скорости вычитаем меньшую. Этим же действием мы находим скорость сближения объектов, следовательно:

1) 12 – 2 = 10 км/ч – скорость сближения объектов.

2) 10 ∙ 20 = 200 км – расстояние, на которое приблизится самолет к вертолету через 20 минут.

3) 400 - 200=200 км – расстояние, которое будет разделять самолет и вертолет через 20 минут.

Определим, какое расстояние между ними будет через 1 час, используя уже известную нам скорость их сближения:

4) 10 ∙ 60=600 км – расстояние, на которое приблизится самолет к вертолету через 1 час.

5) 600 – 400 = 200 км – на такое расстояние самолет обгонит вертолет через 1 час.

Самолет поравняется с вертолетом, когда начальное расстояние между ними сократится с 400 км до нуля, т.е. когда самолет преодолеет путь в 400км. Определим, сколько минут понадобится самолету для этого:

6) 400 : 10 = 40 мин.

Ответ: 200 км, 200 км, 40 минут.

Задача 5. Со станции вышел товарный поезд со скоростью 50 км/ч.Через 3 ч с той жестанции вслед за ним вышел электропоезд со скоростью 80 км/ч. Через сколькочасов после своего выхода электропоезд догонит товарный поезд?

Решение. Решим задачу алгебраическим способом. Пусть время в пути электропоезда = хч.

Время в пути товарного поезда (х+ 3) ч. Электропоезд проедет до встречи с товарным 80хкм. Товарный поезд до встречи проедет 50 · (х+ 3) км.

Составим уравнение и решим его. 80х= 50 · (х+ 3)

80х= 50х+ 150

30х= 150

х= 5

Ответ:5 ч.

Задача 6. Петя увидел Машу по дороге в школу, когда Маша уже была на мосту, и решил ее догнать. Через сколько минут он догонит Машу, если она идет со скоростью 40м/мин, а Петя бежит со скоростью 50 м/мин, и Петя находится на расстоянии 70 метров от моста?

Решение.

При решении задачи применяем формулу V_сближ. = V₁ – V_2:

50 - 40 = 10 (м/мин) – скорость сближения Пети и Маши.

70 : 10 = 7 (мин) – время, через которое Петя догонит Машу.

Ответ:7 минут.

Задача 7. Двигаясь по течению реки, за 6 часов лодка прошла 102 км. Определить собственную скорость лодки, если скорость течения – 4км/ч.

Решение.Узнаем, с какой скоростью лодка двигалась по реке:

1) 102 : 6 = 17 км/ч.

Определим собственную скорость лодки. Для этого из скорости, по которой она двигалась по реке вычтем скорость течения реки, используя формулу

^Vпо теч. ^{= V}собств.^{+ V}теч.р.

2) 17 - 4 = 13 (км/ч)

Ответ:13 км/ч.

Задача 8. За какое время при движении против течения реки лодка пройдет 56 км, если скорость течения - 2 км/ч, а ее собственная скорость на 8 км/ч больше скорости течения?

Решение.

Найдем собственную скорость лодки: 2 + 8 = 10 км/ч.

Лодка движется против течения реки, поэтому ее скорость движения будет равна: 10 – 2 = 8 км/ч.

Остается найти время, за которое лодка преодолеет 56 км:

56 : 8 = 7ч.

Ответ:7 ч.

Задача 9. Катер по течению реки прошел 87,5 км за 5 часов, а против течения это же расстояние он прошел за 7 часов. Какова собственная скорость катера и скорость течения реки?

Решение.

87,5 : 5 = 17,5 (кмч) – скорость движения по течению реки;

87,5 : 7 = 12,5 (км/ч) – скорость противтечения.

(17,5 + 12,5) : 2 = 15 (км/ч) – собственная скоростькатера.

(17,5 - 12,5) : 2 = 2,5 (км/ч) –скорость течения.

Ответ:15 км/ч, 2,5 км/ч.

Задача 10. Заяц и олень участвуют в соревнованиях по бегу на стадионе. Заяц обгоняет оленя на два круга каждую минуту. Во сколько раз заяц бежит быстрее оленя, если скорость оленя 50м/мин, а длина трассы 100 метров?

Решение.

Находим скорость зайца:

1) 50 + 200 = 250 (м/мин);

Найдем соотношение между скоростями двух животных:

2) 250 : 50 = 5 – во столько раз заяц бежит быстрее, чем олень.

Ответ: в 5 раз.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/364797-nauchnaja-rabota-po-matematiki