Производная композиции функции

Государственное областное бюджетное

профессиональное образовательное учреждение

«ЛИПЕЦКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ТЕХНИКУМ»

Методическая разработка

урока математики

на тему

«Производная композиции функции»

Выполнил: преподаватель

Заварзина В.Г.

Липецк 2021 г.

Тема:«Производная композиции функции».

Тип урока: комбинированный

Вид урока: проблемный

Цели:1. Образовательные:

а) закрепить навыки распознавания сложных функций и нахождения производных сложных функций;

б) обобщить знания обучающихся о сложной функции и правиле нахождения производной сложной функции;

в) сформировать умения и навыки использования вычисления производной сложной функции для вычисления различных величин при решении прикладных задач и задач производственной направленности.

2. Развивающие:

а) развитие профессиональных качеств обучающихся (умений применять полученные знания на практике);

б) развитие познавательных умений и мышления (выделять главное, анализировать, сравнивать, определять и объяснять понятия).

3. Воспитательные:

а) воспитание навыков самостоятельной работы;

б) воспитание дисциплинированности;

в) воспитание эстетических взглядов.

Планируемый результат обучения, в том числе и формирование УУД: активизировать мыслительную деятельность обучающихся,формирование положительной мотивации, развитие коммуникативных умений, демонстрация значимости математических знаний в практической деятельности; реализация принципа связи теории и практики;

Познавательные УУД: поиск и выделение необходимой информации; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности; формулирование проблемы; самостоятельное создание способов решения проблем творческого и поискового характера.

Коммуникативные УУД: инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; выявление, идентификация проблемы, поиск и оценка альтернативных способов разрешения конфликта, принятие решения и его реализация; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации;

Регулятивные УУД: целеполагание, прогнозирование, контроль, коррекция, оценка, саморегуляция.

Личностные УУД: профессиональное, установление обучающимися связи между целью учебной деятельности и её мотивом, между результатом учения и тем, что побуждает к деятельности, ради чего она осуществляется.

Межпредметные связи: история-электротехника-физика- производственное обучение.

Оборудование и наглядные средства обучения: демонстрационный и раздаточный материал, задачник “Алгебра и начала математического анализа” (профильный уровень часть 2) под редакцией А. Г. Мордковича .

Технологическая карта урока

Ответ обучающегося.

Историческая справка.

Производная – одно из фундаментальных понятий математики.

Оно возникло в 18 веке. Независимо друг от друга И.Ньютон и

Г. Лейбниц разработали теорию дифференциального исчисления.

О Ньютоне.

Был этот мир глубокой тьмой окутан.

Да будет свет! И вот явился Ньютон.

А.Поуг.

Исаак Ньютон (1643-1727) один из создателей дифференциального исчисления.

Ньютоном были изучены все основные вопросы физики и математики, актуальные для его времени.

Ньютон, решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, создает общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных). Ньютон вычислял производную и интеграл любой степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях ученый подробно пишет в своей самой значительной работе по математике «Метод флюксий» (1670-1671), которая была опубликована уже после его смерти. В ней были заложены основы математического анализа.

О Лейбнице

Готфрид Вильгельм Лейбниц. (1646-1716)

Работы Лейбница составляют фундамент математического анализа.

В основу новой науки он положил понятие дифференциала. Лейбниц дал правила вычисления производной суммы, разности, произведения, дроби.

Лейбниц пришёл к понятию производной, решая задачу проведения касательной к произвольной линии, объяснив этим ее геометрический смысл.

Но это не говорит о том, что до них эти вопросы не изучались. Задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, применяя при этом предельные переходы, но и сумел найти максимум функции.

Используя методы дифференциального исчисления, учёные предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом наукиXVIII века.

Необходимо сказать, что Ньютон не дал четкого определения производной. Впервые определение производной было сформулировано французским математиком О.Коши, и именно это определение стало общепринятым и в настоящее время используется почти во всех курсах анализа.

Анализируют полученную информацию и собственные знания по заданной теме.

Обучающийся: Производная сложной функции равна произведению её производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной

Обучающийся:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Обучающийся:

1.

2.

3.

4.

Обучающийся:

Основные правила дифференцирования

Пусть , тогда:

Обучающийся: функции от функций называют сложными функциями.

Пусть функция u=g(x) определена на множестве X и U – множество значений этой функции. Пусть, множество U является областью определения функцииy=f(u). Поставим в соответствие каждому x из X число f(g(x)) . Тем самым на множестве X будет задана функция y=f(g(x)). Ее называют композицией функций или сложной функцией.

Обучающийся: =

--правило дифференцирования сложной функции.

Обучающийся:

a) f(x)= tg3x

Решение:

б) y=

Решение:

в) y=

Решение:

г) f(x)=

Решение:

д) f(t)=sin(2t+)

Решение:

Обучающиеся решают примеры

Правильное решение примеров из самостоятельной работы.

I Вариант

1) y=cos7x

Решение:

2) y=

Решение:

3) y=

Решение:

4) y=3sinx+

Решение:

5) y=

Решение:

II Вариант

1) y=sin10x

Решение:

2) y=

Решение:

3) y=

Решение:

4) y= +4cosx

Решение:

5) y =

Решение:

КоммуникативныеУметь оформлять свои мысли в устной форме, умение слушать и понимать речь других

ПознавательныеУмение структурировать знания, умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание в устной форме

Регулятивные

Целеполагание

ПознавательныеЗнаково-символические, умение структурироватьть знания, ориентироваться в своей системе знаний.

Коммуникативные

Управление поведением партнера,

уметь с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации Регулятивные

прогнозирование, коррекция.

Познавательные

Выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий;

Регулятивные

саморегуляция,

оценка — выделение и осознание обучающимся того, что уже усвоено и что ещё нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения; оценка результатов работы

V.Решение задач.

Вернёмся к теме нашего сегодняшнего урока.

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д., так как механический смысл производной это .

Мощным средством в математике, физике, механике, электротехнике и других дисциплинах является производная сложной функции – одно из основных понятий математического анализа.

У Вас на столах лежит таблица для нахождения производных физических, электротехнических и математических величин.

Производные функций нашли широкое применение при решении прикладных задач на нахождение силы, мгновенной скорости, силы тока, теплоёмкости и других величин.

Давайте с помощью перемещения найдём скорость изменения тока, идущего по проводнику.

Давайте запишем в тетради следующую задачу.

Задача 1.

Найдите скорость изменения тока, идущего по проводнику, по закону i=2sin(3t + )в момент времени t= .

Обучающийся решает у доски.

Решение: т.к. скорость есть производная от пути по времени , то скорость изменения тока, идущего по проводнику будем находить, как производную от i.

Т.к. i=2sin(3t + ) -- сложная функция,

то

Находим значение производной в момент времени t=

Коммуникативные

Постановка вопросов.

Регулятивные: целеполагание как постановка учебной задачи, планирование, прогнозирование.Познавательные: общеучебные: знаково-символические – моделирование; выбор наиболее эффективных способов решения задач в зависимости от конкретных условий.

VI. Закрепление пройденного материала.

Рассмотрим задачу урока.

Задача 2

Заряд, протекающий через проводник, меняется по закону .

Найти силу тока в момент времени t=5 cек.

В цепи электрического тока электрический заряд меняется с течением времени по закону q=q (t). Сила тока I есть производная заряда q по времени.

Обучающийся решает у доски.

Решение: найдём производную заряда, как производную сложной функции:

Мы нашли силу тока I=2cos(2t-10)

Найдём силу тока в момент времени t=5 cек.

I(5)=2cos( )=2cos0=2*1=2

Коммуникатив

ные: планирование учебного сотрудничества со сверстниками, инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; управление поведением партнёра; умение выражать свои мысли. Познавательныеобщеучебные: поиск и выделение необходимой информации, применение методов информационного поиска; умение осознанно и произвольно строить речевое высказывание; логические: построение логической цепи рассуждений, анализ, синтез. УУД постановки и решения проблем: самостоятельное создание способов решения проблем поискового характера.

VII.

Подведение итогов урока.

Рефлексия:

-Какую тему мы сегодня изучали?

Сегодня на уроке мы повторили…

Продолжим фразы

1.Сегодня я узнал…

2.Было интересно…

3.Было трудно…

4.Я понял, что…

5.Теперь я могу…

6.Я приобрел…

7.Я научился…

8.Меня удивило…

9.Мне захотелось…

Выставление оценок

правила вычисления производных, дифференцирование сложной функции, формулы для вычисления производных, решили задачи на нахождение физических величин, самостоятельно решали задачи на нахождение производных.

Познавательные:общеучебные: умение структурировать знания; оценка процесса и результата деятельности. Коммуникативные: умение выражать свои мысли. Регулятивные: волевая саморегуляция, оценка – выделение и осознание учащимися того, что уже усвоено и что ещё подлежит усвоению, прогнозирование

VIII.Домашнее задание:

Составить и решить задачу на нахождение силы тока, № 42.2(а-г) из учебника на стр.233.

Обучающиеся записывают задание в тетради

Регулятивные

Саморегуляция как способность к мобилизации сил и энергии, к волевому усилию(к выбору в ситуации мотивационного конфликта) и преодолению препятствий.

Список литературы:

1. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.

2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразовательных учреждений / А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2004.

3. Алгебра и начала математического анализа. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных . учреждений (профильный уровень)/А.Г. Мордкович и др. ; под редакцией А.Г. Мордковича—7-е изд., стер.—М.: Мнемозина, 2020.

4. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин. – М.: Просвещение, 2020.

5. Задачи по алгебре и началам анализа: Пособие для учащихся 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /С.М. Саакян, А.М. Гольдман, Д.В. Денисов. – М.: Просвещение, 2003.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/465828-proizvodnaja-kompozicii-funkcii