Методы решения систем уравнений в курсе алгебры основной школы

НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ

В КУРСЕ АЛГЕБРЫ ОСНОВНОЙ ШКОЛЫ

Различные уравнения, а также их системы являются значительной и неотъемлемой частью школьного курса алгебры. Учащиеся основной школы решают различные виды уравнений, а также текстовые задачи на составление уравнений и их систем.

Однако, необходимо отметить, что при решении особенно систем уравнений у учащихся, как правило, возникают серьезные трудности. При изучении данной темы важно обратить внимание школьников на то, что решением системы является не одно число, а пара чисел, которая удовлетворяет всем уравнениям данной системы.

Определим понятие системы уравнений, выделим его существенные свойства и раскроем основные методы решения систем уравнений.

В школьных учебниках алгебры система уравнений трактуется различно, при этом смысл определений в целом не меняется.

Система уравнений–это условие, состоящее в одновременном выполнении всех уравнений относительно нескольких (или одной) переменных.

Решить систему уравнений – это значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.

Существуют различные методы решения систем уравнений. В курсе алгебры основной школы рассматриваются три основных метода: метод подстановки, графический метод, метод сложения. Охарактеризуем их подробнее. Приведем решения одной системы уравнений разными методами.

1. Метод подстановки.

Данный метод считается самым простым, но зачастую является достаточно трудоемким.

Суть метода состоит в том, что из одного уравнения системы следует выразить некоторую переменную, а затем полученное выражение подставить в оставшееся вместо этой переменной, получив при этом уравнение с одной неизвестной.

Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки:

1) выразить из одного уравнения системы одну переменную через другую;

2) полученное выражение подставить во второе уравнение системы;

3) решить полученное уравнение с одной переменной;

4) найти соответствующее значение второй переменной;

5) записать в ответе полученную пару чисел [4].

Рассмотрим пример решения системы уравнений данным методом с выделением этапов приведенного алгоритма.

Пример 1. Решить систему уравнений:

1. Из второго уравнения удобно выразить :

.

2. Подставим данное выражение вместо в первое уравнение:

.

3. Решаем полученное уравнение с одной неизвестной:

,

4. Найденное значение подставим в выражение для и найдем его.

5. Пара чисел является решением исходной системы. Проверка показывает, что найденные значения переменных обращают уравнения системы в верные равенства.

Ответ:

2. Графический метод.

Графический метод является наглядным, но самым неточным.

Суть графического метода заключается в построении графиков функций для каждого уравнения системы в одной системе координат. При этом решениями системы уравнений являются точки пересечения построенных графиков.

Данный метод удобно применять для системлинейныхуравнений, графиками которых являются прямые. Если уравнения в системе имеют более сложный вид, например, содержат переменную в квадрате, арифметический корень, логарифмы и т.д., то графический метод рекомендуется использовать только для иллюстрации.

Алгоритм решения систем уравнений графическим методом:

1) в каждом уравнении системы выразить переменную через переменную , т.е. записать уравнения прямых в явном виде (в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом);

2) построить графики получившихся прямых в одной системе координат;

3) найти точку пересечения графиков, записать ее координаты.

При решении систем уравнений данным методом необходимо выделить частные случаи взаимного расположения двух прямых на плоскости:

а) прямые совпадают, т.е. имеют бесконечное множество общих точек;

б) прямые пересекаются, т.е. имеют одну общую точку;

в) прямые параллельны, т.е. не имеют общих точек.

Частные случаи расположения прямых позволяют говорить о том, что система двух линейных уравнений с двумя переменными имеет бесконечное множество решений, если прямые совпадают; единственное решение, когда прямые пересекаются и не иметь решений в случае параллельности прямых [1].

Пример 2. Решить систему уравнений.

1. Запишем уравнения прямых в явном виде:

2. Построим графики функций в одной системе координат.

Рисунок 1 – Решение системы уравнений графическим методом

3. На представленном графике функций (рис. 1) найдем точку пересечения двух прямых. Решением системы уравнений является точка с координатами

Ответ:

3. Метод сложения.

Для применения данного метода необходимо, чтобы во всех уравнениях исходной системы одна из переменных имела противоположные коэффициенты. Для этого можно умножить или разделить одно из уравнений системы на необходимый множитель. После сложения двух уравнений получается уравнение с одной переменной.

Алгоритм решения систем уравнений методом сложения:

1) умножить каждое слагаемое одного или всех уравнений системы, подбирая множители так, чтобы коэффициенты при одной из переменных стали противоположными числами;

2) сложить почленно левые и правые части полученных уравнений системы;

3) решить полученное уравнение с одной переменной;

4) найти соответствующее значение другой переменной;

5) записать в ответе полученную пару чисел [1].

Пример 3. Решить систему уравнений

1. Умножим второе уравнение на 3, чтобы коэффициенты при переменной стали противоположными числами:

Получим,

2. Складываем почленно левые и правые части равенств.

3. Решаем полученное уравнение с одной переменной:

4. Для нахождения значенияподставим найденное значение в первое уравнение:

5. Решением системы является пара чисел .

Ответ: .

Для решения систем уравнений можно применить и другие методы. Кратко охарактеризуем их.

Метод введения новой переменной:вводятся одна или две новые переменные, которые дают более простые уравнения системы.

Метод сравнения: из каждого уравнения системы выражается одна из неизвестных величин, через другую; полученные выражения приравниваются. Решается уравнение с одной переменной.

Данные методы могут рассматриваться в основной школе на элективных курсах в рамках углубленного изучения математики.

Литература

1.  Захаров, Ю. Н. Итерационные методы решения систем  линейных алгебраических уравнений: учебное пособие/ Ю. Н.  Захаров. – Кемерово: Кемеровский государственный университет, 2011 – 170 с.

2.  Карпов, А. Г. Математические основы теории систем: учебн. пособие / А.Г. Карпов. - Томск: ТУСУР, 2016 – 230 с.

3. Киселев, А. П. Алгебра. Ч. II : учебн. пособие / А. П. Киселев. – М. : ФИЗМАТЛИТ, 2014. – 248 с.

4. Маргулис, Б. Е. Системы линейных уравнений: лекции по математике / Б. Е. Маргулис. – М. : Физматгиз, 1960. – 96 с.

5. Яковлев, И. В. Материалы по математике [Электронный ресурс]: http://mathus.ru/math/egec1.pdf.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/460360-metody-reshenija-sistem-uravnenij-v-kurse-alg