УМК по дисциплине «Математика» 1 курс СПО

Раздел 1.

Тема 1.1. Действительные числа.

Содержание учебного материала:

- Математика в науке, технике, экономике и практической деятельности.

- Развитие и понятие о числе. Множества натуральных и действительных чисел.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Примеры множеств.

Какие бывают множества по количеству элементов? Как они обозначаются?

Обозначение принадлежности и непринадлежности элемента определенному множеству.

Подмножества.

Какими способами задаются множества?

Операции над множествами.

Учебник: Глава XI, § 1, стр. 485-488

Глава XV, § 1, стр. 581-609

Тема 1.2. Приближенные вычисления.

Содержание учебного материала:

- Приближенные вычисления и погрешности приближений.

-Погрешность вычисления.

Тема 1.3. Комплексные числа.

Содержание учебного материала:

- Комплексные числа, действия над комплексными числами

-Действия над комплексными числами

- Геометрическая интерпретация комплексного числа

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Чем вызвана необходимость расширения множества действительных чисел?

Определение комплексного числа.

Определение двух сопряженных комплексных чисел.

Степень мнимой единицы.

Действия над комплексными числами.

Как можно геометрически интерпретировать комплексные числа?

Учебник: Глава VI, § 1-4, стр. 455-478

Раздел 2.

Тема 2.1. Основные определения и понятия функции.

Содержание учебного материала:

Определение функции. Область определения, область значений функции. Возрастающие, убывающие, четность, нечетность ф-ции.

- Исследование функций на возрастание, убывание, четность, нечетность.

- Обзор свойств основных видов функций. Геометрические преобразования графиков функций.

- Построение графиков функций с помощью геометрических преобразований.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Что называется функцией? Как обозначают функции? Привести примеры функции.

Что такое область определения и область значений функции?

Определение возрастающей и убывающей функций. Привести примеры.

Исследование на четность и нечетность функций. Свойство графиков четной и нечетной функций.

Основные виды функций, их свойства и графики.

Назвать основные виды преобразований при построении графиков функций с помощью геометрических преобразований графиков основных видов функций.

Учебник: Глава I, § 1, стр. 3-24

Тема 2.2. Тригонометрическая функция.

Содержание учебного материала:

- Тригонометрические функции угла и числового аргумента.

- Графики тригонометрических функций.

- Решение упражнений.

-Свойства тригонометрических функций.

- Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

- Тригонометрические формулы. Формулы привидения. Формулы одноименных тригонометрических функций.

- Решение упражнений.

- Обратные тригонометрические функции.

- Простейшие тригонометрические уравнения.

- Решение простейших тригонометрических уравнений.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Определение тригонометрической функции острого угла в прямоугольном треугольнике.

Вращательное движение и его свойства. Углы и системы измерения угловых величин. Перевод величин углов из градусной меры в радианную и наоборот.

Синус, косинус, тангенс и котангенс угла (2 способа: тригонометрия треугольника; координаты вращающейся точки). Свойства: периодичность, четность, знаки.

Доказательство основного тригонометрического свойства. Основные тригонометрические тождества.

Формулы приведения. Значения тригонометрических функций.

Функции, , , их свойства и графики.

Основные тригонометрические формулы: синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов; двойного угла; половинного угла; преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму; Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного угла.

Преобразование простейших тригонометрических выражений.

Решение простейших тригонометрических уравнений:

Арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс числа.

Обратные тригонометрические функции их свойства и график.

Решение типовых тригонометрических уравнений: алгебраические относительно одной из тригонометрических функций; допускающие понижение порядка; однородные; на применение формул сложения и следствий из них.

Решение простейших тригонометрических неравенств.

Учебник: Глава I, § 2-10, стр. 24-96

Глава II, § 1-5, стр. 97-140

Тема 2.3. Степенная функция.

Содержание учебного материала:

- Корень п-ой степени. Арифметический корень п-ой степени.

- Преобразование радикалов.

- Действия над радикалами.

- Решение упражнений.

- Простейшие иррациональные уравнения. Системы уравнений.

- Решение упражнений.

- Иррациональные неравенства.

- Обобщение понятия степени.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Корни натуральной степени из числа, их свойства.

Свойства корней.

Какие радикалы называют подобными?

Решение иррациональных уравнений, систем уравнений, иррациональных неравенств.

Степени с натуральным, рациональным и действительным показателем, их свойства.

Степенная функция, изучение свойств и построение графика функции.

Учебник: Глава III, § 1-3, стр. 141-199

Тема 2.4. Показательная функция.

Содержание учебного материала:

- Показательная функция.

- Применение свойств показательной функции.

- Решение упражнений.

- Простейшие показательные уравнения.

- Уравнения, сводящиеся к простейшим показательным.

- Решение упражнений.

- Системы показательных уравнений.

- Показательные неравенства.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Определение и график показательной функции.

Общие свойства показательной функции.

Свойства графика показательной функции.

Примеры применения свойств показательной функции.

Основные показательные тождества.

Способы решения показательных уравнений. Решение показательных уравнений и неравенств.

Учебник: Глава IV, § 1-2, стр. 200-224

Тема 2.5. Логарифмическая функция.

Содержание учебного материала:

-Логарифм числа. Свойства логарифмов. Основное логарифмическое тождество.

- Решение упражнений с помощью свойств логарифмов.

- Логарифмическая функция, ее график и свойства.

- Простейшие логарифмические уравнения.

- Решение упражнений.

- Логарифмические уравнения, сводящиеся к простейшим.

- Системы логарифмических уравнений.

- Решение логарифмических неравенств.

- Решение упражнений.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Понятие о логарифме. Логарифм с произвольным основанием. Десятичные и натуральные логарифмы.

Основное логарифмическое тождество.

Правила действий с логарифмами. Формула перехода к новому основанию. Логарифмирование и потенцирование.

Понятие логарифмической функции, ее свойства и построение графика.

Способы решения логарифмических уравнений.

Решение систем логарифмических уравнений.

Решение логарифмических неравенств.

Учебник: Глава V, § 1-3, стр. 225-268

Раздел 3.

Тема 3.1. Прямоугольная система координат.

Содержание учебного материала:

-Декартовая система координат. Формула расстояния между двумя точками. Координаты и векторы в пространстве.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

Метод координат в пространстве (основные теоретические сведения и формулы).

Координаты середины отрезка.

Построение точек.

Тема 3.2. Вектор. Использование координат и векторов при решении задач.

Содержание учебного материала:

-Определения. Модуль вектора. Равенство векторов. Действия над векторами.

- Разложение вектора по направлениям. Построение векторов.

- Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Векторы на плоскости (примеры векторных величин, изображение векторов, применение к решению геометрических задач, проекция вектора на ось, координаты вектора, скалярное произведение).

Понятие вектора, модуль вектора, равенство векторов.

Действия над векторами.

Векторное задание прямых и плоскостей в пространстве.

Раздел 4.

Тема 4.1. Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Содержание учебного материала:

- Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

- Параллельность прямых, параллельность прямой и плоскости.

- Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми.Параллельность плоскостей.

- Перпендикулярность прямой и плоскости в пространстве.Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах.

- Решение задач.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Геометрия Евклида. Современная аксиоматика евклидовой геометрии. неевклидова геометрия.

Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве (прямые в пространстве; признак скрещивающихся прямых; прямая и плоскость в пространстве; плоскости в пространстве).

Признаки параллельности прямых и плоскостей в пространстве. Параллельное проектирование. Типовые задачи на построение и их разрешимость. Изображение пространственных фигур. Тетраэдр и параллелепипед. Построение сечений.

Перпендикулярность прямых. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Теорема о трех перпендикулярах. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей. Прямоугольный параллелепипед.

Тема 4.2. Геометрические преобразования пространства.

Содержание учебного материала:

- Параллельное проектирование и его свойства.

- Решение задач: свойства параллельного проектирования.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Основные понятия параллельного проектирования.

Проекции точек, отрезков, прямых.

Параллельное и центральное проектирование.

Что такое ортогональное проектирование?

Изображения фигур на плоскости и в живописи подчиняются определённым законам.

Раздел 5.

Тема 5.1. Призма.

Содержание учебного материала:

- Определение многогранника. Вершины, рёбра, грани многогранника.

- Призма. Прямая и наклонная призма. Площадь поверхности, объем призмы.

- Параллелепипед, Куб. Теорема Эйлера. Площадь поверхности, объем параллелепипеда, куба.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Понятие многогранника. Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.

Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед, куб. Площадь боковой и полной поверхности призмы.

Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Площадь боковой и полной поверхности пирамиды.

Симметрия в пространстве. Симметрия в кубе, параллелепипеде, призме и пирамиде.

Сечения призмы и пирамиды. Решение задач на построение сечений.

Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр).

Решение задач по теме.

Тема 5.2. Пирамида

Содержание учебного материала:

- Определение пирамиды. Правильная пирамида. Усечённая пирамида. Площадь поверхности, объем.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Понятие пирамиды, ее элементов.

Наглядные примеры пирамид.

Сечения пирамиды.

Беседа «А знаете ли вы?»

Объем пирамиды.

Площадь основания, боковой и полной поверхности пирамиды

Решение задач на нахождение элементов пирамиды, площади боковой и полной поверхностей пирамиды, задачи на построение сечений пирамиды.

Раздел 6.

Тема 6.1. Цилиндр. Конус. Сечение плоскостями.

Содержание учебного материала:

- Цилиндр. Основные определения. Площадь поверхности, объем.

- Сечения цилиндра. Решение задач.

- Конус. Основные определения. Площадь поверхности, объем.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Теоретические сведения о цилиндре и конусе.

Определения элементов цилиндра и конуса.

Выведение формул площадь поверхности, объема цилиндра.

Решение задач на нахождение площади основания, поверхности и объема цилиндра и конуса.

Рассмотрение сечений цилиндра и конуса.

Решение задач по теме.

Тема 6.2. Шар и сфера.

Содержание учебного материала:

-Шар и сфера. Основные определения, понятия и формулы.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Повторение окружности и круга.

Знакомство с шаром и сферой, их элементами и свойствами.

Выяснить сходства и различия между сферой и шаром; познакомиться с историческими сведениями о шаре и сфере; использование шара и сферы в современном окружающем нас мире.

Рассмотреть задачи на сферу и шар.

Раздел 7.

Тема 7.1. Последовательности

Содержание учебного материала:

- Предел функции непрерывного аргумента.

-Предел отношения / . Непрерывность функции.

-Задачи, приводящие к понятию производной.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности.

Существование предела монотонной ограниченной последовательности.

Что такое Предел отношения / , непрерывность функции?

Рассмотреть задачи, приводящие к понятию производной.

Тема 7.2. Производная

Содержание учебного материала:

- Определение производной, геометрический и физический смысл.

- Решение упражнений.

- Правила дифференцирования. Производные некоторых функций. Таблица производных.

- Нахождение производных функций по таблице.

- Решение упражнений.

- Уравнения касательной, проведенной к графику функции.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Геометрический и физический смысл производной.

Понятие о непрерывности функций. Производная. Понятие о производной функции. Схема вычисления производной. Правила дифференцирования.

Таблица производных. Вычисление производных основных элементарных функций.

Тема 7.3. Применение производной к исследованию функций и построению графиков.

Содержание учебного материала:

- Определение возрастания и убывания функции с помощью производной.

-Экстремальные точки. Наибольшее и наименьшее значения функции.

-Решение упражнений.

-Общая схема исследования функции.

-Исследование функции и построение графиков.

-Построение графиков функции с помощью производной.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Применение производной к определении возрастания и убывания функции.

Применение производной для нахождения наибольшего и наименьшего значения.

Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.

Применение производной к исследованию функций. Уравнение касательной к графику функции.

Применение производной для построения графиков функций.

Раздел 8.

Тема 8.1. Первообразная

Содержание учебного материала:

- Определение первообразной. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов.

- Основное свойство первообразной.

- Решение упражнений.

- Правила нахождения первообразной и неопределенного интеграла.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Понятие интегрирования.

Дифференциал функции и его геометрический смысл.

Свойства неопределённого интеграла.

Нахождение неопределённого интеграла с помощью таблицы.

Тема 8.2. Определенный интеграл.

Содержание учебного материала:

-Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

-Формула Ньютона-Лейбница.

-Решение упражнений на нахождение интегралов.

-Применение интегралов к вычислению площадей плоских фигур.

-Решение упражнений на нахождение площадей плоских фигур

-Вычисление объемов тел вращения.

-Интегралы в физике и технике.

-Решение упражнений.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Понятие определенного интеграла.

Рассмотрение задач, приводящих к понятию определенного интеграла.

Знакомство с формулой Ньютона-Лейбница.

Решение упражнений на нахождение интегралов.

Что такое криволинейная трапеция?

Применение интегралов к вычислению площадей плоских фигур.

Упражнения на нахождение площадей плоских фигур

Примеры вычисления объемов тел вращения.

Презентация на тему: «Интегралы в физике и технике.»

Решение упражнений по теме.

Раздел 9.

Тема 9.1. Элементы комбинаторики.

Содержание учебного материала:

-Основные понятия комбинаторики. Применение формул комбинаторики. Размещения. Сочетания. Бином Ньютона. Треугольник Паскаля.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

Изучение основных понятий комбинаторики: перестановки, сочетания, размещения.

Формула бинома Ньютона. Свойства биномиальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Решение задач на подсчет перестановок, сочетаний, размещений.

Комбинаторные задачи.

Тема 9.2. Элементы теории вероятностей.

Содержание учебного материала:

- Основные понятия теории вероятностей. Решение задач на нахождение вероятности событий.

Рассматриваемые вопросы и примеры:

События, вероятность события (классическое определение).

Применение комбинаторики к решению простейших вероятностных задач.

Решение практических задач с применением вероятностных методов.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/391778-umk-po-discipline-matematika-1-kurs-spo