Применение производной для исследования функций

Государственное казенное общеобразовательное учреждение
«СОШ при УУИС» Кемеровская область

(Территориальное структурное подразделение в Чебулинском районе, ФКУ КП-2, ФКУ КП-3 ГУФСИН России по Кемеровской области)

КОНСПЕКТ

ОТКРЫТОГО УРОКА

по математике

ТЕМА:

«Применение производной к исследованию функции»

12а класс

Подготовила и провела:

Шкарупелова В.А. учитель математики высшей

квалификационной категории

Ноябрь 2019г

«Применение производной для исследования функций»

Цели:

повторить алгоритм исследования непрерывной функцииy=f(x) на монотонность и экстремумы;

используя общую схему исследования свойств функции и построения ее графика, строить графики функций;

способствовать развитию вкуса к исследованиям и поискам закономерностей, умению осуществлять наблюдения, формулировать гипотезы.

Планируемый результат урока:

знать необходимые и достаточные условия экстремума;

знать схему построения графиков функций;

уметь по графику производной и изображению знаков производной находить промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремумов функций;

уметь по графику функции определять, сколько решений (в зависимости от параметра а ) имеет уравнение f(x) = a.

Девиз урока: «Решай, ищи, твори и мысли».

Ход урока:

1. Организационный момент.

Активизировать внимание, объявить тему и цель урока.

Вводное слово учителя:

Вы уже накопили некоторый опыт исследования функций и построения графиков функций. Сегодня мы рассмотрим изученный материал с более общих позиций. Все задачи объединены по сюжетному принципу.

Весьма важно уметь переформулировать задачу и за внешними различиями увидеть общую схему решения.

2. Повторение теоретического материала.

Как находить экстремумы функции?

Т4 (необходимое и достаточное условие существование экстремума)

Если f ´(х)=0, то х₀ – стационарная точка,

если f ´(х) не существует, то х₀ – критическая точка.

Т5 (достаточное условие существования экстремума)

а) x₀ – точка max

f '(x) + -

f (x) x₀ x

б) x₀ – точка min

f ' (x) + -

f (x) x

в) x₀ – точка перегиба

f ' (x) + - f '(x) - + _________________________________ x __________________________________x

f (x) f(x)

3. Исследование функции по графику производной.

Задачи ГВЭ

Функция y=f(x) определена на промежутке [-6;3]. График производной изображен на рисунке.

у y=f ' (x)

f ' (x) _ + _ + _

_______●______________●__________●______________●______________________

f(x) -5 -2 0 2

Задания для учащихся .

1) Изобразить схематически знаки производной на промежутке области определения:

Как называются точки -5, -2, 0, 2 ?

Ответить на вопросы:

Укажите число точек максимума. ( х_max=-2, х_min=2). Ответ: 2.

Найти число точек экстремумов. Ответ: 4.

Укажите число точек минимума функции. (x_min=-5,x_min=0) Ответ:2.

Укажите число промежутков возрастания функции. [-5;-2],[0;2]. Ответ: 2.

Укажите количество точек графика функции, в которых касательная параллельна оси ОХ. -5; -2; 0; 2. Ответ: 4.

Найдите наибольшую из длин промежутков убывания функции. [-2;0] Ответ: 2.

Укажите количество промежутков убывания функции. Ответ: 3.

Найдите суммарную длину промежутков возрастания функции. (3+2=5) Ответ: 5.

Укажите количество интервалов убывания функции. Ответ: 3.

4. Схема исследования свойств функции и построение графика функции.

Пример 1. а) Построить график функции y=5x³– 3x⁵

б) Для каждого значения параметра а решить уравнение.

Решение:

а) у=5х³- 3х⁵

1).D(y) = (- ∞; +∞).

2). Функция нечетная.

3.)Нули функции: у=0 х³ ( 5 – 3х²) = 0,

х = 0, х = ±

4). Промежутки монотонности :

у ' = 15х² – 15 х⁴ ,

у ' = 0, 15х² (1 – х²) = 0

х = 0, х = ±1 – стационарные точки.

у '(х) - + + -

______________________________________________

у(х) -1 0 1 х

х_min=-1,x_max=1,x=0 –точка перегиба

у_min= у(- 1)= - 5 + 3 = - 2

y_max= y(1) = 5 – 3 =2

y(0) = 0

5). Построим график функции:

б). Решим уравнение: 5х³ – 3х² = а графически:

Пусть y= 5x³-3x²,y = a.

При а (-∞; -2) (2;∞) уравнение имеет 1 корень;

при а = -2, а = 2 уравнение имеет 2 корня;

при а уравнение имеет 3 корня.

5. Задачи тестирования.

1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х⁵-1,5х⁴+х³+4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5

у ' = 3х⁴ – 6х³ + 3х² Решение:

у ' + + + х

3х² (х² – 2х + 1) = 0 __________________________

х² (х – 1)² = 0 у 0 1

Нет экстремумов

Ответ: 1

2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х⁵-5х³+1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

Решение :

у ' =15х⁴ – 15х²

15х² (х² -1) = 0

х=0 – корень четной кратности

у ' + - - +

___________________________________

у - 1 0 1

х = ± 1

Промежуток убывания [-1; 1], длина промежутка 2.

Ответ: 3

3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х⁵ – 15х².

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

Решение:

у ' =15х⁴ – 30х

15х ( х³ - 2) = 0 у ' + - +

х = 0, х = - точки экстремумов ___________________________________ х

у

Ответ : 3

4. Найдите значение функции у = 2х² - в точке минимума.

Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0

Решение:

у ' =4х -

=0, 8х^3/2– 1 =0, х > 0, х =

у_min = у( ) = 2 - = - = -

у ' - +

_________○________________●__________х

у 0

Ответ: 2

5. Найдите количество точек экстремума функции у = .

Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0

Решение:

у = - +

у ' =- =0

х = ± 1 – стационарная точка

х = 0 - критическая точка

у ' + - - +

_______________●______○______●_______ х х_max = -1, х_min = 1

у

-1 0 1

Ответ: 2

6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )².

Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5)

Решение:

у ' =2 (х -1) + ОДЗ. х > 0

=0; = 0;

5х²– 6х +1 = 0 х ₁= 1, х₂=- стационарные точки, х = 0 – критическая точка

х > 0

у ' + - +

__________○________●________●________х х_min = 1

у 0 1

Ответ: 2

7. Найти количество точек экстремумов функции у = .

Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

Решение:

у = -+

у ' =-, =0

х = ± 3 – стационарные точки

х = 0 - критическая точка четной кратности

у ' + - - +

____________●________○_________●_______ х х_max = -3, x_min = 3

у -3 0 3

Ответ: 1

8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)⁴.

Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1

Решение:

у ' =4 (х – 1)³ + ; =0; =0

х = 1, х = - стационарные точки

х = 0 – критическая точка (х > 0)

у ' + - +

______○_________●_________●_________х х_max =

у 0 1

Ответ: 4

6. Итоги урока.

Повторили условия существования экстремума.

По графику производной находили промежутки монотонности функции, определяли характер экстремумов.

По графику функции, построенному с применением производной, исследовали, сколько решений может иметь уравнение, содержащее параметр.

Познакомились с заданиями централизованного тестирования.

Приложения.

1. Найдите количество точек экстремума функции у=0,6х⁵-1,5х⁴+х³+4.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5)5

2. Найдите длину промежутка убывания функции у=3х⁵-5х³+1.

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 4 5) 5

3. Найдите количество точек экстремумов функции у = 3х⁵ – 15х².

Ответы: 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 5) 4

4. Найдите значение функции у = 2х² - в точке минимума.

Ответы: 1) - 2) - 3) - 4) - 5) 0

5. Найдите количество точек экстремума функции у = .

Ответы: 1) 1 2)2 3) 3 4) 4 5) 0

6. Найдите точку минимума функции у = (х -1 )².

Ответы: 1)0 2) 1 3) 2 4) 3 5)

7. Найти количество точек экстремумов функции у = .

Ответы: 1)2 2) 3 3) 1 4) 0 5) 4

8. Найдите точку максимума функции у = (х -1)⁴.

Ответы: 1) 0 2) 3) 4) 5) 1

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/404416-primenenie-proizvodnoj-dlja-issledovanija-fun