Методическая разработка «Алгоритмы решения тригонометрических уравнений»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ,

НАУКИ И МОЛОДЕЖНОЙ ПОЛИТИКИ НИЖЕГОРОДСКОЙ ОБЛАСТИ

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

"Лукояновский педагогический колледж им. А.М.Горького"

(ГБПОУ ЛПК)

Методическая разработка

АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Разработала:

Перевозова Юлия Алексеевна, преподаватель математики

Лукоянов 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

Теоретические сведения о тригонометрических уравнениях

1.1. Исторические сведения

1.2. Простейшие тригонометрические уравнения

2. Методы решения тригонометрических уравнений

2.1. Уравнения, сводящиеся к квадратным

2.2. Уравнения, решаемые разложением на множители

2.3. Однородные тригонометрические уравнения

2.4. Уравнения вида а sinx+bcosx=c.

1.ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ

1.1. Исторические сведения

Некоторые сведения о науке, позже получившей название «тригонометрия», были еще у древних египтян (IV-V.век.до.н.э.). В папирусе Ахмеса есть пять задач, касающихся измерения пирамид, в которых упоминается какая-то функция угла — «сект». Есть мнение, что «сект» обозначает котангенс угла. Применение этой функции носило сугубо практическую причину: египетские архитекторы строили пирамиды, строго придерживаясь одного и того же значения угла наклона боковой грани к основанию (52°) и угла между ребром и диагональю основания (42°). А для этого надо было знать соответствующие отношения между линейными элементами четырехугольной пирамиды.

Вавилоняне так же имели некоторые знания об этой области математики: они ввели разделение круга на 360° и разделение градуса на 60 частей, что соответствовало принятой в древней Месопотамии шестидесятеричной системе счисления. Для измерения углов вавилоняне пользовались примитивной астролябией.

Древние греки умели решать многие тригонометрические задачи, но они применяли геометрические, а не алгебраические методы. Несколько теорем тригонометрического характера содержат «Начала» Евклида (IV век до н. э.). В первой книге «Начал» теоремы 18 и 19 устанавливают, что большей стороне треугольника соответствует больший противолежащий угол — и обратно, большему углу соответствует большая сторона. Теоремы 20 и 22 формулируют «неравенство треугольника»: из трёх отрезков можно составить треугольник тогда и только тогда, когда длина каждого меньше суммы длин двух других. Теорема 32 доказывает, что сумма углов треугольника равна 180°.

Во второй книге «Начал» теорема 12 представляет собой словесный аналог теоремы косинусов:в тупоугольных треугольниках квадрат на стороне, стягивающей тупой угол, больше [суммы] квадратов на сторонах, содержащих тупой угол, на дважды взятый прямоугольник, заключённый между одной из сторон при тупом угле, на которую падает перпендикуляр, и отсекаемым этим перпендикуляром снаружи отрезком при тупом угле.

Следующая за ней теорема 13 — вариант теоремы косинусов для остроугольных треугольников. Аналога теоремы синусов у греков не было, это важнейшее открытие было сделано гораздо позднее.

Дальнейшее развитие тригонометрии связано с именем астронома Аристарха Самосского (III век до н. э.). В его трактате «О величинах и расстояниях Солнца и Луны» ставилась задача об определении расстояний до небесных тел; эта задача требовала вычисления отношения сторон прямоугольного треугольника при известном значении одного из углов. Аристарх рассматривал прямоугольный треугольник, образованный Солнцем, Луной и Землёй вовремя квадраты (квадрату́ра — в астрономии такая конфигурация Луны или внешней планеты (то есть планеты, более удалённой от Солнца, чем Земля) относительно Земли и Солнца, когда угол планета-Земля-Солнце равен 90°. Если светило при этом находится к востоку от Солнца, конфигурация называется восточной квадратурой, к западу — западной квадратурой. В восточной квадратуре разность эклиптических долгот Солнца и светила составляет −90°, в западной +90°). Ему требовалось вычислить величину гипотенузы (расстояние от Земли до Солнца) через катет (расстояние от Земли до Луны) при известном значении прилежащего угла (87°), что эквивалентно вычислению значения sin 3°. По оценке Аристарха, эта величина лежит в промежутке от 1/20 до 1/18, то есть расстояние до Солнца в 20 раз больше, чем до Луны; на самом деле Солнце почти в 400 раз дальше, чем Луна, ошибка возникла из-за неточности в измерении угла.

Тригонометрическую функцию синус впервые ввели древние индийцы в трактате «Сурья-сиддханта». Свойства этой функции исследовал индийский математик 5 века Ариабхата. Дальнейший вклад в развитие тригонометрии сделали арабские математики. До 10 века они апеллировали всеми тригонометрическими функциями и протабулировали их. В Европу понятие тригонометрических функций пришло с переводами трудов ал-Баттани и Ат-Туси. Одной из первых работ европейской математики, посвященных тригонометрии была книга «DeTriangulis» немецкого математика 15 века Региомонтана. Однако, еще в 16 веке тригонометрия была мало известна. Коперник вынужден был посвятить ее описанию 2 отдельных раздела в своей работе «Об обращении небесных сфер» (лат. «Derevolutionibusorbiumcoelestium»).

Быстрое дальнейшее развитие тригонометрии было обусловлено требованиями навигации и картографии. Сам термин тригонометрия ввел, опубликовав в 1595 книгу под таким же названием, немецкий математик Варфоломей Питиск (нем. BartholomäusPitiscus, 1561—1613). Гемма Фризий описал метод триангуляции.

Со становлением математического анализа тригонометрия получила новые методы. Благодаря трудам Брука Тейлора и Колина Маклорена тригонометрические функции получили представление в виде рядов. Формула Муавра установила связь между тригонометрическими функциями и экспонентой. Леонард Эйлер расширил определение тригонометрических функций на комплексную плоскость.

1.2. Простейшие тригонометрические уравнения

Простейшими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида:

sinx=a cosx=a ,tgx=actgx=a, где a – произвольное число.

Уравнениеsin x = a

sinx = a, где а – произвольное число

Обычная форма записи решения:

x=(-1)ⁿarcsina+πn,n €Z

Более удобная форма записи решения:

х₁=arcsin a+2πn, n €Z

Ограничения на число a: в случае,когда , уравнение решений не имеет.

Графическое обоснование решения уравнения sin x = a представлено на рисунке 1

Рис. 1.

Уравнениеcosx = a

cosx = a, где а – произвольное число

Обычная форма записи решения:

Ограничения на число a: в случае,когда , уравнение решений не имеет.

Графическое обоснование решения уравнения cos x = a представлено на рисунке 2.

Рис. 2.

Уравнениеtgx = a

tgx = a, где а- произвольное число

Обычная форма записи решения:

Ограничения на число a: Ограничений нет.

Графическое обоснование решения уравнения tg x = a представлено на рисунке 3.

Рис. 3.

Уравнение ctg x = a

сtg x = a, где а – произвольное число.

Обычная форма записи решения:

Ограничения на число a: Ограничений нет.

Графическое обоснование решения уравнения ctg x = a представлено на рисунке 4.

Рис. 4.

Особо используются частные случаи элементарных тригонометрических уравнений, когда тригонометрические функции равны -1, 0, 1, в которых решение записывается без применения общих формул.

Частные случаи:

Таким образом, мы пришли к выводам:

Начало тригонометрии дотируется IV-V веками. до. н. э. Еще в Древнем Египте при постройке пирамид использовалась тригонометрия.

Тригонометрия используется не только в математике, но и во многих других направлениях, как астрономия и навигация.

Основой тригонометрии являются простейшие тригонометрические уравнения:

sinx =a,cosx=a,tgx=a,ctgx=a, где a – произвольное число.

2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

2.1. Уравнения, сводящиеся к квадратным уравнениям

К уравнениям, сводящимся к квадратным относятся уравнения вида:

a sin²x+ b sin x+c=0,

a cos ³x+ b cos x+c=0;

a tg⁴3x+ b tg² 3x+c=0,

a ctg²2x+ b ctg 2x+c=0.

Действительно, заменив в них соответственно sinx=y,cosx=z,tg 3x=t,ctg 2x=u, получим квадратные уравнения:

ay²+ by+c=0,

az²+ bz+c=0,

at⁴+ bt²+c=0,

au²+ bu+c=0.

Решив каждое из них, найдем sinx,cosx,tg 3x,ctg 2x.

Уравненияasin²x+bcosx+c=0,acos²x+bsinx+c=0,atgx+bctgx =0, также относятся к данному виду. Для решения уравнения необходимо выполнить преобразования, для это применим основное тригонометрическое тождество.

Применяем схему :

Ведём замену а.

Находим корни квадратного уравнения.

Возвращаемся к замене и решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

Записываем ответ.

Пример 1.Решить уравнение

2 sin² x + sin x – 1 = 0

Пусть sin x = y

2 y ² + y – 1 = 0

D = b ² – 4 ac = 1 – 4 ∙ 2 ∙ (– 1) = 1 + 8 = 9

= 3

y₁= (-1+3)/4 = ½

y₂= (-1 -3)/4 = -1

sin x = ½ sin x = -1

x = π/6+πn, nZ x = 3 πn/2+πn n Z

Ответ:x = π/6+πn, nZ,x = 3 πn/2+πn nZ

Пример 2. Решить уравнение

Т.к. 8 – (–1) + (–9)=0, то

Ответ:

2.2.Уравнения, решаемые разложением на множители

При решении уравнений методом разложения нужно пользоваться всеми известными способами разложения на множители алгебраических выражений. Это вынесение за скобки общего множителя, группировка, применение формул сокращенного умножения и деления и искусственные приемы.

1. Вынесение общего множителя за скобки

ac+bc=c(a+b)

2. Использование формул сокращенного умножения.

​[1](a+b)​2​² =a​²+2ab+b​²

​​​[2](a−b)​2=a² −2ab+b​²

​​​[3]a​²−b​² =(a−b)(a+b)

​[4](a+b)​³ =a​³+3a​²b+3ab​²+b​³

​[5](a−b)​³ =a​³−3a​²​​b+3ab​²−b​^­3

​[6]a​³+b​³ =(a+b)(a​²−ab+b​²)

​[7]a​³ −b​³​​ =(a−b)(a​²​ +ab+b​²​​)

3. Метод группировки.

Применяется если преобразование не очевидно.

x​³−5x​²y−3xy+15y​²

4. Метод выделения полного квадрата.

Можно преобразовать многочлен и привести к виду разности квадратов, например и применить формулу сокращенного умножения.

Пример 3.Решить уравнение

2 sinxcosx – sinx = 0

sinx(2 cosx-1) = 0

sinx=0 2 cosx-1=0

x= πn+ πn, х 2 cosx=1

соsx= ½

x= π/3+ πn,x.

Ответ: x= πn+ πn, х,x= π/3+ πn,x.

Пример 4.Решить уравнение

2 sin³ x - cos 2x - sinx = 0

Сгруппируем первый член с третьим, а cos 2x = cos² x - sin² x.

(2sin³ x - sin x) – (cos² x - sin x) = 0,

Вынесем из выражения, стоящего в первой скобке sin x, а cos² x = 1 - sin x.

sin x (2sin² x – 1) – (1 - 2 sin² x) = 0,

sin x (2sin² x – 1) + (2 sin² x - 1) = 0,

(2 sin² x - 1) (sin x + 1) = 0.

Ответ: x₁ = ± /4 + n, n = Z, x₂ = - /2 +2k, k = Z.

2.3. Однородные тригонометрические уравнения

Уравненияasinx+bcosx=0;asin²x+bsinxcosx+ccos²x=0;asin³x+bsin²xcosx+csinxcos²x+dcos³x=0 и т.д. называют однородными относительноsinx и cosx. Сумма показателей степеней при sinx и cosx у всех членов такого уравнения одинакова. Эта сумма называется степенью однородного уравнения. Рассмотренные уравнения имеют соответственно первую, вторую и третью степень. Делением на cos^kx, где k-степень однородного уравнения, уравнение приводится к алгебраическому относительно функции tgx.

Рассмотрим сначала однородное тригонометрическое уравнение первой степени. Запишем его в общем виде:

asinx+bcosx=0 (1)

Разделим уравнение (1) на sinx (или на cosx) и получим: atgx+b=0.

Решать такие уравнения мы умеем: tgx=-b/a, x=-arctg(b/a) +πk,k€Z.

Заметим, что, решая это уравнение, мы выполняли деление уравнения на выражение с переменной. Так как это действие не является равносильным, проверим, не потеряли ли мы корни.

Если cosx=0, то sinx=±1.То есть при подстановке в уравнение (1) таких значений х, при которых cosx=0 , оно не обратиться в верное числовое равенство, а значит такие х корнями исходного уравнения не являются, и значит наше действие не приведет к потере корней.

Пример 5.Решить уравнение

2sinx-5cosx=0

2tgx-5=0

tgx=2,5

x=arctg 2,5+πk,kZ.

Ответ: x=arctg2,5+πk, kZ.

Решим теперь однородное тригонометрическое уравнение второй степени

Общий вид такого уравнения:

asin²x+bsincosx+dcos²=0 (2)

Так же, как и уравнение (1), разделим его на наибольшую степень cos х. Так же, как и при решении уравнения (1), мы должны убедиться в том, что при делении уравнения на выражение с переменной мы не потеряли корней. Это не произойдет в том случае, если d не равно 0.

После деления мы получили квадратное уравнение относительно тангенса х, которое и решаем известными способами.

atg²x+b+gx+d=0.

При решении этого уравнения мы можем вводить новую переменную tgx=t , но можем этого и не делать.

Пример 6. Решить уравнение

6sin²x+2sinxcosx-4cos ²x=0

cos² x≠ 0

6 tg² x+2 tgx-4=0

Пустьtgx=y

6 y ²+2 y-4=0

D=4+4·6·4=100;

y₁=(-2+10)/2·6=8/12=2/3

y₂ = (-2 -10)/2·6=-12/12= -1

tgx=2/3 tgx= -1

х=arctg 2/3+Пn, nx=

Ответ:х=arctg 2/3+Пn,n,x=.

2.4. Уравнения вида аsinx+bcosx=c

В уравнении asinx+bcosx=c, a, b и c- любые действительные числа. Если а=b=0, а с≠0, то уравнение теряет смысл; если же а=b=с=0, то x- любое действительное число, т.е. уравнение обращается в тождество.

Рассмотрим уравнение asinx+bcosx=c, у которого произвольные коэффициенты. Такие уравнения решаются разными способами.

Метод вспомогательного аргумента:

На практике, например, при изучении колебаний, довольно часто встречаются выражения вида A sin x+ B cos x, причём возникает необходимость свести эту сумму к одной тригонометрической функции.

Рассмотрим для примера выражение (√3)sinx+cosx. Если переписать данное выражение в виде 2((√3/2)sinx+(½)cosx) и учесть, что √3/2=cos(π/6),1/2=sin(π/6) , то можно заметить, что выражение в скобках представляет собой правую часть формулы «синус суммы» для аргументов x и π/6 .

Таким образом, 2((√3/2)sinx+(½)cosx)=2(cos(π/6)sinx+sin(π/6)cosx)=2sin(x+(π/6)).

Итак, (√3)sinx+cosx=2sin(x+(π/6)) .

Выражение вида A sin x+ B cos x (для случая, когда A=√3,B=1) мы преобразовали к виду Csin(x+t) .

Конкретнее: у нас получилось, что C=2 , t=π/6 .

Важно!

Что C=√А2+В2. В самом деле A2+B2=(√3)2+12=4=22=C2 .

Оказывается, это неслучайно — на подобной идее основано преобразование любого выражения A sinx+Bcos x .

Введём обозначение: C=√А2+В2. Заметим, что (A/C)²+(B/C)²=1.

В самом деле, (A/C)²+(B/C)²=(A²/C²)+(B²/C²) =(A²+B²)/C²=C²/C²=1 .

Это значит, что пара чисел — A/C,B/C — удовлетворяет уравнению x²+y²=1, т. е. точка с координатами (A/C;B/C) лежит на числовой окружности. Но тогда A/C есть косинус, а B/C — синус некоторого аргумента t, т. е. A/C=cost,B/C=sint.

Учитывая всё это, поработаем с выражением A sin x+ B cos x: Asinx+Bcosx=C((A/C) sinx+(B/C)cosx)=C(costsinx+sintcosx)=Csin(x+t) .

Итак, Asinx+ Bcosx=Csin(x+t), где C=√А²+В².

Метод универсальной подстановки

Многие тригонометрические уравнения можно решить с помощью формул универсальной тригонометрической подстановки

,

Следует отметить, что применение формул может приводить к сужению ОДЗ исходного уравнения, поскольку не определен в точках , поэтому в таких случаях нужно проверять, являются ли углы , корнями исходного уравнения.

Пример 7. Решить уравнение

3 sinx-4 cosx=5

Пусть

тогда,

x≠π+2 πn, n

-6t+4 -4t²+5+5t²=0

t² -6 t+9=0

(t-3)² =0;

t=3

tg x/2=3

x/2=arctg 3+πn, n

x=2 arctg 3+2 πn n.

Ответ: x=2 arctg 3+2 πn n .

Проанализировав виды и методы решения тригонометрических уравнений, мы можем сделать следующие выводы:

Методов решения тригонометрических уравнений достаточно много, в своей работе мы рассмотрели 4 основных вида уравнения: уравнения сводящиеся к квадратным, однородные уравнения, уравнения, решаемые разложением на множители, уравнения вида аsinx+bcosx=c.

Большинство тригонометрических уравнений можно привести к квадратным, заменив функцию переменной, а далее воспользовавшись приемами решения квадратных уравнений, с легкостью перейти к решению уравнения.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Учебник по математике [электронный ресурс].-Режим доступа: https://radochaua-tetrad-uchebnik.com

Энциклопедия элементарной математики [электронный ресурс].- Режим доступа: https://math.ru

Алгебра и начала анализа [электронный ресурс].-Режим доступа:https://urok/1sept/ru

История возникновения тригонометрии [электронный ресурс] // Википедия : свободная энциклопедия - Режим доступа:https://ru.m.wikipedia.org.

Тригонометрические уравнения [электронный ресурс].-Режим доступа: https://www.bymath.net.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/428679-metodicheskaja-razrabotka-algoritmy-reshenija