Урокна тему: «ЭЛЕМЕНТЫ комбинаторики»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ КЧР

КЧР ГБПОО «КОЛЛЕДЖ ИНДУСТРИИ ПИТАНИЯ, ТУРИЗМА И СЕРВИСА»

УТВЕРЖДАЮРАССМОТРЕНО

Зам. директора по ОДна заседании методической

___________Тлябичева З.Ч.комиссии преподавателей естественно-научного и математического циклов

«__04__»__04__2017 г.

___________Пешкова А.В.

Открытый урок

по предмету«Математика, алгебра, начала анализа, геометрия»

на тему: «ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ».

преподаватель математики: Мхце Н.Е.

Занятие проводится со студентами 1 курса гр.39 ЛБ.

дата проведения: 6.04.2019 г.

Цели урока:

образовательная: изучить и закрепить правила и формулы комбинаторики;

развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, умение обобщать и классифицировать;

воспитательная: формирование устойчивого интереса к предмету, приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других и умению общаться, прививать аккуратность и трудолюбие.

Тип урока:

Урок изучения нового материала.

Используемое оборудование:

проектор, экран, компьютер.

План занятия.

1)Тема нашего урока «Элементы комбинаторики» В математике и ее приложениях часто приходится определять число множеств или их подмножеств, обладающих заданным свойством. Такие задачи приходится рассматривать при определении наиболее выгодных коммуникаций внутри города, при организации автоматической телефонной связи, работы морских портов, при выявлении связей внутри сложных молекул, генетического кода, а также в лингвистике, в автоматической системе управления, в теории вероятностей, и в математической статистике со всеми их многочисленными приложениями.

На данном уроке мы коснёмся элементовкомбинаторики. Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно понимать как перебор возможных вариантов. Следует отметить, что комбинаторика является самостоятельным разделом высшей математики и по данной дисциплине написаны увесистые учебники, содержание которых, порой, ничуть не легче алгебры.

2) Немного истории.

Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне основного русла развития математики.
С задачами, в которых приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись еще в доисторическую эпоху, выбирая наилучшее положение охотников во время охоты, воинов – во время битвы, инструментов - во время работы.
Комбинаторные навыки оказались полезными и в часы досуга.
Появились различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных размышлений математиков. Еще с давних пор дипломаты, стремясь к тайне переписки, изобретали сложные шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и т.д.
Комбинаторика как наука стала развиваться в 18 веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж.Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю (1623-1662) и П.Ферма.
Комбинаторику как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе “ Об искусстве комбинаторики ”, опубликованной в 1666 году. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. В современном обществе с развитием вычислительной техники комбинаторика “добилась” новых успехов. В настоящее время в образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение комбинаторных задач методом перебора, с применением правила умножения. В задачах по комбинаторике часто применяется такое понятие как факториал (в переводе с английского “factor” - “множитель”

2).Актуализация знаний.
Итак, произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n

Решаем № 767,9 КЛАСС (вычислить значения выражений, содержащих факториал).

3).В узком смысле комбинаторика – это подсчёт различных комбинаций, которые можно составить из некоторого множества объектов. Под объектами понимаются какие-либо обособленные предметы или живые существа – люди, звери, грибы, растения, насекомые и т.д. При этом комбинаторику совершенно не волнует, что это за предметы. Принципиально важно, что эти объекты поддаются перечислению (дискретность) и существенно то, что среди них нет одинаковых.

С множеством разобрались, теперь о комбинациях. Самыми распространёнными видами комбинаций являются перестановки объектов, их выборка из множества (сочетание) и распределение (размещение). Давайте прямо сейчас посмотрим, как это происходит:

а).Перестановки из n элементов без повторений.

Не пугайтесь малопонятных терминов, тем более, некоторые из них действительно не очень удачны. Начнём с хвоста заголовка – что значит «без повторений»? Это значит, что будут рассматриваться множества, которые состоят из различных объектов.

Определение. Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех жеn различных объектов и отличающиеся только порядком их расположения.

Пример 1. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов {1, 2, 3} являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Отличительной особенностью перестановок является то, что в каждой из них участвует ВСЁ множество, то есть,всеnобъектов.

Пример 1.

Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом?

Решение: используем формулу количества перестановок:

Ответ: 120 способами

Невероятно, но факт. Обратите внимание, что здесь не имеет значения круглый ли стол, квадратный, или вообще все люди сели на скамейку вдоль одной стены – важно лишь количество объектов и их взаимное расположение. Помимо перестановок людей, часто встречается задача о перестановках различных книг на полке.

Пример 2. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=5040 способов осуществить расстановку книг.

Пример 3.

Сколько четырёхзначных чисел можно составить из четырёх карточек с цифрами 0, 5, 7, 9?

Для того чтобы составить четырёхзначное число нужно задействовать все четыре карточки (цифры на которых различны!), и это очень важная предпосылка для применения формулы  Очевидно, что, переставляя карточки, мы будем получать различные четырёхзначные числа, … стоп, а всё ли тут в порядке? ;-)

Хорошенько подумайте над задачей! Вообще, это характерная черта комбинаторных и вероятностных задач – в них НУЖНО ДУМАТЬ

Решение: найдём количество всех возможных  перестановок 4 карточек:

Когда карточка с нулём располагается на 1-м месте, то число становится трёхзначным, поэтому данные комбинации следует исключить. Пусть ноль находится на 1-м месте, тогда оставшиеся 3 цифры в младших разрядах можно переставить  способами.

Таким образом, из предложенного набора можно составить:
24 – 6 = 18 четырёхзначных чисел
Ответ: 18

б).Число сочетаний из n элементов по m

Сочетаниями называют различные комбинации изm объектов, которые выбраны из множестваn различных объектов, и которые отличаются друг от друга хотя бы одним объектом. Иными словами, отдельно взятое сочетание – это уникальная выборка из mэлементов, в которой не важен их порядок (расположение). Общее же количество таких уникальных сочетаний рассчитывается по формуле .

Пример 3. Для множества {1, 2, 3}сочетаниями являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.

Пример 4.

В ящике находится 15 деталей. Сколькими способами можно взять 4 детали?

Решение: прежде всего, снова обращаю внимание на то, что по логике условия, детали считаются различными – даже если они на самом деле однотипны и визуально одинаковы
(в этом случае их можно, например, пронумеровать).

В задаче речь идёт о выборке из 4 деталей, в которой не имеет значения их «дальнейшая судьба» – грубо говоря, «просто выбрали 4 штуки и всё». Таким образом, у нас имеют место сочетания деталей. Считаем их количество:

 способами можно взять 4 детали из ящика.

Ещё раз: что это значит? Это значит, что из набора 15 различных деталей можно составить одну тысячу триста шестьдесят пять уникальных сочетания 4 деталей. То есть, каждая такая комбинация из четырёх деталей будет отличаться от других комбинаций хотя бы одной деталью.

Ответ: 1365 способами

Формуле  необходимо уделить самое пристальное внимание, поскольку она является «хитом» комбинаторики. При этом полезно понимать и без всяких вычислений записывать «крайние» значения: . Применительно к разобранной задаче:

 – единственным способом можно взять ни одной детали;
 способами можно взять 1 деталь (любую из пятнадцати);
 способами можно взять 14 деталей (при этом какая-то одна из 15 останется в ящике);
 – единственным способом можно взять все пятнадцать деталей.

Пример 5.

Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать 3 карты?Решение: способами можно выбрать 3 карты из 36.
Ответ: 7140

Чем приятны многие комбинаторные задачи, так это краткостью – главное, разобраться в сути.

Пример 6. Сколькими способами читатель может выбрать две книжки из шести имеющихся?

Решение: Число способов равно числу сочетаний из шести книжек по две, т.е. равно:

в). Число размещений

из n элементов по m

Размещениями называют различные комбинации из mобъектов, которые выбраны из множестваnразличных объектов, и которые отличаются друг от друга как составом объектов в выборке, так и их порядком. Количество размещений рассчитывается по формуле . Различными размещениями из трех элементов {1, 2, 3} по два будут наборы (1, 2), (2, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 3),(3, 2). Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и их порядком.

Пример 7.

Боря, Дима и Володя сели играть в «очко». Сколькими способами им можно сдать по одной карте? (колода содержит 36 карт)

Решение: ситуация похожа на пример 5, но отличается тем, что здесь важно не только то, какие три карты будут извлечены из колоды, но и то, КАК они будут распределены между игроками. По формуле размещений:

 способами можно раздать 3 карты игрокам.

Ответ: 42840

Пример 8.

В студенческой группе 23 человека. Сколькими способами можно выбрать старосту и его заместителя?

Задача о «размещении» должностей в коллективе встречается очень часто.

Решение:  способами.

Пример 9. Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и цифра единиц различные и нечетные?
Решение: т.к. нечетных цифр пять, а именно 1, 3, 5, 7, 9, то эта задача сводится к выбору и размещению на две разные позиции двух из пяти различных цифр, т.е. указанных чисел будет:

Пример 10. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек?
Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение.

Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

г). Выполнение упражнений.

Теперь решим задачи, применяя все изученные формулы.

Из нечетных цифр составляют все возможные числа, содержащие не более четырех цифр. Сколько существует таких чисел?

Решение.

Нечетных цифр пять: 1,3,5,7,9.

Однозначных-5.

Двухзначных-5·5=25.

Трехзначных-5·5·5=125.

Четырехзначных-5·5·5·5=625.

Всего можно составить 5+25+125+625=780 (чисел).

Ответ: 780.

2. В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если уроки русского языка и литературы должны стоять рядом, а урок физкультуры последним?

Решение.

Порядок предметов имеет значение. Применяем формулу размещений. Ответ:12.

3.Имеется 9 различных книг, четыре из них учебники. Сколькими способами можно расставить эти книги на полке так, чтобы все учебники стояли рядом?

Решение.

Р₆· Р₄=6! ·4!=720·24=17280.

Ответ. 17280.

4. Сколькими способами можно изготовить трехцветный флаг

с горизонтальными полосами, если имеется 7 различных цветов?

Решение. Порядок предметов имеет значение. Применяем формулу размещений

=7·6·5=210.

Ответ.210.

д ) Проведем тестирование на использование этих трех формул.

На выполнение работы дается 7 минут. Ответ записываете в форме таблицы.

Тест по математике. Тема «Элементы комбинаторики»

1 вариант.

1.Сколько существует вариантов рассаживания 6 гостей на 6 стульях?

А)  36                Б) 180             С) 720             Д) 300

2.Сколькими способами 6 человек могут встать в очередь в кассу, если среди них есть две подруги, занявшие очередь вместе.

А)240 В)120 С)720 Д)1440

3. Сколько трехзначных различных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4 и 5 (Цифры в записи не повторяются)?

А)30 В)120 С)16 Д) 60

4. Имеются помидоры, огурцы, лук, морковь, капуста, свекла. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 3 различных вида овоща.

А)20 В)120 С)6 Д)720

5. В чемпионате города по футболу играет десять команд. Сколькими способами могут распределиться три призовых места?

А)120 В) 150 С)720 Д) 6

Тест по математике. Тема «Элементы комбинаторики»

2 вариант.

1. В корзине лежит: яблоко, апельсин, груша, мандарин и киви. Сколькими способами 5 девочек могут поделить фрукты? (одной девочке один фрукт)

А)24 В)120 С)60 Д) 32.

2. Сколькими способами 5 человек могут встать в очередь в кассу, если среди них есть две подруги, занявшие очередь вместе.

А)24 В)48 С)120 Д)240.

3. Сколько четырехзначных различных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4, 5 и 6(Цифры в записи не повторяются)?

А)360 В)15 С)120 Д)240.

4. Имеются помидоры, огурцы, лук, морковь, капуста, свекла и картофель. Сколько различных салатов можно приготовить, если в каждый салат должно входить 4 различных вида овоща.

А)210 В) 150 С)300 Д) 35

5.Из класса, в котором учится 25 человек, нужно выбрать старосту и заместителя старосты. Сколькими способами это можно сделать?

А)600 В) 150 С)300 Д) 25

Через 7 минут открываю ключ к тесту. Разбираем ответы. Исправляем ошибки.

КЛЮЧ

5.Правило сложения и правило умножения комбинаций.

Правило сложения комбинаций:

1) Знак «плюс» следует понимать и читать как союз ИЛИ.

Задача 1

Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать двух человек одного пола?

Решение: в данном случае не годится подсчёт , поскольку общее количество сочетаний включает в себя и разнополые пары.

Условие «выбрать двух человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

 способами можно выбрать 2 юношей;
 способами можно выбрать 2 девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать:  способами.

Ответ: 123

Правило умножения комбинаций:

2) Знак «умножить» следует понимать и читать как союз И.

Задача 2

Рассмотрим ту же студенческую группу, которая пошла на танцы. Сколькими способами можно составить пару из юноши и девушки?

 способами можно выбрать 1 юношу;
 способами можно выбрать 1 девушку.

Таким образом, одного юношу и одну девушку можно выбрать:  способами.

Следует отметить, что в данном примере не имеет значения «история» образования пары; однако если принять во внимание инициативу, то количество комбинаций нужно удвоить, поскольку каждая из 13 девушек тоже может пригласить на танец любого юношу. Всё зависит от условия той или иной задачи!

Похожий принцип справедлив и для более сложных комбинаций, например: сколькими способами можно выбрать двух юношей и двух девушек для участия в сценке КВН?

Союз И недвусмысленно намекает, что комбинации необходимо перемножить:

 возможных групп артистов.

Иными словами, каждая пара юношей (45 уникальных пар) может выступать слюбой парой девушек (78 уникальных пар). А если рассмотреть распределение ролей между участниками, то комбинаций будет ещё больше.

Задача 3

Из вазы с фруктами, в которой лежит 9 яблок и 6 груш, надо взять 3 яблока и 2 груши. Сколькими способами это можно сделать?

Решение. Порядок предметов не имеет значения. Применяем формулу сочетаний

=1260

Ответ.1260.

Задача 4

Сколько четных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 2, 3, 6, 7, 9?

Используя правило умножения,получаем: 5х3=15 .

Если группа сильная, можно дать понятие выборок с повторениями.

Перестановки, сочетания и размещения с повторениями

Перестановки с повторениями

В перестановках с повторениями, как и в «обычных» перестановках, участвуетсразу всё множество объектов, но есть одно но: в данном множестве один или большее количество элементов (объектов) повторяются. Встречайте очередной стандарт:

Задача 3

Сколько различных буквосочетаний можно получить перестановкой карточек со следующими буквами: К, О, Л, О, К, О, Л, Ь, Ч, И, К?

Решение: в том случае, если бы все буквы были различны, то следовало бы применить тривиальную формулу , однако совершенно понятно, что для предложенного набора карточек некоторые манипуляции будут срабатывать «вхолостую», так, например, если поменять местами любые две карточки с буквами «К» в любом слове, то получится то же самое слово. Причём, физически карточки могут сильно отличаться: одна быть круглой с напечатанной буквой «К», другая – квадратной с нарисованной буквой «К». Но по смыслу задачи даже такие карточкисчитаются одинаковыми, поскольку в условии спрашивается о буквосочетаниях.

Всё предельно просто – всего: 11 карточек, среди которых буква:

К – повторяется 3 раза;
О – повторяется 3 раза;
Л – повторяется 2 раза;
Ь – повторяется 1 раз;
Ч – повторяется 1 раз;
И – повторяется 1 раз.

Проверка: 3 + 3 + 2 + 1  + 1 + 1 = 11, что и требовалось проверить.

По формуле количества перестановок с повторениями:
 различных буквосочетаний можно получить. Больше полумиллиона!

Но предварительные комментарии о повторяющихся буквах обязательны!

Ответ: 554400

Если множество содержит n элементов, среди которых есть одинаковые , то перестановок будет меньше.

4. Например ,3 яблока,4 груши,2апельсина сколькими способами можно распределить на 9 дней? Размещения с повторениями

Характерная особенность этого вида комбинаций состоит в том, что выборка проводится из нескольких групп, каждая из которых состоит из одинаковых объектов.

Из множества, состоящего из  элементов, выбирается  элементов, при этом важен порядок элементов в каждой выборке. И всё бы было ничего, но довольно неожиданный прикол заключается в том, что любой объект исходного множества мы можем выбирать сколько угодно раз. Образно говоря, от «множества не убудет».

Когда так бывает? Типовым примером является кодовый замок с несколькими дисками, но по причине развития технологий актуальнее рассмотреть его цифрового потомка:

Задача 5. Сколько всех четырехзначных чисел можно составить из всех цифр?

Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

Решение: на самом деле для решения задачи достаточно знаний правил комбинаторики:  способами можно выбрать первую цифру пин-кода и  способами – вторую цифру пин-кода и столькими же способами – третью и столькими же – четвёртую. Таким образом, по правилу умножения комбинаций, четырёхзначный пин-код можно составить:  способами.

А теперь с помощью формулы. По условию нам предложен набор из  цифр, из которого выбираются  цифры и располагаются в определенном порядке, при этом цифры в выборке могут повторяться(т.е. любой цифрой исходного набора можно пользоваться произвольное количество раз). По формуле  количества размещений с повторениями:

Ответ: 10000

Если банкомат «съедает» карточку после третьей неудачной попытки ввода пин-кода, то шансы подобрать его наугад весьма призрачны.

И кто сказал, что в комбинаторике нет никакого практического смысла?

6. Подведение итогов урока. Домашнее задание: меняются вариантами тестов на дом.

Наше занятие подошло к концу, и напоследок я хочу сказать, что вы не зря потратили время – по той причине, что формулы комбинаторики находят ещё одно насущное практическое применение: они встречаются в различных задачах по теории вероятностей,

Всем спасибо за активное участие !

Дополнительные задачи :

1. Саша, Петя, Денис, Оля, Настя часто ходят в кафе. Каждый раз, обедая там, они рассаживаются по-разному. Сколько дней друзья смогут это сделать без повторения?

Решаем, используя понятие факториала: 5!=120

2. Из учащихся пяти 11 классов нужно выбрать двоих дежурных. Сколько пар дежурных можно составить (ученики в паре не должны быть из одного класса)?

Из пяти классов нужно выбрать 2 дежурных.
Число элементарных событий = = 10

3. В 8 “а” классе лучше всех математику знают 5 учеников: Вася, Дима, Олег, Катя и Аня. На олимпиаду по математике нужно отправить пару, состоящую из 1 мальчика и 1 девочки. Сколькими способами учительница может эту пару выбрать?

Мальчиков 3, из них 1 можно выбрать , девочек 2, из них можно 1 выбрать , используя правило умножения, получаем:
х = 6

4. В соревнованиях по фигурному катанию принимали участие россияне, итальянцы, украинцы, немцы, китайцы и французы.

Сколькими способами могут распределиться места по окончании соревнований?

Используя понятие факториала, получаем: 6!=720

5. Пете на день рождения подарили 7 новых дисков с играми, а Вале папа привез 9 дисков из командировки. Сколькими способами они могут обменять 4 любых диска одного на 4 диска другого?

Вычислим, сколько четверок из 7 дисков можно составить у Пети:
=35, число четверок у Вали из 9 дисков -= 126
По правилу умножения находим число обменов 35х126=4410

6. Войсковое подразделение состоит из 5 офицеров, 8 сержантов и 70 рядовых. Сколькими способами можно выделить отряд из 2 офицеров, 4 сержантов и 15 рядовых?

Из 5 офицеров выбрать 2 можно с помощью числа сочетаний =10 способами, из 8 сержантов 4 - =70, из 70 рядовых 15 -. По правилу умножения находим число выбора отряда:
10х70х=700х

7. В ювелирную мастерскую привезли 6 изумрудов, 9 алмазов и 7 сапфиров. Ювелиру заказали браслет, в котором 3 изумруда, 5 алмазов и 2 сапфиров. Сколькими способами он может выбрать камни на браслет?

Из 6 изумрудов 3 он может выбрать =20 способами, из 9 алмазов 5 -=126, из 7 сапфиров 2 - =21. По правилу умножения находим число вариантов 20х126х21=52920

8. На выборах победили 9 человек - Сафонов, Николаев, Петров, Кулаков, Мишин, Гусев, Володин, Афонин, Титов. Из них нужно выбрать председателя, заместителя и профорга. Сколькими способами это можно сделать?

Здесь речь идет о размещениях

9. В районе построили новую школу. Из пришедших 25 человек нужно выбрать директора школы, завуча начальной школы, завуча среднего звена и завуча по воспитательной работе. Сколькими способами это можно сделать?

Зная формулу размещения, получаем

10. В студенческом общежитии в одной комнате живут трое студентов Петя, Вася и Коля. У них есть 6 чашек, 8 блюдец и 10 чайных ложек (все принадлежности отличаются друг от друга). Сколькими способами ребята могут накрыть стол для чаепития (так, что каждый получит чашку, блюдце и ложку)?

Для Пети набор можно набрать 6х8х10=480 способами, для Васи - 5х7х9=315, для Коли - 4х6х8=192. По правилу умножения получаем
480х315х192=29030400 способами.

11. В кабинете заведующего ювелирного магазина имеется код, состоящий из двух различных гласных букв русского алфавита, за которой следуют 3 различные цифры. Сколько вариантов придется перебрать мошеннику, чтобы раздобыть драгоценности, которые там хранятся?

В русском языке 9 гласных букв - а, е, е, и, о, у, э, ю, я. Выбрать из них 2 можно =36 способами. Из 10 цифр выбрать 3 можно=120 способами. Применяя правило умножения, получаем:
36х120=4320

12. Сколькими способами можно составить трехцветный флаг из полос разной ширины, если имеются материи из 8 тканей?
Эта задача на размещение

13. В 9 классе 15 предметов. Завучу школы нужно составить расписание на субботу, если в этот день 5 уроков. Сколько различных вариантов расписания можно составить, если все уроки различные?

Из 15 предметов 5 любых можно выбрать

способами.

Используемые учебники и учебные пособия:

-Алгебра. 9 класс: Учеб. Для общеобразоват. учреждений/ Ю. Н. Макарычев, и др.- М.: Просвещение, 2009.

Используемая методическая литература:

1) Еженедельное учебно-методическое приложение “Математика” Изд. Пресса. Москва.1999 г

2) Ю.Н.Макарычев и др. Алгебра 9. Учебник для класса с углубленным изучением математики. Изд. Мнемозина, Москва.2005 год.

3) Л.Г. Петерсон. Математика 4 класс. Изд. Баласс. Москва.1999 г.

4) Ю.Н. Тюрин и др. Теория вероятностей и статистика. МЦНМО. Москва. 2004 год.

-Алгебра. Сборник заданий для подготовки к государственной итоговой аттестации в 9 классе./Кузнецова Л. В. и др.-М.:Просвещение,2009.

-Алгебра.9 класс. Подготовка к государственной итоговой аттестации-2010.Учебно-тренировочные тесты. Под редакцией Лысенко Л.Л, Кулабухова С. Ю- Ростов- на- Дону: Легтон,2010.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/402938-urokna-temu-jelementy-kombinatoriki