Контрольная работа по алгебре: разложение на множители и построение графиков функций

Контрольная работа № 1

В а р и а н т 1

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 14х + 45;б) 3у² + 7у – 6.

2. Постройте график функции у = х² – 2х – 8. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = –1,5;

б) значения х, при которых у = 3;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) и ;в) (–4,1)¹¹ и (–3,9)¹¹;

б) (–1,3)⁶ и (–2,1)⁶;г) и 0,01¹⁴.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь.

6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 6х + 11.

В а р и а н т 2

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 10х + 21;б) 5у² + 9у – 2.

2. Постройте график функции у = х² – 4х – 5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 0,5;

б) значения х, при которых у = 3;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция убывает.

3. Сравните:

а) (–1,7)⁵ и (–2,1)⁵;в) 4,7⁹ и ;

б) и ;г) 5,7¹² и (–6,3)¹².

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь.

6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 4х + 3.

В а р и а н т 3

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 12х + 35;б) 7у² + 19у – 6.

2. Постройте график функции у = х² – 6х + 5. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 0,5;

б) значения х, при которых у = –1;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) и ;в) (–2,3)⁶ и (–4,1)⁶;

б) (–1,7)³ и (0,4)³;г) и (–1,4)¹⁰.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь.

6. Найдите наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 8х + 7.

В а р и а н т 4

1. Разложите на множители квадратный трехчлен:

а) х² – 18х + 45;б) 9х² + 25х – 6.

2. Постройте график функции у = х² – 8х + 13. Найдите с помощью графика:

а) значение у при х = 1,5;

б) значения х, при которых у = 2;

в) нули функции;

г) промежутки, в которых у > 0 и в которых у < 0;

д) промежуток, в котором функция возрастает.

3. Сравните:

а) 3,4¹¹ и 4,2¹¹;в) и (–0,7)⁹;

б) и (–1,2)⁸;г) (–2,4)⁴ и 1,2⁴.

4. Вычислите:

а) ; б) ; в) .

5. Сократите дробь.

6. Найдите наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 6х – 4.

Решение вариантов контрольной работы

В а р и а н т 1

1. а) х² – 14х + 45 = (х – 5) (х – 9);

х² – 14х + 45 = 0;

х₁ = 5, х₂ = 9.

б) 3у² + 7у – 6 = 3 (у – ) (у + 3) = (3у – 2) (у + 3);

3у² + 7у – 6 = 0;

D = 49 + 72 = 121;

у_{1, 2} = ;

у₁ = ,у₂ = –3.

2. у = х² – 2х – 8 – квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а> 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т;п) вершины параболы:

m = = 1; п = 1 – 2 – 8 = –9;

А (1; –9) – вершина параболы.

3. а) > ;в) (–4,1)¹¹ < (–3,9)¹¹;

б) (–1,3)⁶ < (–2,1)⁶;г) > 0,01¹⁴.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

3р² + р – 2 = 0;

D = 1 + 24 = 25;

р_{1, 2} = ;

р₁ = ,р₂ = –1.

6. х² – 6х + 11.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

х² – 6х + 11 = х² –2 · 3 · х + 9 – 9 + 11 = (х – 3)² + 2.

Это выражение принимает наименьшее значение при х = 3, и оно равно 2.

2-й с п о с о б.

у = х² – 6х + 11 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены верх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 6х + 11 – это ордината вершины этой параболы:

т = = 3; п = 9 – 18 + 11 = 2;

2 – наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 6х + 11.

В а р и а н т 2

1. а) х² – 10х + 21 = (х – 3) (х – 7);

х² – 10х + 21 = 0;

х₁ = 3, х₂ = 7.

б) 5у² + 9у – 2 = 5 (у – ) (у + 2) = (5у – 1) (у + 2);

5у² + 9у – 2 = 0;

D = 81 + 40 = 121;

у_{1, 2} = ;

у₁ = ,у₂ = –2.

2. у = х² – 4х – 5 – квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т;п) вершины параболы:

m = = 2; п = 4 – 8 – 5 = –9;

А (2; –9) – вершина параболы.

3. а) (–1,7)⁵ > (–2,1)⁵;в) 4,7⁹ > ;

б) > ;г) 5,7¹² < (–6,3)¹².

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

4с² + 7с – 2 = 0;

D = 49 + 32 = 81;

с_{1, 2} = ;

с₁ = ,с₂ = –2.

6. –х² + 4х + 3.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

–х² + 4х + 3 = –(х² – 4х – 3) = –(х² –2 · 2 · х + 4 – 4 –3) = –((х – 2)² – 7) =
= –(х – 2)² + 7.

Это выражение принимает наибольшее значение при х = 2, и оно равно 7.

2-й с п о с о б.

у = –х² + 4х + 3 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 4х + 3 – это ордината вершины этой параболы:

т = = 2; п = –4 + 8 + 3 = 7;

7 – наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 4х + 3.

В а р и а н т 3

1. а) х² – 12х + 35 = (х – 5) (х – 7);

х² – 12х + 35 = 0;

х₁ = 5, х₂ = 7.

б) 7у² + 19у – 6 = 7 (у – ) (у + 3) = (7у – 2) (у + 3);

7у² + 19у – 6 = 0;

D = 361 + 168 = 529;

у_{1, 2} = ;

у₁ = ,у₂ = –3.

2. у = х² – 6х + 5 – квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т;п) вершины параболы:

т = = 3; п = 9 – 18 + 5 = –4;

А (3; –4) – вершины параболы.

3. а) < ;в) (–2,3)⁶ < (–4,1)⁶;

б) (–1,7)³ < (0,4)³;г) < (–1,4)¹⁰.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

5а² + 19а – 4 = 0;

D = 361 + 80 = 441;

а_{1, 2} = ;

а₁ = ,а₂ = –4.

6. х² – 8х + 7.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

х² – 8х + 7 = х² –2 · 4 · х + 16 – 16 + 7 = (х – 4)² – 9.

Это выражение принимает наименьшее значение при х = 4, и оно равно –9.

2-й с п о с о б.

у = х² – 8х + 7 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 8х + 7 – это ордината вершины этой параболы:

т = = 4; п = 16 – 32 + 7 = –9;

–9 – наименьшее значение квадратного трехчлена х² – 8х + 7.

В а р и а н т 4

1. а) х² – 18х + 45 = (х – 3) (х – 15);

х² – 18х + 45 = 0;

х₁ = 3, х₂ = 15.

б) 9х² + 25х – 6 = 9 (х – ) (х + 3) = (9х – 2) (х + 3);

9х² + 25х – 6 = 0;

D = 625 + 216 = 841;

х_{1, 2} = ;

х₁ = ,х₂ = –23.

2. у = х² – 8х + 13 – квадратичная функция, графиком является парабола.

Так как а > 0, то ветви направлены вверх. Найдем координаты (т;п) вершины параболы:

т = = 4; п = 16 – 32 + 13 = –3;

А (4; –3) – вершины параболы.

3. а) 3,4¹¹ < 4,2¹¹;в) < (–0,7)⁹;

б) < (–1,2)⁸;г) (–2,4)⁴ > 1,2⁴.

4. а) ;

б) ;

в) .

5. ;

7b² + 11b –6 = 0;

D = 121 + 168 = 289;

b_{1, 2} = ;

b₁ = ,b₂ = –2.

6. –х² + 6х – 4.

1-й с п о с о б.

Выделим квадрат двучлена из квадратного трехчлена:

–х² + 6х – 4 = –(х² –2 · 3 · х + 9 – 9 + 4) = –((х – 3)² – 5) = –(х – 3)² + 5.

Это выражение принимает наибольшее значение при х = 3, и оно равно 5.

2-й с п о с о б.

у = –х² + 6х – 4 – квадратичная функция, графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 6х – 4 – это ордината вершины этой параболы:

т = = 3; п = –9 + 18 – 4 = 5;

5 – наибольшее значение квадратного трехчлена –х² + 6х – 4.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/384241-kontrolnaja-rabota1