Числа Фибоначчи

Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в живом

Введение

В элементарной математике существует много задач, часто трудных и интересных, которые не связаны с чьим-либо именем, а скорее носят характер своего рода «математического фольклора». Эти задачи нередко имеют хождение в нескольких вариантах; иногда несколько таких задач объединяют в одну, более сложную; иногда наоборот, одна задача распадается на несколько более простых; словом, часто, оказывается, трудно различить, где кончается одна задача и начинается другая.

Правильнее всего было бы считать, что в каждой из таких задач мы имеем дело с маленькими математическими теориями, имеющими свою историю, свою проблематику и свои методы – все это, разумеется, тесно связано с историей, проблематикой и методами «большой математики».

Такое теорией являются и теория чисел Фибоначчи. Выросшие из знаменитой «задачи о кроликах», имеющей более семисот пятидесятилетнюю давность, числа Фибоначчи до сих пор остаются одной их самых увлекательных глав элементарной математики.

Наконец было установлено довольно большое количество ранее неизвестных свойств чисел Фибоначчи, а к самим существенно возрос интерес. Значительное число связанных с математикой людей в различных странах приобщились к благородному хобби «фибоначчизма».

Добро пожаловать в «золотое сечение» нашей природы!

Глава 1. Числа Фибоначчи и их свойства

В вышедшей в 1202 г. «Книге абака» итальянского математика Леонардо Фибоначчи содержалась задача о кроликах.

«Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?»

«Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной, чтобы узнать, сколько пар кроликов родится при этом в течение года, если природа кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару, а рождаются кролики со второго месяца после своего рождения. Так первая пара в первом месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажутся 2 пары; из них одна пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце оказывается 3 пары; из них в следующем месяцу 2 пары будут давать потомство, так что в третьем месяце родятся еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом месяце достигнет 5 из них в этом месяце будут давать потомство 3 пары, и число пар кроликов в четвертом месяце достигнет 8; из них 5 пар произведут другие 5 пар, которые, сложенные с 8 парами, дадут в пятом месяце 13 пар; из них 5 пар, рожденных в этом месяце, не дадут в том же месяце потомство, а остальные 8 пар рождают, так, что в шестом месяце оказывается 21 пара и т.д.»

Из выше приведенной задачи становится ясно, что Фибоначчи вывел особый ряд чисел. Примечательно, что первые два члена этой последовательности равны 1, следующие же члены равны сумме двух предыдущих.

Перейдем от кроликов к числам. Рассмотрим следующую числовую последовательность:

u₁,u₂, …, u_n, (1)

в которой каждый член равен сумме двух предыдущих, т.е. при всяком n > 2

u_n = u_n-1 + u_n-2 (2)

Такие последовательности, в которых каждый член определяется как некоторая функция предыдущих в математике называетсярекуррентнымиили по-русски, возвратными последовательностями. Сам процесс последовательного определения элементов таких последовательностей называется рекуррентным процессом, а равенство (2) – возвратным (рекуррентным) уравнением.

Заметим, прежде всего, что по одному этому условию (2) члены последовательности (1) вычислить нельзя.

Можно составить сколько угодно различных числовых последовательностей, удовлетворяющих этому условию. Например,

2,5,7,12,19,31,50,…,

1,3,4,7,11,18,29,…,

-1,-5,-6,-11,-17,…, и т.д.

Значит, для однозначного построения последовательности (1) условия (2) явно недостаточно, и нам следует указать некоторые дополнительные условия. Например, мы можем задать несколько первых членов последовательности (1). Сколько первых членов последовательности (1) мы должны задать, чтобы вычислить все следующие члены, пользуясь при этом только условием (2)?

Начнем с того, что не всякий член последовательности может быть получен при помощи (2) уже хотя бы потому, что не у каждого члена последовательности вообще не стоит ни одного члена, а перед вторым ее членом стоит только один, значит, вместе с условием (2) для определения последовательности (1) знать два ее первых члена необходимо.

Обратимся теперь к важному частному случаю последовательности (1), когда u₁ = 1 и u₂ = 1. Условие (2), как было отмечено, дает нам возможность вычислять последовательно один за другим все члены этого ряда. Нетрудно проверить, что в этом случае первыми четырнадцатью его членами будут числа 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, которые уже встречались в задаче о кроликах. В честь автора этой задачи вся последовательность (1) при u₁ = u₂ = 1 называется рядом Фибоначчи, а члены ее – числами Фибоначчи.

Числа Фибоначчи и «золотая пропорция»

Разделим отрезок АВ единичной длины на две части так, чтобы большая из его частей являлась средним пропорциональным между меньшей его частью и всем отрезком.

А С₂ С₁ В

Обозначим для этого искомую длину большей части отрезка через х. Очевидно, длина его меньшей части при этом будет равна 1-х, и условие нашей задачи дает нам пропорцию = (1.1) Откуда х² = 1-х (1.2.)

Положительным корнем (1.1) являются , так, что отношения в пропорции (1.1) равны .

Каждое такое деление (точкой С₁) называется делением в среднем и крайнем отношении. Его часто называют также золотым делением илизолотой пропорцией (сечением). Если взять отрицательный корень этого уравнения, то делящая точка С₂ окажется вне отрезка АВ 9такое деление в геометрии называется внешним делением). Как это видно на рисунке, легко показать, что и здесь мы имеем дело с золотым сечением:

Фактически построение точки, делящей отрезок золотым сечением осуществляется без труда

D₁

В

С

А

рис.1 рис.2

Пусть АВ=1. Восстановим из точки перпендикуляр и возьмем точку Е, для которой АЕ = (рис.1). Тогда ЕВ = = .

Проведем из Е, как из центра, дугу через А до пересечения с ЕВ в точке D. Получим ВD = .

Наконец, проведя через D дугу с центром в В, мы находим искомую точку С₁. Точку внешнего деления С₂ можно найти из условия АС₂ = ВС₁.

Золотая пропорция просматривается и в других геометрических фигурах.

Прямоугольники золотого сечения выглядят «пропорционально» и приятны на вид. Вещами, имеющими такую форму, приятно пользоваться. Поэтому многим «прямоугольным» предметам нашего обихода (книгам, спичечным коробкам, чемоданам и т.д.) часто придается именно такая форма. Различными философами-идеалистами древности и средневековья внешняя красота прямоугольников золотого сечения и других фигур, в которых наблюдается деление в среднем и крайнем отношении, возводилась в эстетический и даже философский принцип. Золотым сечением и еще некоторыми числовыми отношениями пытались не только описать, но и объяснить явления природы и даже общественной жизни.

Природа дает нам многочисленные примеры расположения однородных предметов, описываемых числами Фибоначчи. В разнообразных спиралевидных расположениях мелких частей растений обычно можно усмотреть два семейства спиралей. В одном из этих семейств спирали завиваются по часовой стрелке, а в другом – против. Числа спиралей того и другого типов часто оказываются соседними числами Фибоначчи.

Так взяв молодую сосновую веточку, легко заметить, что хвоинки образуют две спирали, идущие слева снизу направо вверх.

На многих шишках семена расположены в трех спиралях, пологого, навивающихся на стержень шишки. Они же расположены в пяти спиралях, круто навивающихся в противоположном направлении. В крупных шишках удается наблюдать 5 и 8 и даже 8 и 13 спиралей. Хорошо заметны такие спирали и на ананасе: обычно их бывает 8 и 13.

У многих сложноцветных (например, у маргаритки или ромашки) заметно спиральное расположение отдельных цветков в соцветиях-корзинках. Часто спиралей бывает здесь 13 в одном направлении и 21 в другом или даже соответственно 21 и 34. Особенно много спиралей можно наблюдать в расположении семечек крупного подсолнуха. Их число в каждом из направлений может достигать 55 и 89.

Про то, как первозданная и необузданная природа функционирует и развивается по математическим законам, описанными числами Фибоначчи, мы попробуем разобраться в следующей главе.

Глава 2. Числа Фибоначчи и «золотое сечение» в живом

Совершенство форм в «золотых пропорциях»

По мнению ученого И.Шевелева, пропорции тела человека отвечают геометрической гармонии, основанной на соотношениях в прямоугольнике «два квадрата», диагональ которого равна , а стороны 1 и 2. По его данным, мужская фигура вписывается в прямоугольник с отношением сторон 0,528:2 и разделена пополам в лонном сращении. Женская фигура вписывается в прямоугольник с отношением сторон 0,472:2. Высота «венчания» человека – шея и голова, равны 0,326. Пропорции венчания отвечают золотому сечению: 0,202:0,326. Пуп делит тело человека в золотой пропорции: 1,1236:0,764 = 1,618. Расстояние от локтевого сустава до конца пальцев равно 0,528.

В приведенных отношениях числа 0,528; 0,326; 0,202 образуют ряд золотой пропорции, а число 0,472 является производным золотой пропорции. Отношение названо архитектором В.Жолтовским«функцией золотого сечения». Прямоугольник, построенный на отношении функции, является «живым квадратом».

Модель пропорции человека, предложенная Шевелевым, довольно точно отвечает рисункам мужских фигур Леонардо да Винчи и Микеланджело.

Известно, что размах вытянутых в стороны рук человека примерно равен его росту, вследствие чего фигура человека вписывается в квадрат и в круг. Но и здесь соответствие квадрату среднестатистическое, приближенное, у людей могут быть отклонения от этой идеальной геометрии.

По-видимому, во всех пропорциях тела человека существуют некоторые идеальные, но «мертвые» соотношения частей, являющиеся основой гармонии.

Давно уже существует мнение, что пяти-лучевая симметрия проявляется и в строении человеческих тел, где лучами служит голова, две руки и две ноги.

Числа Фибоначчи отражают основную закономерность роста организмов, следовательно, и в строении человеческого тела они должны каким-то образом проявиться. С.В.Петухов при анализе строения животных и человека использовал отношение, связывающее все три части и называемое вурфом. Если это отношение отвечает 1,309…, что равно , оно называется золотым фурфом. Оказалось, что вурф руки человека равен 1,33, вурф ноги – 1,29, вурф пальцев – 1,34. С точностью около 3% вурфы всех трехчленных блоков человеческого тела равны между собой и близки к 1,309, т.е. являются золотым вурфом.

Как видно из приведенного перечисления частей человеческого тела, в его членении на части присутствуют все числа Фибоначчи от 1 до 34.

Общее число костей скелета человека близко к 233, т.е. отвечает еще одному числу Фибоначчи.

Займемся «инвентаризацией» частей человеческого тела. У него одно туловище, одна голова, одно сердце и т.д.; многие части тела и органы парные, например, руки, ноги, глаза, почки. Из трех частей состоят ноги, руки, пальцы рук. На руках и ногах по пять пальцев, а рука вместе с пальцами состоит из восьми частей. У человека 12 пар ребер (одна пара атрофирована и присутствует в виде рудимента).

Характерно строение кисти человека. Кисть состоит из трех основных частей: запястья, пясти и пальцев. В состав запястья входит 8 косточек, оно сочленяется с 5 костями пясти, которые составляют основу ладони. Каждый палец состоит из трех фаланг: основных, средних и ногтевых. Позвоночник человека состоит из 34 позвонков. В развитии организма человека, в эволюции его конституции, в усложнении организации значительную, а может быть, и определяющую роль играл рост «по Фибоначчи», членение целого на части путем развертывания ряда чисел Фибоначчи. Конечно, на эту закономерность развития человека налагались и другие факторы. И все же дискретность «по Фибоначчи» прослеживается и довольно отчетливо. И не только на костях скелета, а также на мышцах, на строении головного мозга и волоса.

Золотая пропорция в «крови» у человека

Закономерности строения человеческого тела в соответствии с золотой пропорцией проявляются иногда в самых неожиданных случаях. Интересные данные приведены в книге Э.Сороко «Структурная гармония систем». Так распределение людей по трем группам крови отвечает отношениям чисел 8:21:34. В состав крови человека входят красные кровяные тела. (эритроциты), белые кровяные тела (лейкоциты) и тромбоциты. Эти три типа кровяных тел содержатся в пропорции 62:32:6. Отношения числа эритроцитов к двум остальным телам крови отвечает золотой пропорции. В генетике человека известна связь типа людей с характером линейных узоров на кончиках пальцев (отпечатков). При всем разнообразии отпечатков пальцев, которые неповторимы для каждого человека, среди них выделено три основных типа: петлевые, круговые и дуговые. При нормальном кариотипе соотношение этих трех типов отпечатков отвечает числам 62:32:6, т.е. такое же, как и распределение кровяных тел в крови человека.

Ученый В.Д.Цветков установил, что у человека и у других млекопитающих имеется оптимальная (золотой пропорции) частота сердцебиения, при которой длительность систолы, диастолы и полного сердечного цикла соотносятся между собой в пропорции 0,382:0,618:1, т.е. в полном соответствии с золотой пропорцией. Для человека золотой пропорции равна 63 удара сердца в минуту. А для собак 94, что отвечает реальной частоте сердцебиения в состоянии покоя. Далее В.Д.Цветков обнаружил, что систолическое давление крови в аорте равно 0,382, а дистоническое +0,618 от среднего давления крови в аорте, что в среднем также отвечает золотой пропорции. Таким образом, работа сердца в отношении временных циклов, изменения давления крови и объемов желудочков оптимизирована по правилу золотой пропорции.

В медицинской практике о работе сердца судят по пульсу. Оказалось, что пульсовые – минимальное и максимальное – давления находятся в отношении 0,365:0,635:1, т.е. близком к золотой пропорции. Характерно, что это соотношение в аорте не изменяется при изменении уровня нагрузки о соответственно частоты сердцебиения.

По мнению Цветкова организация сердечного цикла в соответствии с золотой пропорцией и числами Фибоначчи является результатом длительной эволюции млекопитающих, эволюции в направлении оптимизации структуры и функций, обеспечения жизнедеятельности при минимальных затратах энергии и «живого строительного материала». Очевидно, работа сердечно-сосудистой системы по законам золотой пропорции обеспечивает гармоническое функционирование всего организма. Но ведь сердечная деятельность органически связана с высшей нервной деятельностью, с работой мозга! Не здесь ли, в высшем органе управления организма, заложены команды и импульсы, основанные на золотой пропорции и регулирующие деятельность различных органов.

Думаем «числами Фибоначчи»

Если работу сердца контролируют при помощи электрокардиограмм, то для суждения о состоянии мозговой деятельности применяют электроэнцефалограммы.

Многочисленные исследования показали, что в мозгу взрослого человека при различных его состояниях преобладают электрические колебания определенных частот. Изменения активации мозга происходят не непрерывно, а только дискретно, скачками, от одного уровня к другому. Каждому состоянию мозга соответствуют свои специфические волны электрических колебаний. Нетрудно заметить, что граничные частоты (верхние и нижние) ритмов мозга или точно отвечают числам Фибоначчи, или очень близко к ним, а отношения тяготеют к золотой пропорции (отношение граничных частот при ритме умственной работы близко к квадрату золотой пропорции).

Кроме значений граничных частот электрических колебаний мозга различных ритмов, электрические колебания мозга характеризуются и другими величинами. Одной из таких характеристик являетсясреднее геометрическое значение крайних частот. Средняя геометрическая частота делит диапазон любой волны мозга на высокочастотную и низкочастотную области (полосы). Отношение этих полос есть постоянная величина для данной волны – инвариант волны. Этот инвариант советские ученые Соколовы приняли за основную характеристику ритмов мозга. Для β-ритма, ответственного за умственную деятельность человека, этот инвариант оказался близким к золотой пропорции.

Подтверждением этой гипотезы могут служить высказывания многих ученых о характере их творческих открытий, интуитивного озарения, которое как молния пронизывает мозг. Очевидно, сравнение творческого акта со вспышкой молнии не случайно – оно отражает высокочастотный ритм электрических колебаний мозга, ответственный за наиболее интенсивную творческую деятельность человека.

Гонки по спирали

Выходит, что система электрических колебаний мозга представляет собой свертывающуюся спираль геометрической прогрессии, с нарастающей частотой колебаний каждого последующего дискретного уровня деятельности мозга. Но ведь эта спираль ритмов ЭЭГ отражает и эволюцию организмов. В процессе эволюции организмов от наиболее простых к сложным происходило возрастание числа ритмов мозга и повышения их частоты. Может быть не случайно, что эволюция планеты в целом, выраженная в ее геологической истории, развертывалась по одной и той же спирали – спирали геометрической прогрессии, отражающей самофокусировку развития, самоускорение собственного (геологического, биологического) времени систем.

И вновь, как и в характере расположения планет Солнечной системы, две основные закономерности развития (по степенной зависимости и «по Фибоначчи») взаимно переплетаются, объединяются и сочетаются в самых разнообразных вариантах.

Ритмы мозга и сердца отражают временную организацию человека, но корни, истоки этой организации остаются неизвестны.

В будущее сквозь «золотое сечение»

Белки являются составной частью наивысших организмов. Белки – это полимеры, в состав которых входит большое количество различных аминокислот. Молекулярная масса белков колеблется от 10000 до нескольких миллионов. Ранее в составе белков насчитывали двадцать аминокислот, а совсем недавно открыли еще одну, неведомую ранее науке, аминокислоту, которую назвали аминолимонной. Не прослеживается ли и здесь связь с числами Фибоначчи?

Очень интересные результаты получил московский ученый Б.И.Курганов, занимающийся изучением ферментов. Установлено, что ферменты в организмах склонны образовывать упорядоченные структуры – мультиферментные комплексы. Они образуют четыре различные композиции, в состав которых входит 1,5,13 и 21 молекула гликолитических ферментов. Похоже, что и эволюция ферментов осуществляется в соответствии с развертыванием чисел Фибоначчи. Отсутствие некоторых членов этого ряда может быть вызвано естественным отбором или недостаточной изученностью.

Белков в организме человека очень много, причем самых разнообразных. Их свойства и состав определяют последовательностью расположения аминокислот в полимерной цепи и структурой. Хранилищем «плана строительства» молекул белка, вместилищем информации являются молекулы дезоксирибонуклеиновой кислоты (ДНК) и молекулы рибонуклеиновой кислоты (РНК). В этих громадных молекулах содержится важнейшая информация о воспроизведении, построении и жизнедеятельности организма.

Механизм кодирования наследственной информации в молекулах ДНК и РНК окончательно не изучен. Но основные черты химического строения и структуры ДНК и РНК уже известен. ДНК и РНК представляют собой полимеры, основное повторяющееся звено этих полимеров – нуклеотиды. Нуклеотид состоит из трех остатков:

1. Остатка молекулы фосфорной кислоты.

2. Остатка сахара.

3. Остатка азотосодержащего органического основания с циклической структурой.

Уже давно было установлено, что некоторые общие принципы формирования сложных систем – от сочетания атомов в молекулах, молекул в клетках организма, клеток в организмах и до организмов в экосистемах – аналогичны тем принципам, по которым слова строятся из букв, предложения из слов, а сложные обращения из фраз.

На каждом уровне генетического кодирования и передачи информации она суммируется, наследуя информацию более низких уровней, и дополняется некоторым количеством новой информации. Информация непрерывно нарастает не только как сумма битов первичной информации, а также путем непрерывного дополнения новой информации, в соответствии с эволюцией организма – от репликации ДНК до образования клетки, органов и цельного организма.

Возможно, что и здесь проявляются некоторые черты развития системы по мере ее усложнения в соответствии с развертыванием ряда чисел Фибоначчи. Это проявляется в уровнях кодирования.

2 – пурины и пиримидины.

2 – число пуриновых нуклеотидов.

3 – число пиримидиновых нуклеотидов.

5 – общее число нуклеотидов.

21 – число различных аминокислот (слов).

146 – число аминокислот в белковой цепи гемоглобина (144 – число Фибоначчи). Как видим, уже на молекулярном уровне организации различных организмов проявляются закономерности золотой пропорции и чисел Фибоначчи. Развитие молекул живого определяется действием нескольких закономерностей. Еще не выяснены, например, закономерности в числе хромосом, являющихся носителями молекул ДНК в растениях и животных различных видов. Число хромосом здесь изменяется очень широко – от 6 у комаров до 98 у речного рака. У некоторых видов число хромосом отвечает или близко числам Фибоначчи, например. 8 – у мухи-дрозофилы, 14 – у ржи, 20 – у кукурузы, 34 – у подсолнечника, 54 – у овцы.

Выше было рассказано о спиральности как характерной черте строения организмов. Оказалось, что спиральность проявляется даже на клеточном уровне организации, в строении молекул живых организмов.

Английский ученый Э.Синнот указывает в своих работах, что спиральность во многих случаях является отличительной особенностью протоплазмы; направления ее движения в клетке тоже спиральное. Рост самих клеток тоже может быть спиральным. Не случайно носители генетической информации молекул ДНК и РНК построены по закону спирали. Естественно возникает вопрос: не здесь ли заложена природой исходная информация спирального вида организмов?

К идеалу золотых пропорций

Из того, что мы уже рассказали, становится ясно: числа Фибоначчи каким-то странным образом связаны с устройством человека, со строением его органов, сердечной деятельностью и т.д.

Странно, не так ли, что числа, полученные в результате задачи о кроликах, оказались в такой взаимосвязи? Можно предположить, что вскоре, в результате исследований ученых, числа Фибоначчи будут не «оторванной» увлекательной математической задачкой, а лягут в основу концепции знаний о строении живой природы и научного миропонимания. Тем более, если учесть, что интерес к числам Фибоначчи значительно возрос: числа Фибоначчи изучают на факультативных занятиях в школах, изучением этих чисел увлекаются научные студенческие коллективы.

Рассмотренные нами факты получены на основе статистических данных и пока не поддаются осмыслению со стороны прикладных наук об организации жизнедеятельности человека. Эти данные пока не прозрачны и не точно соответствуют ряду чисел Фибоначчи, несмотря на то, что эти погрешности можно, без большой натяжки, отнести на течение эволюции. Научная мысль не стоит на месте и поэтому следует ожидать появления новых закономерностей, связанных с изучением чисел Фибоначчи, которые, как мы надеемся, существенно повлияют на ход развития науки в изучении живой природы. Может быть, и мы сильно этого ждем, золотые пропорции сыграют решающую роль в изучении механизма болезней, неподдающихся лечению на данном этапе развития нашей цивилизации.

Источники

1. Воробьев Н.Н. «Числа Фибоначчи» - М.: «Наука», 1983г.

2. Васютинский Н. «Золотая пропорция» - М.: «Молодая гвардия», 1990г.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/498200-chisla-fibonachchi