Олимпиада для учащихся 7 класса, школьный тур

Олимпиада – 7

1) В полдень самолет вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14:00 местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 06:00. Сколько времени длился полет, если туда и обратно самолет летел с одинаковой скоростью?

2) Разрежьте фигурку на 5 частей и сложите из них два равных квадрата.

3) Брату и сестре понравилась открытка, но, чтобы купить ее, брату не хватило 20 рублей, а сестре – 14 рублей. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 рублей. Сколько стоит открытка?

4) Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? Найдите все варианты.

5) Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 70 мерседесов, остальные машины – запорожцы. Докажите, что найдутся три стоящих подряд мерседеса.

Олимпиада – 7

1) В полдень самолет вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14:00 местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 06:00. Сколько времени длился полет, если туда и обратно самолет летел с одинаковой скоростью?

2) Разрежьте фигурку на 5 частей и сложите из них два равных квадрата.

3) Брату и сестре понравилась открытка, но, чтобы купить ее, брату не хватило 20 рублей, а сестре – 14 рублей. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 рублей. Сколько стоит открытка?

4) Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? Найдите все варианты.

5) Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 70 мерседесов, остальные машины – запорожцы. Докажите, что найдутся три стоящих подряд мерседеса.

Олимпиада – 7

1) В полдень самолет вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14:00 местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 06:00. Сколько времени длился полет, если туда и обратно самолет летел с одинаковой скоростью?

2) Разрежьте фигурку на 5 частей и сложите из них два равных квадрата.

3) Брату и сестре понравилась открытка, но, чтобы купить ее, брату не хватило 20 рублей, а сестре – 14 рублей. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 рублей. Сколько стоит открытка?

4) Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? Найдите все варианты.

5) Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 70 мерседесов, остальные машины – запорожцы. Докажите, что найдутся три стоящих подряд мерседеса.

Олимпиада – 7

1) В полдень самолет вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14:00 местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 06:00. Сколько времени длился полет, если туда и обратно самолет летел с одинаковой скоростью?

2) Разрежьте фигурку на 5 частей и сложите из них два равных квадрата.

3) Брату и сестре понравилась открытка, но, чтобы купить ее, брату не хватило 20 рублей, а сестре – 14 рублей. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 рублей. Сколько стоит открытка?

4) Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? Найдите все варианты.

5) Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 70 мерседесов, остальные машины – запорожцы. Докажите, что найдутся три стоящих подряд мерседеса.

Олимпиада – 7

1) В полдень самолет вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14:00 местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 06:00. Сколько времени длился полет, если туда и обратно самолет летел с одинаковой скоростью?

2) Разрежьте фигурку на 5 частей и сложите из них два равных квадрата.

3) Брату и сестре понравилась открытка, но, чтобы купить ее, брату не хватило 20 рублей, а сестре – 14 рублей. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 рублей. Сколько стоит открытка?

4) Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? Найдите все варианты.

5) Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 70 мерседесов, остальные машины – запорожцы. Докажите, что найдутся три стоящих подряд мерседеса.

Олимпиада – 7

1) В полдень самолет вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14:00 местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 06:00. Сколько времени длился полет, если туда и обратно самолет летел с одинаковой скоростью?

2) Разрежьте фигурку на 5 частей и сложите из них два равных квадрата.

3) Брату и сестре понравилась открытка, но, чтобы купить ее, брату не хватило 20 рублей, а сестре – 14 рублей. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 рублей. Сколько стоит открытка?

4) Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? Найдите все варианты.

5) Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 70 мерседесов, остальные машины – запорожцы. Докажите, что найдутся три стоящих подряд мерседеса.

Решение

1) Пусть в городе Энске на х часов больше, чем в Москве (то есть, если в Москве, например, полдень, то в Энске 12 + х часов). Тогда полет из столицы в Энск занял 14 + х – 12 =

= 2 + х часов, а обратно – 6 – (0 + х) = 6 – х часов. Так как продолжительность полета туда и обратно одинакова, то получим уравнение2 + х = 6 – х, откуда х = 2. Таким образом, полет длился 4 часа.

2)

3) Если добавить к деньгам брата деньги сестры, из 20 недостающих рублей у брата останется 4. Следовательно, у сестры 16 рублей, а открытка стоит 30 рублей.

4) Искомое число должно оканчиваться на 8 или 9, иначе при увеличении его на 2 сумма цифр не уменьшится. Числа 98 и 99 не подходят. В остальных случаях сумма единиц уменьшается на 8, а число десятков увеличивается на 1. То есть сумма цифр уменьшается на 7. Так как при этом она уменьшилась в два раза, то у исходного числа она равна 14. Следовательно, искомые числа 59 или 68. (Можно также просто проверить все двузначные числа, оканчивающиеся на 8 и 9).

5) Будем доказывать методом от противного. Пусть не существует трех мерседесов, стоящих рядом. Тогда все мерседесы разбиваются запорожцами на группы, состоящие из одной или двух машин. Сопоставим каждой такой группе (кроме, быть может, последней) запорожец, стоящий справа. Поскольку всего таких групп как минимум 35 (всего мерседесов 70), то у нас должно быть не менее 34 запорожцев. А у нас их 30. Таким образом, существует три рядом стоящих мерседеса.

Олимпиада – 7

1) В полдень самолет вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14:00 местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 06:00. Сколько времени длился полет, если туда и обратно самолет летел с одинаковой скоростью?

2) Разрежьте фигурку на 5 частей и сложите из них два равных квадрата.

3) Брату и сестре понравилась открытка, но, чтобы купить ее, брату не хватило 20 рублей, а сестре – 14 рублей. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 рублей. Сколько стоит открытка?

4) Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? Найдите все варианты.

5) Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 70 мерседесов, остальные машины – запорожцы. Докажите, что найдутся три стоящих подряд мерседеса.

Решение

1) Пусть в городе Энске на х часов больше, чем в Москве (то есть, если в Москве, например, полдень, то в Энске 12 + х часов). Тогда полет из столицы в Энск занял 14 + х – 12 =

= 2 + х часов, а обратно – 6 – (0 + х) = 6 – х часов. Так как продолжительность полета туда и обратно одинакова, то получим уравнение2 + х = 6 – х, откуда х = 2. Таким образом, полет длился 4 часа.

2)

3) Если добавить к деньгам брата деньги сестры, из 20 недостающих рублей у брата останется 4. Следовательно, у сестры 16 рублей, а открытка стоит 30 рублей.

4) Искомое число должно оканчиваться на 8 или 9, иначе при увеличении его на 2 сумма цифр не уменьшится. Числа 98 и 99 не подходят. В остальных случаях сумма единиц уменьшается на 8, а число десятков увеличивается на 1. То есть сумма цифр уменьшается на 7. Так как при этом она уменьшилась в два раза, то у исходного числа она равна 14. Следовательно, искомые числа 59 или 68. (Можно также просто проверить все двузначные числа, оканчивающиеся на 8 и 9).

5) Будем доказывать методом от противного. Пусть не существует трех мерседесов, стоящих рядом. Тогда все мерседесы разбиваются запорожцами на группы, состоящие из одной или двух машин. Сопоставим каждой такой группе (кроме, быть может, последней) запорожец, стоящий справа. Поскольку всего таких групп как минимум 35 (всего мерседесов 70), то у нас должно быть не менее 34 запорожцев. А у нас их 30. Таким образом, существует три рядом стоящих мерседеса.

Олимпиада – 7

1) В полдень самолет вылетел из столицы в город Энск и приземлился там в 14:00 местного времени. В полночь по местному времени он вылетел обратно и оказался в столице в 06:00. Сколько времени длился полет, если туда и обратно самолет летел с одинаковой скоростью?

2) Разрежьте фигурку на 5 частей и сложите из них два равных квадрата.

3) Брату и сестре понравилась открытка, но, чтобы купить ее, брату не хватило 20 рублей, а сестре – 14 рублей. Когда же они сложили вместе имеющиеся у них деньги, то оказалось, что им не хватает еще 4 рублей. Сколько стоит открытка?

4) Двузначное число увеличили на 2. Сумма цифр полученного числа в два раза меньше суммы цифр исходного числа. Какое число могло быть исходным? Найдите все варианты.

5) Вдоль правой стороны дороги припарковано 100 машин. Среди них – 70 мерседесов, остальные машины – запорожцы. Докажите, что найдутся три стоящих подряд мерседеса.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/417222-olimpiada-dlja-uchaschihsja-7-klassa-shkolnyj