Урок математике в 5 классе по теме «Комбинаторные задачи»

Целеполагание и мотивация.

Актуализация знаний.

Изучение нового материала

Здравствуйте, ребята! Очень часто в жизни приходится делать выбор, принимать решение. Это сделать очень трудно, не потому что  выбора нет, а  потому что приходится выбирать из множества возможных вариантов, различных способов, комбинаций. И нам всегда хочется, чтобы этот выбор был оптимальный.

   Задачи, которые мы сегодня будем решать помогут вам творить, думать необычно, оригинально,   видеть то, мимо чего вы часто проходили не замечая.

        И еще сегодня в очередной раз убедимся, что наш мир полон математики и продолжим исследование на предмет выявления математики вокруг нас.

слушают

Давайте решим задачу №1,  

Задача 1.У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. (Учитель вызывает 4 учеников к доске и дает им модели купюр). Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. (Учитель вызывает «кассира» и дает ему «билеты»). Задает вопрос «кассиру». Как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

  Выходят к доске 4 ученика и получают модели купюр.

«кассир» и получает «билеты» и старается ответить на вопрос.

Разыгрывают  сценку, с помощью которой можно найти два возможных варианта решения:

1. 50 рублей, 100 рублей, 50 рублей, 100 рублей;

2. 50 рублей, 50 рублей, 100 рублей, 100 рублей .

Задача №2.  Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

Получают цветные полоски (белый, синий, красный) и составляют разные варианты флагов.

(работают по группам)

При решении этих задач мы осуществили перебор всех возможных вариантов, или, как обычно говорят в этих случаях, всех возможных комбинаций. Поэтому подобные задачи называют комбинаторными. Просчитывать возможные (или невозможные) варианты в жизни приходится довольно часто,  поэтому  полезно познакомиться с комбинаторными задачами, а раздел математики, занимающийся решением этих задач, называется комбинаторикой.

Так, как вы думаете какая тема сегодня нашего урока?

Какая цель?

Ребята, а кто знает, что такое комбинаторика?

 Комбинаторика– это раздел математики, посвященный решению задач выбора и расположения заданных элементов по заданным правилам 

  Обычный вопрос в комбинаторных задачах – это «Сколькими способами…?» или

 «Сколько вариантов…?»

Называют тему урока.

Формулируют цель урока.

Высказывают свои предположения.

Вклеивают определение в «подсказочную тетрадь»

Закрепление нового материала

Физминутка для глаз

Давайте еще раз вернемся к задаче о флагах, решим ее используя перебор возможных вариантов:            

                          КБС            КСБ

                          БСК            БКС

                          СБК           СКБ   

Ответ: 6 вариантов.

Записывают в тетрадь

при решении этой задачи мы искали способ перебора возможных вариантов. Во многих случаях оказывается полезным прием  построения картинки – схемы перебора вариантов. Это, во – первых, наглядно , во- вторых, позволяет нам все учесть, ничего не пропустить.

Решение      Флаг

Варианты БСК, БКС, СБК, СКБ, КБС, КСБ.

Ответ: 6 вариантов.

Учитель предлагает

Основное правило произведения:

 Правило умножения: если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций будет равно а х b.

Разберем на примере цветных полосок. Возьмем белую полоску – её можно переставить 3 раза, возьмем синюю полоску – её можно переставить только 2 раза, т.к. одно из мест уже занято белой, возьмем красную полоску – её можно положить только 1 раз.

ИТОГО: 3 х 2 х 1=6

Говорят, что этот способ лучше.

Разбираются с правилом, используя полоски.

Упражнение « Фигуры».

Нарисовать глазами квадрат, круг, треугольник, овал, ромб по часовой стрелке, а затем – против часовой стрелки.

«Рисуют» глазами фигуры

Работа в группах: (решение задач)

1.У одного довольно знаменитого мушкетера в гардеробе имеются  3 элегантных шляпы ,4 чудных  плаща и 2 пары отличных сапог. Сколько вариантов костюма ему можно составить?

2.В футбольной команде 11 человек. Необходимо выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами можно это сделать?

3.Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4, 7, если допустить повторение цифр? 

4.Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5 при условии, что ни одна цифра не повторяется?

5.Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, если цифры: а) могут повторяться; б) не могут повторяться?

6.Шифр для сейфа состоит из пяти различных цифр. Сколько различных вариантов составления шифра? Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено 6 приборов?

7.Сколькими способами можно разместить 6 человек за столом, на котором поставлено6 приборов?

8.В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки – разные? 

9.Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с 0 и 9?

1.Выбираем по одному элементу из трех множеств, то есть, составляем «тройку»,  значит, по правилу умножения получаем 3 • 4 • 2 = 24 варианта костюма.) 2.Всего 11 человек, значит, капитана можно выбрать 11 способами, осталось 10 футболистов, из которых можно выбрать заместителя капитана. Итак, пару капитана  и его заместителя можно выбрать 11 • 10 = 110 способами.)

3. Должно получиться двузначное число –  всего две позиции. На первую позицию можно поставить любую из предложенных цифр – 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом возможности повтора цифры, тоже 3 варианта выбора. Значит, пару цифр мы составляем 3 • 3 = 9 способами, т.е. получится 9 чисел.

4.Трехзначное число: первая позиция – 5 вариантов цифр, вторая позиция с учетом исключения повторов цифр - 4 варианта, третья позиция – 3 варианта. Получаем 5 • 4 • 3 = 60 чисел.

5.а) Двузначное число, как и любое многозначное, не может начинаться с 0, поэтому на первую позицию  можно поставить  лишь 3 из имеющихся 4-х цифр, 3 варианта выбора, на вторую позицию, с учетом повтора,  можно поставить любую из цифр – 4 варианта выбора. Поэтому получается 3 • 4 = 12  чисел;  

б) Первая позиция – 3 варианта, вторая позиция – 3 варианта, т.к. повтор исключается.  Получаем 3 • 3 = 9 чисел.)

6. 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 120 вариантов.

6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 способов.

7. 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 720 способов.

8.8 · 7 · 6 · 5 · 4 = 6720 вариантов. 9. Используются цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – всего 10 цифр, исключая по условию 0 и 9 в начале номера, с учетом возможности повтора, получаем  8 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 =

8 000 000 номеров.

Рефлексия

Ребята вот и подходит к концу наш урок. Как вы считаете, вы сегодня достигли поставленной вами цели, почему? Что было трудным на уроке и почему?

  Кроме того, ответьте на 3 блиц - вопроса:

• На сегодняшнем уроке мне было … (легко, обычно, трудно)

• Новый материал я … (усвоил и могу применить, усвоил и затрудняюсь применить, не усвоил)

• Моя самооценка за урок …

отвечают

Домашняя работа:

1) а) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9?

б)  Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7, 9 при условии, что цифры не должны повторяться.

   2) Составить задачу о своем классе.

   3) Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде 3 горизонтальных полос разной ширины, разных цветов – белый, синий, красный. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны свой флаг?

Получают карточки с домашней работой