Опорный конспект по геометрии (дистанционное обучение)

ОПОРНЫЙ КОНСПЕКТ 8 класс

(дистанционное обучение)
Умножение вектора на число. Применение векторов к решению задач

На данном уроке мы рассмотрим новую операцию над векторами – умножение вектора на число. Кроме того, мы сформулируем законы умножения и научимся применять знания о векторах к решению различных задач.

На предыдущих уроках мы рассмотрели понятие вектора, ввели определения коллинеарных, сонаправленных, противонаправленных и равных векторов. Научились складывать и вычитать векторы, ввели законы сложения. Теперь нам нужно научиться умножать вектор на число. Особенность данной операции состоит в том, что число – это просто численная величина, не имеющая направления, а вектор – это направленный отрезок, имеющий численное измерение и направление.

Рассмотрим такую ситуацию: по дороге едут два автомобиля, скорость одного – 30 км/ч, а второго – 60 км/ч. Очевидно, что скорость второго автомобиля в два раза больше скорости первого, и скорость второго можно выразить через скорость первого, умножив скорость первого на два.

Определение

Произведение ненулевого вектора   на число k – такой вектор  , длина которого равна  , причем векторы   и   сонаправлены при   и противонаправлены при  . Произведение нулевого вектора на любое число – это нулевой вектор.

Пусть задан вектор   (см. Рис. 1). Вектор   – это вектор, направленный в ту же сторону, но длина его в два раза больше.

Вектор   имеет длину, в два раза большую, чем вектор   и ему противонаправлен.

Рис. 1

Законы умножения

Законы, которым подчиняется операция умножения вектора на число:

 – сочетательный закон;

 – первый распределительный закон;

 – второй распределительный закон.

Решение задач

Анализ данных законов показывает, что действия с векторами аналогичны действиям с алгебраическими выражениями.

Пример 1 – упростить выражение:

Раскроем скобки:

Приведем подобные:

Пример 2: Дан отрезок АВ (см. Рис. 2). Точка С – середина отрезка, точка О – произвольная точка плоскости.  ,  . Доказать, что вектор  .

Решение:

1 способ: применим правило треугольника и выразим вектор   как сумму двух векторов:

С другой стороны:   

Получили систему двух уравнений:

Рис. 2

Сложим уравнения системы:

, так как С – середина АВ, значит, модули данных векторов равны, но они противонаправлены, значит, их сумма – это нулевой вектор.

Получаем:

Поделим обе части на два:

Что и требовалось доказать.

2 способ:

Раскроем скобки и приведем подобные:

Пример 3: Доказать, что средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Мы знаем, что средняя линия трапеции соединяет середины ее боковых сторон, кроме того, мы знаем, что основания трапеции параллельны.

Воспользуемся правилом многоугольника и выразим вектор   как сумму векторов:

Рис. 3

С другой стороны, 

Получаем систему уравнений:

Выполним сложение уравнений системы, получаем:

Векторы   противоположны и дают в сумме нулевой вектор, так как М – середина АВ, то есть модули данных векторов равны, кроме того, очевидно, что они противонаправлены. Аналогично векторы   дают в сумме нулевой вектор. Таким образом, получаем:

Поделим обе части на два:

Таким образом, мы доказали, что средняя линия равна полусумме оснований. Кроме того, равенство вектора   сумме   говорит о том, что прямая MN параллельна основаниям трапеции.

Итак, в данном уроке мы изучили операцию умножения вектора на число и сформулировали законы умножения. Кроме того, мы научились применять факты о векторах к решению различных задач.

Домашнее задание

Задание 1: для произвольного четырехугольника MNPQ докажите, что:  ;  .

Задание 2: сторона равностороннего треугольника   равна а. Найдите:  ;  ; ; ; .

Задание 3: точки M и N – середины сторон АВ и ВС треугольника  . Выразите векторы  ,  ,  ,   через векторы  ,  .

ТЕСТ ПО ТЕМЕ

8 КЛАСС

 УМНОЖЕНИЕ ВЕКТОРА НА ЧИСЛО

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ВАРИАНТ 1

  А1. Заданы векторы

  Найдите вектор

  А2. Известно, что выполнено равенство

  Выразите вектор

  через векторы

  А3. Найдите величину

   В1. В параллелограмме ABCD дано:

  Выразите вектор

  через векторы 

    В2. Векторы a и b связаны с векторами m и n равенствами

  Выразите векторы m и n через векторы a и b.

    С1. Пусть

  Выразите вектор 

  через векторы

Вариант 2

А1. Заданы векторы

  Найдите вектор

   А2. Известно, что выполнено равенство

  Выразите вектор

  через векторы

  А3. Найдите величину

    В1. В параллелограмме ABCD дано:

  Выразите вектор

  через векторы

  В2. Векторы a и b связаны с векторами m и n равенствами

  Выразите векторы m и n через векторы a и b.

  С1. Пусть

  Выразите вектор

  через векторы

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/427178-opornyj-konspekt-po-geometrii-distancionnoe-o