Методические материалы по теме Случайные величины и их числовые характеристики

Методические материалы по теме

Случайные величины

и их числовые характеристики

учитель Попченко Светлана Николаевна

Содержание

Введение………………………………………………………………………..4

Случайные величины и их числовые характеристики

1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины……………………………………………………………………6

Математическое ожидание случайной величины и его свойства…..11

Дисперсия случайной величины и её свойства………………………..16

Практическая часть……………………………………………………………...20

Литература……………………………………………………………………….26

Введение

В содержание среднего образования России вносятся существенные изме­нения, в частности, в программу по математике основной школы включаются теория вероятностей и элементы статистики. Теория вероятностей – это ма­тематическая наука о случайном и закономерностях случайного. До недавнего времени в школьном курсе математики и других естественных наук господствовала только одна идея – о существовании жестких связей между явлениями и событиями. Эти связи представлены в форме законов физики, химии, математики; даже в курсе истории нет места случайности: он построен так, что складывается впечатле­ние – все события предопределены и закономерны.

Но окружающий нас мир полон случайностей. Это землетрясения, ура­ганы, подъемы и спады экономического развития, войны, болезни, случай­ные встречи и так далее. Впрочем, мысль о том, что в окружающем мире много случайного, останется очевидной, но бесплодной, если не научить­ся измерять случайность числом, вычислять шансы различных событий. Те­ория вероятностей в средней школе – это признание обществом необходи­мости формирования современного мировоззрения, для которого одинаково важны представления и о жестких связях, и о случайном. Без знания по­нятий и методов теории вероятностей и статистики невозможна организа­ция эффективного конкурентоспособного производства, внедрение новых ле­карств и методов лечения в медицине, обеспечение страховой защиты граждан от непредвиденных обстоятельств, проведение обоснованной социальной по­литики.

Теория вероятностей как наука начала складываться в XVII веке. Источни­ком задач для нее служили азартные игры. В частности, игра в кости, которая тогда была очень распространена в Западной Европе. В этих задачах главное – выбор равновозможных элементарных событий и правильный подсчет комби­наций этих элементарных событий. До сих пор, как анахронизм, во многих начальных курсах теории вероятностей сохраняется преоб­ладание комбинаторных задач, связанных с азартными играми. Такие задачи есть и в курсе теории вероятностей, но они даны, в основном, для упражнений и иллюстраций.

Одновременно с развитием теории вероятностей стала развиваться стати­стика. К XVII веку относятся и первые научные применения статистики в демографии и страховании, идеи о случайных ошибках в измерениях.

Для нашего времени весьма актуален вопрос о введении в школьную программу элементов теориивероятностей. На первый взгляд особой проблемы здесь нет. Основные формулы этой теории доволь­но просты, и школьники могут довольно быстро научиться решать задачи, используя эти формулы.Но «сколь мало знание формул комбинаторики и классической вероятностной модели способствует развитию вероятностной ин­туиции» [8, с. 54]. Более того, следует вспомнить,что «опыт преподавания основ теории вероятнос­тей в школе в период реформы математического образования 60—70 гг. на абстрактно-формальном уровне, в традиционной схеме урока дал в основ­ном негативные результаты и привел к изъятиюэтого материала из школьных программ» [8, с. 54]. Поэтому«необходимо не просто научить решать какие-то ча­стные задачи, но выработать элементы вероятност­но-статистического мышления» [8, с. 65].

Элементы теории вероятностей пытались ввести в отечественную школу на протяженииXIX—XX вв. Но каждый раз эти попытки оканчивались неуда­чей. Математики и психологи пытались объяснитьэти неудачи по-разному. Например, Д.В.Маневичутверждает, что вероятностные понятия вызывают ощущения протеста из-за того, что они неустойчи­вы как опорные образы мышления. В самом деле, многие математические понятия усваиваютсяс детства на основе житейской практики, а вот сти­хийно-эпизодических наблюдений случайностей оказывается недостаточно для восприятия вероят­ностных идей и методов.

Изучению вероятностных понятий должен пред­шествовать процесс накопления необходимых интуитивных представлений о конкретных случай­ных явлениях окружающего мира. Причем такойпроцесс не должен быть стихийным и кратковре­менным.

А.Плоцки, например, утверждает, что изучению стохастики в школе должен предшествовать «дол­гий период формирования интуитивных основ по­нятий и методов, образования некоторых идей и развития особой интуиции как нового важного ас­пекта математической культуры» [2, с. 39].

Как же следует организовывать этот процесс«интуитивных накоплений»? Прежде всего, путем широкого эксперимента, проводимого самими уча­щимися. Нельзя «даватьученику знания», а потом ждать, что он начнет применятьих, в том числе и творчески. Как утверждает А.Плоцки, «из-за своей специфики стохастика может быть математикой,понимаемой каждым учеником как математика, открытая им самим» [2, с. 42].

Одна из важнейших целей обучения школьни­ков элементам стохастики состоит в целенаправ­ленном развитии идеи о том, что в природе нали­чествуют статистические закономерности. Выпол­нение этой задачи нельзя сводить к изучению со­ответствующего математического аппарата, к дея­тельности учащихся в мире абстрактных моделей.Более важно помочь им правильно осознать реаль­ную действительность, открыть для себя вероятно­стную природу окружающего мира, показать, что в мире случайностей можно не только хорошо ори­ентироваться, но и активно действовать.

Случайные величины

и их числовые характеристики

Понятие случайной величины. Закон распределения

случайной величины

Определение.Случайной величиной, связанной с данным опытом называется величина, которая при данном осуществлении данного опыта принимает то или иное числовое значение, заранее не известное какое именно.

Случайные величины обозначаются Х,Y и т.д.

Примеры.

1) Опыт - бросается игральная кость один раз. Случайная величина Х - число выпавших очков. Множество значений случайной величиныХ={1,2,3,4,5,6}.

2) Опыт стрельба по цели до первого попадания. Случайная величина Y - число израсходованных патронов – имеет множество значений {1,2,3,…}=N.

3) Рост наудачу выбранного человека можно рассматривать как случайную величину, измеряя его, например, в сантиметрах.

4) Стрелок стреляет в мишень. В каждом круге на этой мишени написано некоторое число очков. Случайной величиной можно считать количество очков, выбитых при одном выстреле. Другой случайной величиной можно считать сумму очков при нескольких выстрелах.

5) Срок службы телевизора или стиральной машины - случайная величина. Срок службы отсчитывается в днях от момента выпуска или продажи. Свойства этой случайной величины важны, например, при установлении гарантийного периода на новый прибор.

6) Число бракованных деталей в партии из 100 одинаковых деталей, взятых на контроль – случайная величина.

7) Напряжение в бытовой электрической сети – случайная величина, значения которой колеблются около 220 вольт.

8) Вес расфасованных продуктов может несколько отличаться от веса, указанного на упаковке. Шоколадный батончик массой 50 г на самом деле может весить чуть больше или чуть меньше. Потребитель такие отличия не заметит. Зато производителю батончиков колебания в весе небезразличны. В случае серьёзного смещения среднего веса в ту или иную сторону производитель может понести убытки.

9) Важным примером случайной величины является число успехов в серии испытаний Бернулли. Пусть, например, проводится 10 испытаний Бернулли. Число успехов в этой серии может принимать любое целое значение от 0 до 10. Число неудач также является случайной величиной.

10) Будем бросать монету до первого выпадения орла. Число бросаний будет случайной величиной, значением которой может быть любое натуральное число.

Определение. Случайная величина называется дискретной, если она принимает конечное или счетное множество значений.

В примерах 1,2, 3, 4, 6, 9, 10 случайные величины являются дискретными.

Определение. Случайная величина называется непрерывной, если она принимает все значения из некоторого промежутка (или объединения промежутков).

В примерах 5, 7, 8 случайные величины являются непрерывными.

Разные случайные величины могут иметь одно и тоже множество возможных значений. Чтобы полностью охарактеризовать случайную величину, кроме множества значений необходимо указать, с какой вероятностью случайная величина принимает то или иное своё значение.

Определение. Любое правило, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называетсязаконом распределения случайной величины.

Для дискретной случайной величины Хзакон распределения может быть задан виде таблицы.

В верхней строке перечисляются все возможные значения случайной величины Х (обычно в порядке возрастания), а в нижней строке указываются вероятности соответствующих значений: - это вероятность того, что случайная величина Х принимает значение .

Так как в результате каждого опыта случайная величина Х обязательно принимает только одно из значений: , ,…, ,(…), то события ,…, ,(…) образуют полную группу попарно несовместных событий. Значит, .

Определение. Дискретная случайная величина Х считается заданной, если указано конечное или счетное множество чисел , ,…, ,(…), и каждому из них поставлено в соответствие некоторое положительное число , причем

.

Для наглядности закон распределения можно изобразить графически – на плоскости отмечаются точки с координатами и соединяются отрезками. Полученная ломаная называется многоугольником распределения СВ.

Пример1. Случайная величина Х – число выпавших очков при однократном бросании игральной кости. Её закон распределения имеет вид:

.

Это пример так называемого равномерного распределения.

Пример2. Опыт – стрельба по мишени до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом отдельном выстреле равна р, – вероятность промаха при каждом отдельном выстреле. Случайная величинаX– число израсходованных патронов.

Проверим выполнение условия .

.

Рассмотренный пример – частный случай геометрического распределения.

Пример3. Биномиальное распределение.

Производится серия испытаний по схеме Бернулли: проводится n независимых опытов, в каждом из которых интересующее нас событие Анаступает с одной и той же вероятностью p, – вероятность наступления события в каждом отдельном опыте. Случайная величина X– число наступлений события Ав рассматриваемой серии опытов, то есть число «успехов».

Вероятность каждого возможного значения случайной величины X находится по формуле Бернулли: (вероятность 0 успехов и n успехов можно найти и через вероятность произведения независимых событий). Условие получается непосредственно по формуле бинома Ньютона:

.

Пример4.Распределение Пуассона. Как и в предыдущем примере производится серия испытаний по схеме Бернулли, но теперь число опытов n очень велико (считают, что ). Случайная величина Х- число успехов, только теперь вероятность каждого возможного значения случайной величины X вычисляется не по формуле Бернулли, а по приближенной формуле Пуассона:

.

Проверим выполнение условия .

.

Математическое ожидание случайной величины

и его свойства

В некоторых задачах теории вероятности не обязательно знать весь закон распределения. Их можно решать, оперируя только некоторыми числовыми характеристиками.

Основными числовыми характеристиками случайной величины являются математическое ожидание и дисперсия.

ПустьХ – дискретная случайная величина, возможные значения которой принимаются с вероятностями соответственно , причем .

Определение. Математическим ожиданием (или средним значением) дискретной случайной величины Х называется число

, (1)

равное сумме произведений возможных значений величины X на вероятности этих значений.

Причем если в правой части равенства (1) находится ряд, то он должен сходиться абсолютно (чтобы М[Х] было неизменным при перестановке столбцов в таблице распределения величины Х). Если ряд расходится, то М[Х] не существует.

Смысл числа М[Х]: около числа М[Х] колеблется среднее арифметическое значений, принимаемых величиной Х в больших сериях опытов.

Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х – числа очков, выпадающих при одном бросании игральной кости.

Решение. Составим закон распределения этой случайной величины.

Тогда .

Заметим, что в данном примере М[Х] не совпадает ни с одним возможным значением случайной величины Х.

Пример 2.Пусть Х – число выстрелов по цели до первого попадания, причем вероятность попадания при каждом отдельном выстреле постоянна и равна р. Найти М[Х].

Решение. Случайная величина X имеет геометрическое распределение:

Найдем математическое ожидание:

.

Рядполучен из ряда почленным дифференцированием. Так как

,

то .

Получаем, что.

Таким образом, среднее число требующихся для попадания в цель выстрелов равно . То есть при проведении большого числа серий выстрелов для попадания в цель в среднем потребуется выстрелов. Это число может служить исходным при расчете числа необходимых снарядов.

Пример 3. Найти математической ожидание дискретной случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона.

.

.

Таким образом, параметр , характеризующий данное пуассоновское распределение, есть не что иное, как математическое ожидание величины Х.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины

Для непрерывной случайной величины нельзя применить определение математического ожидания дискретной величины (вероятность каждого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю).

Определение. Пусть Х – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности . Если сходится интеграл , то математическим ожиданием непрерывной случайной величины X называется число

.

Пример 1. Пусть непрерывная случайная величинаX равномерно распределена на отрезке [a,b]. Найдем её математическое ожидание.

,

то есть математическое ожидание случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [a,b], совпадает с серединой этого отрезка.

Пример 2. Известно, что если непрерывная случайная величина X распределена по нормальному закону, то есть она имеет плотность вероятности вида , то в этой формуле параметр и есть математическое ожидание величиныX.

Свойства математического ожидания

1⁰. Математическое ожидание постоянной величины совпадает с самой постоянной:.

Справедливость этого свойства очевидна, если рассмотреть постоянную величину как дискретную случайную величину, принимающую лишь одно значение с вероятностью единица. Тогда .

2⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:М[cХ]=сМ[Х].

Так как определение математического ожидания для ДСВ и для НСВ разное, то доказательство необходимо провести для каждой из этих величин отдельно.

ПустьX – ДСВ, то есть её закон распределения и закон распределения величины сХ можно представить в виде таблицы:

Тогда.

Для непрерывной случайной величины с плотностью вероятности :

.

3⁰.Для любых случайных величин X и Y .

3. Дисперсия случайной величины

Различные случайные величины могут иметь одно и то же математическое ожидание, которое характеризует среднее значение случайной величины.

Например, рассмотрим две случайные величины X и Y:

, ,.

Математические ожидания случайных величин X и Y равны, но характер их распределения существенно различен: разброс величиныХ вокруг ее математического ожидания намного меньше разброса величины Y.

В двух различных географических местностях с разным климатом могут быть одинаковые средние уровни осадков, в двух учреждениях с различным соотношением низко- и высокооплачиваемых работников может оказаться одна и та же средняя заработная плата и т.д.

Чтобы охарактеризовать отклонение случайной величины от ее среднего значения (т.е. разброс значений этой величины), вводят другую ее числовую характеристикудисперсию (или рассеяние).

На первый взгляд наиболее естественно характеризовать рассеивание с помощью разности между случайной величиной и ее средним значением. Эта разностьХ-М[Х] то же является случайной величиной называется отклонением. Но если найти среднее значение отклонения, то есть его математическое ожидание, то, применяя свойства МО, получим:

.

Среднее значение отклонения получилось равным нулю, потому что положительные и отрицательные отклонения (т.е. отклонение в ту или иную сторону от среднего) взаимно уравновешиваются.

В действительности, степень рассеивания должна определяться абсолютной величиной отклонения , но с модулем не всегда удобно работать. Поэтому рассматривается квадрат отклонения и его среднее значение.

Определение. Дисперсией случайной величины X называется число, равное математическому ожиданию квадрата отклонения случайной величины X от её математического ожидания:

(2)

Число - называется средним квадратичным отклонением случайной величины X .

Если дисперсия характеризует средний квадрат отклонения, то само отклонение (по абсолютной величине) характеризует .

Свойства дисперсии

1⁰.Дисперсия постоянной величины равна нулю:

.

2⁰.Постоянный множитель из под знака дисперсии выносится в квадрате, то есть .

Доказательство.

3⁰.D[Х]=M[Х²] – M²[Х](3)

Доказательство.

.

В большинстве случаев формула (3) более удобна для вычисления дисперсии, чем формула (2).

4⁰.Для любых независимых случайных величинХ,Y справедливо:

.

Пример 1.Число очков, выбиваемых при одном выстреле каждым из двух стрелков, подчиняется законам распределения.

, .

Математическое ожидание (среднее значение) числа выбитых очков для обоих стрелков одинаково. Найдем дисперсии выбитого числа очков для обоих стрелков. Для этого составим законы распределения случайных величин и :

Тогда находим дисперсии случайных величин X и Y по определению:

,

Следовательно, при одинаковом среднем для числа очков, выбиваемых обоими стрелками, рассеяние результатов у первого превышает рассеяние у второго. Таким образом, у второго стрелка большая кучность, то есть результаты его стрельбы более устойчивы.

Заметим, что дисперсии можно было вычислять с помощью свойства, то есть по формуле (3). В этом случае необходимо составить законы распределения величин Х² и Y²:

Тогда

,

.

Заметим, что чем меньше дисперсия, тем лучше значения случайной величины характеризуется ее математическим ожиданием.

Известно, что дисперсия случайной величины X, распределенной по нормальному закону с плотностью вероятности

равнаD[Х]= . Следовательно, смысл параметра σ, входящего в выражение для нормального закона, заключается в том, что σ является средним квадратичным отклонением величины Х.

В настоящее время в школе стохастическая линия изучается по разным учебникам и пособиям.

К учебникам алгебры авторского коллектива: Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк, К.Н. Нешков, С.Б. Суворова под редакцией С.А. Теляковского издано дополнение:

[ММ]Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. Алгебра: Элементы статистики и теории вероятностей: Учебное пособие для учащихся 7-9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2003.

К учебникам алгебры А.Г. Мордковича издано дополнение:

[М] А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Дополнительные параграфы к курсу алгебры 7-9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2003.

Самостоятельным учебным пособием, объединяющим в себе весь материал, относящийся к темам теории вероятностей и статистики для изучения в школе, является пособие

[Т] Ю.Н. Тюрин, А.А. Макаров, И.Р. Высоцкий, И.В. Ященко. Теория вероятностей и статистика. - М.: МЦНМО, 2004.

К учебникам алгебры Ш.А. Алимова и др.

[Т,Ф]М.В.Ткачёва, Н.Е.Фёдорова. Элементы статистики и вероятность. - М.: Просвещение, 2005.

Практическая часть

Рассмотрим решение некоторых задач из пособия [Т].

П. 53. упр.1. В таблице дано распределение вероятностей случайной величины Z. Найдите математическое ожидание этой величины.

а)

Решение.Проверим, что сумма вероятностей равна 1.

+ + + + + =1

М[X]=1·+1·+3·+4·+5·+6·=4.

Ответ: 4 .

б)

Ответ: -0,02.

в)

Ответ: 0.

Упр.2. Случайная величина А принимает все целые значения от -15 до 15 с равными вероятностями. Найдите её математическое ожидание.

Ответ: 0.

Упр.3. Случайная величина Z принимает все чётные целые значения от -8 до 8 с равными вероятностями. Найдите её математическое ожидание.

Ответ: 0.

Упр.4. Бросаем симметрическую монету один раз. Случайная величина X-«число выпавших орлов». Ясно, что X может принимать только два значения 0 и 1. Найдите M[X].

Решение.

=0,5+0,5=1

M[X]=0·+1·=

Ответ:.

Упр.5. По правилам морского боя на поле 10×10 клеток размещаются четыре однопалубных корабля (по одной клетке), три двухпалубных, два трёхпалубных и один четырёхпалубный. Рассмотрим случайную величину X которая равна числу клеток в подбитом корабле противника в результате первого выстрела. Если первый выстрел не привёл к попаданию, то X =0. Найдите M[X].

Решение.Составим таблицу распределения случайной величины

=1

Ответ: .

Задача. Задайте с помощью таблицы распределение вероятностей случайной величины Х «сумма очков при бросании двух игральных костей».

Решение.

.

Ответ: таблица распределения

Упр.5. Найдите математическое ожидание СВ Х, которая равна сумме очков, выпавших при двух бросаниях игральной кости.

Решение.

Используем таблицу распределения в предыдущей задаче.

Ответ: 7.

П.54. упр.4. Проводится лотерея-спринт. Цена одного билета равна 10 рублей. Выигрыш и их вероятности даны в таблице:

Найти математическое ожидание случайной величины «выигрыш на один билет».

Решение.

Ответ:6.

Заметим, что в пособии [Т] опечатка.

Задача.Найти дисперсию СВ Х«число очков при однократном бросании игральной кости».

Решение. Известно, что . Построим распределение случайной величины

Тогда .

Ответ:2,917.

- среднее квадратичное отклонение.

П.57. упр.3. Дано распределение случайной величины Х:

а)

б)

Вычислите дисперсию этой случайной величины.

Решение.

а) Найдем математическое ожидание.

;

.

б)

Ответ:а) 3; б) 4.

Упр.4. Дано распределение случайной величиныХ:

а)

б)

Вычислить дисперсию этой случайной величины.

Решение.

а);

б);

.

Ответ:а) 2,4; б) 6,6.

Литература

Сборник нормативных документов. Математика/Сост. Э.Д.Днепров, А.Г.Аркадьев. – М.: Дрофа, 2006.

Маневич Д.В. Совершенствование содержания общего среднего образования на основе теории вероятности и статистики: Дис…д-ра пед. наук.- Ташкент, 1990.

Плоцки А. Стохастика в школе как математика в создании созидания и как новый элемент математического и общего образования: Дис. …д-ра пед. наук в форме науч. докл. - С.-Петербург, 1992.

Никольский С.М., Потапов М.К. Алгебра и начала анализа: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений.- 4-е изд. - М.: Просвещение, 2005.

Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность: учеб. пособие для 7-9 кл. общеобразоват. учреждений.- 2-е изд.- М.: Просвещение, 2005.

Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика.- М.: МЦНМО: АО «Московские учебники», 2004.

Мордкович А.Г., Семёнов П.В. Алгебра и начала анализа. 10кл.: В двух частях. ч.1.: Учеб. для общеобразоват. учреждений (профильный уровень).- М.: Мнемозина, 2005.

Мордкович А.Г., Семёнов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных: Доп. параграфы к курсу алгебры 7-9кл. общеобразоват. учреждений.- 3-е изд.- М.: Мнемозина, 2005.

Математика в школе.- 2002.- №4.

Математика в школе.- 2002.- №5.

Математика в школе.- 2003.- №3.

Математика в школе.- 2004.- №6.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/368820-metodicheskie-materialy-po-teme-sluchajnye-ve