Урок в 10 классе по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Урок в 10 классе по теме «Решение тригонометрических уравнений»

Цели урока:

Образовательные:

- актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ЕГЭ;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- закрепить навыки решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений.

Развивающие:

- содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, синтезировать, сравнивать;

- формировать и развивать общеучебные умения и навыки: обобщение, поиск способов решения;

- отрабатывать навыки самооценивания знаний и умений, выбора задания, соответствующего их уровню развития.

Воспитательные:

- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности

Тип урока: урок повторения и обобщения.

Оборудование: Мультимедийный проектор-2, экран-2, компьютер-11,принтер,,бейджики, презентации ,справочный материал, тест по теории, тест с выбором ответа, карточки для дифференцированной работы, маркеры, ватманы, оценочные листы, флешки, диски, планшеты-4.

Ход урока

1.Орг. момент.

Учитель: Здравствуйте, садитесь! Сегодня мы проводим урок обобщения по теме «Решене тригонометрических уравнений». Задания по решению тригонометрических уравнений встречаются в вариантах ЕГЭ.

2. Учитель: Ребята, кто сегодня отсутствует? Все готовы к уроку? Итак, внимание. Начинаем! Я думаю, вам будет интересно на уроке. Слайд 1.

Цель урока сегодня - рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений; закрепить навыки и проверить умение решать тригонометрические уравнения, кроме того, познакомить с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.Слайд 2

В конце урока мне бы хотелось , чтобы вы, ребята ,ответили на вопрос: «Зачем мы изучаем тригонометрические уравнения?»

2.Устная работа.

Учитель: Первое задание для устной работы - решите уравнения:

На экране проецируется задание, затем появляются ответыСлайд 3-4

Учитель: Второе задание – используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание, затем появляются ответы Слайд 5-6

2.Основная часть урока.

Учитель: Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Учитель:А теперь выполним самостоятельную работу. Работа предлагается в 2 вариантах, после чего проверим правильность ее выполнения.

Найдите значения тригонометрических выражений:

На экране проецируется задание. Слайд 7-8

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

На экране проецируются ответы

Учитель: А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель: Выполняем следующую работу также самостоятельно. Вычислите:

На экране проецируется задание. Слайд 9-10

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

На экране проецируются ответы

Учитель: Ребята, а теперь перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а, cosx = а, tg х=а.

Учащиеся называют формулы решения уравнений

Учитель:Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений.

А) Решение тригонометрических уравнений по известным алгоритмам.

а) тригонометрические уравнения, приводимые к линейным или квадратным:

Asin² х + В sin х + С =0 или

Asin² х + В cos х + С =0

Решим уравнение:

sin² х + 5 sin х - 6 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin х = z, решая квадратное уравнение

z² + 5 z - 6 = 0, находят z₁ = 1; z₂ = -6

Решением уравнения sin х = 1 являются числа вида х = π/2 +2 π k, kZ.

Уравнение sin х = - 6 не имеет решения, так как -6 не принадлежит Е ( sin х ),

т.е. -6 не принадлежит [-1; 1]

Учитель:При решенииуравнения вида A sin² х + В cos х + С =0 вводим замену sin² х = 1 - cos² х, а затем решаем уравнение способом, аналогичным предыдущему.

Решите уравнение 2 sin² х + 3 cos х -3 =0.

Учащиеся решают уравнение, вводят замену sin² х = 1 - cos² х, получили

2 (1 - cos² х) +3 cos х -3 =0.

- 2cos² х + 3 cos х - 1 = 0 | (-1)

2cos² х - 3 cos х + 1 = 0

Замена cos х= t

Решая квадратное уравнение 2 t ² - 3t +1 = 0,

находят t₁ = 1; t₂ = 0,5

Решением уравнения cos х = 1 являются числа вида х = 2 π k, k Z.

Решением уравнение cos х = 0,5 являются числа вида х = ± arccos 0,5+ 2π n, n Z.

Учитель: А теперь выберите одно из предложенных уравнений и самостоятельно решите его.

На экране проецируется задание. Слайд 11

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами

На экране проецируются ответы Слайд 12

4.Физкультминутка и релаксация.

Слайд 13

(Здоровьесберегающий элемент урока)

Ребята, прежде чем начать и правильно настроиться на работу, выполним простое упражнение.

-Сядьте поудобнее на стуле, запрокиньте ногу на колено, придержите её руками, закройте глаза. Это поза бесконечности. Сосредоточьтесь над знаком бесконечность-вытянутая горизонтальная восьмёрка. Она находиться над вашим теменем, плавно колеблется над вашей головой. Вы это ярко представили. Постарайтесь удержать это изображение в вашем мысленном образе в течении нескольких секунд. (Пауза- молчание в течении 5 секунд). Спасибо! Откройте глаза, ребята. Когда человек сталкивается с бесконечностью, он невольно задумывается о своём здоровье.

.

Учитель: Ну вот, немного отдохнули, теперь продолжим вспоминать основные методы решения тригонометрических уравнений.

б) однородные тригонометрические уравнения.

Рассмотрим самое простое однородное тригонометрическое уравнение первой степени: A sin x+ B cos x = 0. Разделив обе части уравнения на cos x ≠ 0, получим уравнение вида tg x = С.

Решите уравнение 2 sin x+ 3 cos x = 0.

Учащиеся решают уравнение.

2 sinx+ 3 cosx = 0 | : cosx≠ 0

2 tgx + 3 =0

tgx = -1,5

х= arctg (-1,5) + πk, k Z или х = - arctg 1,5 + πk, k Z

Учитель: Теперь рассмотрим однородное тригонометрическое уравнение второго порядка: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = 0. Разделив обе части уравнения на cos² x ≠ 0, получим уравнение вида А tg ²x + В tg x + С = 0. Такого вида уравнения мы уже рассматривали.

Решите уравнение 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0

Учащиеся решают уравнение 2 sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0

2sin² х - 3 sinх cos х - 5 cos²х =0 | : cos²х≠ 0

2 tg ²x - 3 tg x - 5 = 0

замена tg x = t

2t² – 3 t – 5 =0

t₁ = -1; t₂ = 2,5

Решением уравнения tg х = -1 являются числа вида х = -π/2 + πk , k Z.

Решением уравнение tg х = 2,5 являются числа вида х = arctg 2,5+ πn, n Z.

Учитель:К однородным уравнениям после применения формул тригонометрии могут быть сведены различные тригонометрические уравнения, которые первоначально не были однородными.

Рассмотрим уравнение: А sin² х + В sinх cos х + С cos²х = D, преобразуем данное уравнение А sin² х + В sinх cos х + С cos²х =D (sin² х + cos²х)

или (А –D) sin² х + В sinх cos х + (С-D) cos²х =0.

Уравнение A sin x+ B cos x = С также не является однородным. Но после выполнения ряда преобразований данное уравнение становится однородным уравнение второго порядка:

A sin x+ B cos x = С

A sin 2 (x/2) + B cos 2(x/2) = С

2 A sin(x/2) cos(x/2) + В (cos²(x/2) - sin²(x/2) )= С (sin²(x/2) + cos²(x/2)). А теперь выберите два уравнения и самостоятельно решите их.

На экране проецируется задание. Слайд 14

Учитель: Ребята, проверьте свое решение с ответами.

На экране проецируются ответы слайд15

Учитель: А теперь сверьте свои ответы с ответами соседа. Сверили. Молодцы! А сейчас выполним самостоятельную работу следующего характера. Решите тригонометрическое уравнение вида A sin x+ B cos x = С рассмотренными способами.

На экране проецируется задание. Слайд16-17

На экране проецируются ответы

3.Подведение итогов урока.

Учитель:Подведем итоги урока. Сегодня на уроке мы вспомнили числовые значения тригонометрических функций, обратных тригонометрических функций, вспомнили формулы решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотрели общие подходы решения тригонометрических уравнений, закрепили навыки и проверили умения решать тригонометрические уравнения, познакомились с новыми способами решения некоторых известных тригонометрических уравнений.

Я думаю, что у вас сложилось более полное представление о тригонометрических уравнениях и разнообразии способов их решения. И у меня появилась уверенность, что с решением тригонометрических уравнений большинство из вас справится.

Фронтальным опросом вместе с учащимися подводятся итоги урока:

- Что нового узнали на уроке?

- Испытывали ли вы затруднения при выполнении самостоятельной работы?

- Испытывали ли вы затруднения при выборе самостоятельной работы?

- Какие из способов решения тригонометрических уравнений из рассмотренных оказались наиболее трудными?

- Какие пробелы в знаниях выявились на уроке?

- Какие проблемы у вас возникли по окончании урока?

Домашнее задание п.36.№626(1,3), 627(1),629(1)

Учитель:Дорогое ребята! Спасибо вам за работу на уроке. Я благодарю всех, кто принял активное участие в работе. Благодарю вас за помощь в проведении урока. Надеюсь на дальнейшее сотрудничество. Урок окончен. До свидания!

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/404078-urok-v-10-klasse-po-teme-reshenie-trigonometr