Теорема Менелая для тетраэдра

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Московской области

«Сергиево-Посадский физико-математический лицей»

Открытый урок по теме

«Теорема Менелая в тетраэдрах»

Учитель: Чумичева Л.В.

2021-2022 учебный год

Тема урок : Теорема Менелая в тетраэдрах.

Тип урока:Урокизучения нового материала

Цели урока: 1)формирование навыков при решении задач проводить методически грамотный анализ конфигурации, правильно понять условия теоремы Менелая для геометрических объектов;

2) проверка освоения обучающимися основных формул расчёта объёмов многогранников.;

3) развитие навыков работы в коллективе, умений четко и математически грамотно выражать свои мысли;

4) подготовка обучающихся к итоговой аттестации.

Применяемые обучающие технологии:

• ИКТ;

• Педагогика сотрудничества (разбиение материала на блоки, взаимо и самоконтроль);

• Здоровьесберегающие.

Задачи:
1. показать применение теоремы Менелая к тетраэдрам;
2. развить стереометрическое мышление на более высоком уровне;
3. способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления, характерных для математической деятельности.

Ход урока.

1.Фронтальный опрос учащихся. (1 слайд)

Теорема Менелая. Если на сторонах АВ и ВС и продолжении стороны АС (либо на продолжениях сторон АВ, ВС и АС) взяты соответственно точки С₁, А₁ и В₁, то эти точки лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда

Эта теорема Входит в золотой фонд древнегреческой математики. Она дошла до нас в арабском переводе книги «Сферика» Менелая Александрийского. Равенство Менелая можно записывать, начиная с любой вершины треугольника, в любом направлении ( по часовой стрелке, против часовой стрелки ).

2. Решение задач. (2 слайд)

Задача1.

(Задание №14 тренировочного варианта 206 сhttp://alexlarin.net/).
ТочкиM,N,K принадлежат соответственно рёбрам AD,AB и BC тетраэдра ABCD, причём AM:MD = 2:3, BN:AN= 1:2, BK=KC.
а) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки M,N,K.
б)Найдите отношение, в котором секущая плоскость делит ребро CD.

2 слайд.

Задача 2. Дан тетраэдр ABCD. Точки K,L,M,N лежат на рёбрах AD,DC,AB,BC соответственно. Доказать, что эти 4 точки лежат в одной плоскости тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие

Вспомогательная задача. ( 3 слайд) Три прямые пересекаются в точке А. На каждой из них взято по 2 точки: В и В₁, С и С_1, D и D_1. Доказать, что

где через V_ABCD(соответственноV_AB1C1D1) – объёмы тетраэдров ABCD (соответственно AB₁C₁D₁).

Обозначим площади треугольников АВС и АВ₁С₁ Через S и S₁ соответственно. По теореме об отношении площадей треугольников с соответственно равными углами имеем:

Пусть Р- проекция точки D на плоскость АВС и Р₁- проекция точки D₁ на ту же плоскость. Треугольники АPD и АP₁D₁ подобны, и, следовательно,

. Ч.Т.Д.

4. Подведение итогов урока.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/503391-teorema-menelaja-dlja-tetrajedra