Мастер-класс: решаем задачи на движение с Журавлевой Мариной Валентиновной

Муниципальное общеобразовательное учреждение

Вишневская средняя общеобразовательная школа

Староюрьевского района Тамбовской области

Исследовательская работа

(секция естественных наук)

- 2009 -

График – это говорящая линия,

которая может о многом рассказать

М.Б.Балк

Ни одна математическая задача не решается по шаблону, каждая содержит свою изюминку и в этом её прелесть. Но для того, чтобы научиться решать задачи нужно знать теоретический материал: теоремы, аксиомы, леммы, свойства, уметь применять их при решении задач и уметь логически рассуждать. Очень часто учащиеся школ говорят о сложности задач на движение. Но это не совсем так. Просто такие задачи решаются тогда, когда ученики еще не очень хорошо работают с графиками.

Обычно при решении текстовых задач на движение для наглядности пройденное расстояние изображают отрезком, однако это не всегда упрощает решение. Указанный недостаток можно устранить, применяя графическое представление движения, известное учащимся из курса физики.

Можно отметить, что при решении задач на равномерное движение полезны соотношения:

S₁/S₂=t₁/t₂

если скорости равны;

υ₁/υ₂=t₂/t₁

если равны пройденные расстояния;

S₁/S₂=υ₁/υ₂

если равны промежутки времени.

Кроме того, тангенс угла наклона прямой х=х+υtк осиOtчисленно равен скорости тела.

На уроке алгебры в среднем звене, решая задачи на движение, мне не совсем был понятен ход решения, приходилось обращаться за помощью к учителю и вместе с ним находить верный ответ с помощью графика. Во время проведения недели математики, когда проводился аукцион задач, снова попалась занимательная задача на движение, и я не мог ее решить. При подведение итогов аукциона, была решена задача, тем же самым графическим методом. Я заинтересовался этим способом решения задач на движение и решил подробнее исследовать данный вопрос и поделиться полученными знаниями.

Цель моей работы:исследовать значение графических способов решения текстовых задач на движение путем расширения и углубления знаний о методах и приемах их применения

Задачи

Проанализировать задачи на движение, изучаемые в школьном курсе математики;

Разобрать решение некоторых интересных задач с помощью построения графиков;

Получить навыки графической интерпретации

В своей работе я хотел бы остановиться на решении некоторых, более интересных задач, решаемых с использованием графиков.

Для себя сделал вывод: если знаешь теорию и умеешь делать чертеж для задачи – считай, что задача решена!

Приведу решение нескольких задач, методом использования графика равномерного движения.

Задача 1.Из двух населенных пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин, а второй в А – через 2ч 30 мин. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.

Решение. Построим графики движения туристов (рис.1)

S

В К С

Р

А R D t Рис. 1

По условию задачиPR-РК=2, КС=1,6, RD=2,5; требуется найти АВ,

.

Из подобия треугольников (∆ВКР~∆DRP. ∆CKP~∆ARP) следует, что

но ВК=AR, поэтому

или AR² =1,6 х 2,5, AR=2. Далее

откуда РК = 8 км; АВ= 18 км, υ₁=5 км/ч, υ₂=4км/ч.

При решении этой задачи можно было бы воспользоваться соотношением
t₁/t₂= υ₂/υ₁

Задача 2.Теплоход от Горького до Астрахани идет 5 суток, а от Астрахани до Горького - 7 суток. Сколько дней будет плыть плот от Горького до Астрахани?

Решение. Строим графики (рис.2). Из условия задачи следует, что ГА^!=5, А^!С=7; надо найти ГР.

Рис. 2

Скорость движения теплохода относительно плывущего плота одна и та же как по течению реки, так и против течения, поэтому если теплоход и плот выйдут из Г одновременно, то теплоход , возвратясь из А, встретит плот через столько же дней, сколько он потратил на путь из Г в А, следовательно,

ГА^!= А^!В=5

Так как Δ А^!DC~ΔBKC и Δ ВКГ~ΔРFГ,

то А^!С/ВС=DA^!/КВ=FP/KB=ГР/ГВ; 7/2=ГВ/10, ГВ=35.

Ответ: плот будет плыть от Горького до Астрахани 35 дней.

Задача 3. Из А в В со скоростью 4 км/ч вышел турист. Спустя час вслед за ним из А вышел второй турист, проходивший в час 5 км, а еще через час из А выехал велосипедист, который обогнав, одного туриста, через 10 мин обогнал и другого. Найдите скорость велосипедиста.

Решение. Построим графики движения двух туристов и велосипедиста, предположив, что велосипедист сначала догоняет второго туриста (рис 3).

По условию задачи АС=СD=1,CC^!=4,DD^!=5,EF=1/6; надо найти РЕ/DE.

Пусть DE=x. Имеем

DE/DF=PE/KF,

Причем РЕ=5(1+х),KF=4(2 1/6+x),

откуда

х/(х+1/6)=5(1+х)/(4(2 1/6+х))

После преобразований получаем: 6х²-17х+5=0, откуда х₁=1/3ч, х₂=2,5ч,

V ₁=20км/ч, V₂=7км/ч.

Рис.3 Рис. 4

Рассмотрим теперь случай, когда велосипедист сначала догоняет первого туриста (рис 4). Имеем

DE/DF=PE/KF,

или

х/(х+1/6)=4(2+х)/(5(1 1/6+х).

Решая последнее уравнение, получим

Х=3,2; V=6,5 км/ч.

Возникают вопросы: как истолковать два ответа в первом случае? Почему во втором случае столько один ответ? И здесь на помощь приходит график. Оказывается велосипедист может ехать со скоростью 20 км/ч, догнать второго туриста и через 10 мин догнать первого ( рис 5). Но он может ехать медленнее, со скоростью 7 км/ч, и догнать второго туриста позже, затем также через 10 мин, догнать первого туриста.

Рис.5

Во втором случае (штриховая линия на рис. 5) догнать сначала первого туриста велосипедист может только после, как второй турист обгонит первого. Но после этого события расстояние между туристами увеличивается и ни при какой другой скорости отличной от найденной (6,5 км/ч), догнать за 10 мин второго туриста велосипедист не сможет.

Ответ: 20км/ч, или 7 км/ч, или 6,5 км/ч.

Задач 4.Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. В тот момент, когда он проехал ¼ пути между А и В , из В в А выехал мотоциклист, который , прибыв в А, не задерживаясь, повернул обратно и одновременно с велосипедистом прибыл в В. Время движения мотоциклиста до первой встречи с велосипедистом равно времени движения мотоциклиста из А в В. Считая, что скорости мотоциклиста при движении из А в В и из В в А различны, найти, во сколько раз скорость мотоциклиста при движении из А в В больше скорости велосипедиста.

Решение. Построим графики движения велосипедиста и мотоциклиста

(рис 6)

По условию

DP=1/4AB (отсюда АР=1/4АТ);

PK=LT; требуется найти

QT/LT : QT/AT=AT/LT

Рис. 6

Докажем ( от противного) , что мотоциклист прошел до первой встречи с велосипедистом 1/2 АВ, т.е. FC=1/2AB. Допустим, что FC<1/2AB, тогда СК>1/2 AB. Время РК, за которое мотоциклист прошел расстояние FC, равно времени РК, за которое велосипедист прошел МС. Так как DP=1/4AB, а СК СК>1/2 AB >1/2 AB, то МС >1/4 AB, следовательно велосипедист потратит больше времени на прохождение МС, чемDP. Таким образом, РК>АР=

=1/4 АТ.

Очевидно, СК >СF, следовательно, время КL, необходимое мотоциклисту для прохождения расстояния СК, больше времени РК, затраченного на прохождение FC. Таким образом , имеем КL>PK>AP=1/4AT.Значит , на

LT (время , за которое мотоциклист пройдет расстояние АВ) остается меньше ¼ АТ. Отсюда РК ≠LT (PK>1/4AT,LT<1/4AT), что противоречит условию задачи.

Аналогично устанавливаем, что FC не может быть больше ½ АВ. Таким образом, доказано, что FC=1/2AB, тогда АР=РК=KL=LT=1/4AT и искомое отношение АТ/ LT=4.

Ответ: Скорость мотоциклиста при движении от А к В в 4 раза больше скорости велосипедиста.

В приведенных примерах использования графиков для решения приводит к простым и красивым решениям задач. Кроме того, этот способ помогает знания алгебры и геометрии в физике. Строя график зависимости пройденного расстояния от времени (при равномерном движении), закрепляю, что эта зависимость выражается линейной функцией, физический смысл углового коэффициента прямой и также использую при решении текстовых алгебраических задач равенство и подобие треугольников. При этом знания, полученные на уроках по разным предметам, объединяются, становятся более осознанными, действенными. Абстрактные графики, изучаемые в алгебре, наполняются новым содержанием, конкретизируются.

Нередко, используя графики, можно увидеть «скрытые» свойства рассматриваемых величин. Например, мотоциклист (задача 5) встретил первый раз велосипедиста на ½ пути, скорость мотоциклиста до первой встречи в два раза больше, чем скорость велосипедиста, и др.

Алгебраические решения задач ближе тем, кто любит формулы, их преобразования; решения с использованием графиков привлекают тех, кто нуждается в содержательных образах, кто любит геометрию и физику.

Использование описанного метода требует определенных навыков графического представления условий задачи.

Есть задачи, перед которыми спасуют и искушенные в их решении ученики, а учитель нарисует им график и скажет: “Вот, смотрите, как просто – все решение видно из графика”.

Я рассмотрел решение только четырех понравившихся мне задач, но ведь таких задач гораздо больше. Никогда не следует останавливаться на достигнутом, экспериментируйте, ищите новинки, творите!

Для тех, кого заинтересовал данный способ, кто хочет попробовать свои силы в решении, я предлагаю задачу:

Задача.Математик шел домой по берегу ручья против течения со скоростью в полтора раза большей, чем скорость течения, и держал в руках палку и шляпу. В некоторый момент он бросил в ручей шляпу, перепутав ее с палкой, и продолжал идти против течения ручья с той же скоростью. Через некоторое время он заметил ошибку, бросил палку в ручей и побежал назад со скоростью вдвое большей, чем шел ранее. Догнав плывущую шляпу, он мгновенно выудил ее из воды, повернулся и пошел против течения с первоначальной скоростью. Через 10 мин он встретил плывущую по ручью палку. На сколько раньше он пришел бы домой, если бы не перепутал палку со шляпой?

Добившись успеха, ты сможешь помочь другим, помогая другим, станешь более успешным!

Вывод.

В школе часто встречаются задачи, при решении которых используется построение графиков. Я предлагаю при изучении темы равномерного движения использовать задачи, приведенные в моем исследовании и поработать над составлением аналогичных упражнений.

Такие задачи интересно придумывать и решать в качестве математического тренинга. Достоинство – доступность для понимания, наглядность результата.

Моя работа способствует развитию познавательных интересов, повышению информационной грамотности, прививает интерес к математике, развивает эстетический вкус.

Информационные источники

Г.И. Глейзер. «История математики в школе» М., «Просвещение, 1981.

Л.Ф. Пичурин. «За страницами учебника алгебры». М.: «Просвещение», 1990.

Квант. 1970. №6. с. 47-88

Математика в школе. 1986. №5. с.40-44.

Интернет – ресурсы.

Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика. 1985.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/371-zhuravleva-marina-valentinovna