Опорный конспект по теме «Показательные уравнения»

1 метод:

Приведение к общему основанию

Заметим, что поэтому есть возможность перейти к основанию , получим:

Итак, слева и справа в нашем уравнении стоят степени с одинаковыми основаниями, значит можно воспользоваться свойством показательной функции (если то равенство тогда и только тогда, когда и отбросить их. Имеем:

Мы получили простейшее уравнение. Решая его, получаем:

2 метод:

Приведение к общему показателю

Обратим внимание на то, что в левой части нашего уравнения показателем степени является , а в правой части показателем степени является . Чтобы привести степени к общему показателю, воспользуемся свойством степени

и представим левую часть уравнения в виде , получим:

Итак, слева и справа в нашем уравнении стоят степени с одинаковыми показателями, значит можно разделить левую часть уравнения на правую часть этого уравнения получим: , то есть

Теперь самое время воспользоваться свойством степени , то есть в наше случае получаем

Итак,

Друзья! Вам, конечно, известно, что любое число в нулевой степени равняется единице! Воспользуемся этим! Представим

Получаем:

Так как то полученное уравнение равносильно уравнению

3 метод:

Вынесение за скобку общего множителя

Обратим внимание на то, что в левой части нашего уравнения находится алгебраическая сумма степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями.

Вынесем в левой части уравнения степень с меньшим показателем за скобки, получим: , то есть

Имеем,

Или

Разделим обе части уравнения на 2, получим

Не забудьте, что , получаем:

Так как то полученное уравнение равносильно уравнению

4 метод:

Приведение к квадратному уравнению

Обратите внимание на то, что в левой части уравнения присутствуют степени с одинаковыми показателями и разными основаниями.

Рассмотрим основания степеней, находящихся в левой части нашего уравнения, это числа 25 и 5

Заметим, что

Поэтому наше уравнение можно записать

Или,

Теперь, самое время ввести подстановку.

Пусть тогда

Получаем,

Друзья! Мы получили обычное квадратное уравнение. Предлагаю вам решить его самостоятельно, так как изучение этой темы относится к программе 8 класса.

В процессе решения, я надеюсь, вы получили следующие ответы

Полученные ответы являются лишь промежуточным решением, поэтому нам необходимо вернуться к нашей подстановке, где.Так какв процессе решения образовалось два значения , то возвращаться будем дважды.

1) - нет решений, так как свойство показательной функции

2),то есть имеем – корень нашего уравнения

Итак,

Решение:

Ответ:

Ход решения:

Необходимо перейти к степеням с одинаковыми основаниями. Для этого выделим основание в правой части уравнения:

1. Представим

1. Так как то полученное уравнение равносильно уравнению

1. Решаем простейшее уравнение, находим

Решение:

Ответ:

Ход решения:

Необходимо перейти к степеням с одинаковыми показателями. Для этого выделим показатель в правой части уравнения:

1. Представим

1. Разделим левую часть уравнения на правую

1. Применим свойство степени

в нашем случае

1. = =

1. Заметим, что

1. Так как то полученное уравнение равносильно уравнению

2. Получаем ответ

Решение:

Ответ:

Ход решения:

В левой части уравнения находится алгебраическая сумма степеней с одинаковыми основаниями и разными показателями. Вынесем степень с меньшим показателем за скобки

Подсчитаем сумму чисел в скобках

Разделим обе части уравнения на 65

Заметим, что

так как то полученное уравнение равносильно уравнению

Решаем простейшее уравнение, находим

Решение:

Ответ:

Ход решения:

Заметим, что в левой части уравнения стоят степени с одинаковыми показателями, но разными основаниями. Обратим внимание на эти основания и увидим, что

1. Запишем исходное уравнение в виде

1. Введем подстановку

Получаем простое квадратное уравнение и решаем его

Возвращаемся к первой подстановке

отсюда

Возвращаемся к первой подстановке

отсюда