Составление математической модели при решении текстовых задач

Составление математической модели при решении текстовых задач

Решение задач является наиболее трудной частью изучения математики для большинства детей.

В этой статье приведу несколько примеров составления математических моделей. Данный способ для многих учащихся позволяет проще решать ряд текстовых задач. Примеры задач, представленные в данной работе, больше подойдут для учащихся 5, 6, 7 классов. Но данную методику можно освоить и для более сложных задач. Модель получается составлением из двух, трёх равенств одного. В некоторых случаях предварительно равенства составляются из неравенств. Это является увлекательным и мотивирует учащихся к работе. Составление подобных моделей можно использовать на элективных курсах по математике.

Во-первых, дадим понятие задачи и её структуры. Задача — вопрос, который требует решения посредством использования определенных умений, знаний и размышлений Задача — единство условия и цели. Условие задачи — сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекты, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношении между ними. Условие может быть достаточным, недостаточным, избыточным. Требование задачи — указание того, что нужно найти (в повелительной или вопросительной форме). Решить математическую задачу — найти такую последовательность математических действий, применяя которые к условию задачи, получим то, что требуется найти.

Основная особенность текстовых задач состоит в том, что в них не указывается прямо, какие именно действия должны быть выполнены для получения ответа на требование задачи.

Существуют различные методы решения текстовых задач: арифметический, алгебраический, практический и др. Чаще всего используется алгебраический метод решения, опираясь на следующую схему:

- выделить величины о которых идет речь в задаче и установить зависимость между ними

- ввести переменные

- с помощью введенных переменных и данных задачи составить уравнение или систему уравнений

- решить полученные уравнения или систему

- проверить найденные значения по условию задачи и записать ответ.

В данном случае можно обратиться к составлению математической модели задачи.

Математическая модель задачи - компактная запись условия задачи на языке математики с помощью математических символов: цифр, скобок, знаков действий. Различные задачи могут иметь одну и ту же математическую модель. Например, нам нужно посчитать расходы (Р) на покупки в магазине. Надо купить две булки (Б) и три пачки масла (М). Мы знаем цену булки (ЦБ) и цену масла (ЦМ). Легко можно записать:

Р = 2·ЦБ + 3·ЦМ

Вот эта запись и будет математической моделью расходов на наши покупки.

Для тренировки составления математической модели можно выполнить ряд следующих заданий:

1. Переведите фразы на математический язык:

1. Лена за сыр и колбасу заплатила 200 руб

2. Часы стоят столько же, сколько ваза и подсвечник вместе

3. Площадь треугольника и квадрата составляла 56 см кв

4. Сумма двух чисел равна наименьшему трехзначному числу

5. Если Виталий купит за 5 рублей шоколадку, то у него денег останется столько же, сколько сейчас у Павла

6. Если переложить 8 ручек из одного пенала во второй, а затем 2 убрать из первого и положить ещё во второй 6 то число ручек в пеналах сравняется

7. Перчатки дешевле сумки в 2 раза, поэтому за них заплатили на 500 рублей меньше, чем за сумку

8. Если из второй канистры с бензином вылить половину первой, тогда в канистрах будет одинаковое количество бензина.

1. Запишите неравенства и превратите их в равенства:

1. Число А меньше числа В на 3

2. Число В больше числа Г в 6 раз

3. Пальто дороже шляпы в 4 раза

4. Один кусок ленты дороже другого на 50 см

5. Разница между периметром прямоугольника и периметром квадрата 28 см

1. Из двух равенств получить одно:

   Р+Л=15	А+С=В	Р=К+Л	Т+Е=52	П=Ж+К
   К=Т+А	С=К+Т	Р+В=32	Е=А+Б	20=П+Т

2. Запишите формулу с учетом условий

1. Периметр треугольника F см. Одна его сторона — 4 см, другая сторона 7 см, третья сторона — Z см

2. Периметр равностороннего треугольника равен 34 см

3. Площадь прямоугольника равна 60 см². Ширина на 13 см больше длины, которая равна Б см.

1. Составьте задачу по математической модели

а) (Б-8)+Б=16d) М+5=(15-М)-5

в) (К+12) +2К=99е) (21-Б)+5=Б

с) (В+8)-10+В=50f) 5В-25=В+15

Задач в мире - бесконечное количество. Поэтому предложить чёткую пошаговую инструкцию по составлению математической моделилюбой задачи – невозможно.

Опираясь на схему решения алгебраических задач приведу примеры составления математических моделей задач разного типа:

1. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ. (Отношения«НА»и«В»)

За рубашку и галстук заплатили 1000 руб. Галстук дешевле рубашки на 300 руб. Сколько заплатили за галстук?

1. Выделим величины, о которых идет речь в задаче

Рубашка-Р

Галстук-Г

2. Установим зависимость между ними из условия задачи

1. Р+Г=1000

2. Г<Р=300

1. Для составления модели из неравенства запишем равенства

Р=Г+300

1. Из двух равенств запишем одно

1. Решим составленную модель

Г+300+Г=1000

2Г+300=1000

2Г=1000-300

2Г=700

Г=700:2

Г=350

Ответ: 350 р

1. ЗАДАЧИ «ЕСЛИ БЫ КОГДА…»(Равенства)

В одной коробке вдвое больше карандашей, чем в другой. Когда в первую коробку добавили еще 12 карандашей, то в двух коробках стало 99 карандашей. Сколько карандашей было в каждой коробке?

В данном случае условие задачи представим в виде таблицы

Составим из двух равенств одно:

Решим составленную модель:

2У+12+У=99

3У=99-12

3У=87

У=29

29 к. было во 2 коробке

Х=2*29=58к было в 1 коробке

Ответ: 58 к. и 29 к.

1. ТРИ СЛАГАЕМЫХ

Собрали 2100 кг картофеля и разместили его в трех хранилищах. В первое хранилище поместилось в 3 раза больше картофеля, чем во второе. В третье хранилище поместили 500 кг картофеля.Сколько картофеля разместили в первое хранилище?

Составим из двух получившихся равенств одно:

Решим составленную модель

3У+У+500=2100

4У=2100-500

4У=1600

У=400

400кг поместили во второе хранилище

Х=3*400=1200 кг поместили в первое хранилище

Ответ: 1200 кг

1. ПЛОЩАДЬ, ПЕРИМЕТР

Ширина прямоугольника в 2 раза меньше его длины. Если увеличить ширину на 5 см, а длину прямоугольника уменьшить на 10 см, получится квадрат. Найдите площадь получившегося квадрата.

Составим из трёх равенств одно:

Решим составленную модель

Ш+5=2Ш-10

5+10=2Ш-Ш

Ш=15

15 см –ширина прямоугольника

Найдём сторону квадрата: А=15+5=20 см

Найдём площадь квадрата: S=20*20=400см^2

Ответ: 400см^2

1. БОЛЕЕ СЛОЖНЫЕ УРАВНЕНИЯ

На трех лодках и четырех яхтах плывут 25 человек. На каждой лодке разместилось на 1 человека меньше, чем на яхте. Сколько человек было в лодке?

Составим из двух равенств одно

Решим составленную модель:

3Л+4(Л+1)=25

3Л+4Л+4=25

7Л=25-4

7Л=21

Л=3

По 3ч было в каждой лодке

Ответ:3ч

1. «ГОЛОВЫ И НОГИ»

Сергей Викторович разводил индюшек и поросят. В его хозяйстве всего было 12 голов и 32 ноги. Сколько индюшек и поросят было в хозяйстве у Сергея Викторовича?

Составим из двух равенств одно

Решим составленную модель:

2(12-П)+4П=32

24-2П+4П=32

4П-2П=32-24

2П=8

П=4

В хозяйстве поросят –4

Индюшек: И=12-4=8

Ответ: поросят-4, индюшек-8

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/458822-sostavlenie-matematicheskoj-modeli-pri-reshen