Исследовательская работа «Математика финансов»

ТЕМА

исследовательской работы:

«МАТЕМАТИКА ФИНАНСОВ»

Научный руководитель: Плиева Виктория Вениаминовна, учитель математики

Автор: Кошерова Карина Амуровна, МБОУ «СОШ №7», 9 класс

2011 - 2012 учебный год

г. Нальчик

Оглавление

1.Введение …………………………………………………………………………...3 2.Простой и сложный проценты……………………………………………………4

3.Начисление сложного процента и вычисление накопленной и первоначальной суммы вклада (кредита)……………………………………………………………7

4.Начисление сложного процента ежегодно, ежеквартально, ежемесячно ……..9

5.Что выгодней простой процент по вкладам или сложный…………………….11

6. Геометрическая прогрессия и сумма одинаковых платежей, в течение nлет13

7. Расчет платежей погашения по заданной величине кредита………………....18

8. Виды процентных платежей при уплате кредитов…………………………….19

9. Заключение……………………………………………………………………….21

10. Список используемой литературы…………………………………………….23

1.Введение

Среди социальных наук экономика в большей степени использует математику.

Решение задач, возникающих, при проведении финансовых операций иногда называют математикой финансов. В основе большинства финансовых операций лежит древняя, известная уже несколько тысячелетий идея: давать деньги в «рост» или «под процент». Этими операциями занимаются современные банки. Различные способы исчисления этого процента и определяют всё многообразие финансовой деятельности. В настоящее времяконкуренция между банками нарастает. И результатом этой конкурентной борьбы часто является мнимое снижение процентных ставок по кредитам. Проценты принимают скрытуюформу и меняют своё название. Например, с экрана телевизора вам обещают 11 процентов по кредиту, но когда вы начинаете его оформлять, выясняется, что нужно заплатить за оформление кредита, нужно ежемесячно платить за ведение ссудного счета, кредит можно будет получить только через банкомат, который возьмет с вас очередную плату за выдачу наличных денег. И иногда банки ухитряются придумать столько платежей и комиссий, что в результате фактический процент по кредиту может вырасти в 2 и более раза.

Целью нашей работы является анализ начисления суммы процента, при различных способах ее исчисления.

Для достижения поставленной цели необходимо выполнить следующие задачи:

- проанализировать литературу по теме «Проценты и процентные вычисления»;

- познакомится с формулой сложных процентов;

- показать прием полученных знаний при кредитовании.

Методы работы: научный (изучение литературы)

исследовательский

2.Простой и сложный проценты.

Экономическое значение понятия процент это плата за использование средств (ссуда, кредит), предо­ставляемых одним лицом (кредитором) другому лицу (заемщику). Величина суммы оплаты долга определяется как процент (в математическом смысле) от суммы долга.

Все знают, как вычисляют проценты. По определению величина М составляет г процентов от другой величины N если

Значитr процентов от любой величины М определяется дробью

Например, если какая-нибудь величина М увеличивается на rпроцентов, результат такого увеличения будет

Аналогично при уменьшении величины М на r процентов

Представьте себе, что некоторая сумма денег Р,называемая начальным вкладом, помещается в банк. Спрашивается, какова будет сумма денег S, называемая будущей стоимостью вклада, через nлет, если годовая процентная ставка составляетr процентов. Ответ зависит от того, с каким процентом мы имеем дело - простым или сложным. В случаепростого процента на начальный вклад ежегодно начисляется сумма, равная

так что сумма вклада через nлет составит

Простые проценты используются преимущественно при краткосрочных финансовых операциях.

Задачи.

1.100 тысяч рублей выданы в кредит на полгода по ставке: а) 3% в месяц; б) 14% годовых. Найти сумму погашения кредита.

Решение.

P = 100 тыс.руб.

а) r = 3% , n = 6 месяцев.

S = 100 ∙0,03∙ 6 = 118 тыс.руб

б) r = 14% годовых, n = 0,5 года.

S = 100 ∙0,14 ∙0,5 = 107 тыс.руб.

2. Проценты по ссуде в 50 тысяч рублей составляют 1875 руб. Какова годовая процентная ставка?

Решение.

P = 50 тыс. руб., I = 1875 руб., n =

3. Банк выплачивает 4800 рублей каждые полгода по вкладу, исходя из 10% годовых. Какова величина вклада?

Решение.

P = 4800 руб., r = 10% годовых, n = 0,5 года.

4. За какой срок вклад в 70 тыс.рублей увеличится вдвое при ставке 10% годовых?

Решение.

P = 70 тыс.руб.,r = 10% годовых, S = 70∙ 2 = 140 тыс.руб.

5.Инвестор может купить квартиру за 60000долларов наличными или заплатив 6400долларов через год. У инвестора в банке не менее 60000 долларов и банк платит 6% годовых, какая альтернатива предпочтительнее?

Решение.

Вывод: оплата наличными предпочтительнее.

Если же при расчетах используются сложные проценты, т.е. «процент от процента», то после первого года будущая стоимость составит

На второй год проценты будут исчисляться уже от этой суммы и величина вкладасоставит

Значит, через nлет стоимость вклада достигнет величины

Это и есть основная формула для вычисления сложных процентов. Расчеты по этойформуле становятся простыми, если имеется калькулятор с клавишей , позволяющий вычислить значение показательной функции.

Задачи

1.100 тысяч рублей инвестированы в банк на полгода по ставке: а) 10% в месяц; б) 10% годовых. Найти сложные проценты на эту сумму к концу срока.

Решение

а)r = 10% в месяц, n = 6 месяцев.

– P = 100(1 + 0.1)⁶ – 100 = 77.1561 тыс.руб

б) r = 10% годовых, n = 0,5 года.

Подставляя в формулу получим 4,88089 тыс.руб.

2.Кредит в размере 80 тысяч рублей выдан под сложные проценты по ставке 8% годовых на 3 года. Вычислить наращенную сумму к концу срока.

Решение

S= 80(1 + 0,08)³ = 100,77696 тыс.руб.

3.Определить сумму инвестирования под сложные проценты при ставке 12% годовых, если через 2 года наращенная сумму составила 62720 руб

Решение

S = 80 тыс.руб., r = 12% годовых, n = 2 года.

= 50000 руб.

3.Начисление сложного процента и вычисление накопленной и первоначальной суммы вклада (кредита)

Формула для вычисления сложных процентов связывает четыре переменные величины: начальную стоимость Р, накопленную стоимость S, процентную ставкуrи срок n,выраженный в годах. Если известны любые три из них, можно легко найти четвертую.

Пусть вклад Рпомещен в банк под rпроцентов годовых. Спрашивается, сколько лет ондолжен пролежать, чтобы достигнуть заданной величины S. Эта задача соответствует случаю, когда по известным Р,Sиrтребуется найти n.Для нахождения решения прологарифмируем обе части основной формулы и воспользуемся свойствами логарифмов. В результате получим

что и дает решение задачи. Пользоваться полученной формулой так же легко, как и основной формулой: достаточно иметь калькулятор, позволяющий вычислять значения логарифмической функции, т.е. имеющий клавишу

Следует отметить, что для определенности использовались десятичные логарифмы.Однако численный результат не изменяется, если пользоваться логарифмами по другомуоснованию, например, натуральными. В этом случае

Перейдем к определению необходимой процентной ставки гпо заданным

величинам вкладов Р,S и срокуп.Для этого разделим обе части основной

формулы на Р:

Далее возведем обе части в степень 1/n:

Отсюда легко находится процентная ставка r:

Наконец, рассмотрим последнюю возможность: определение Рпо заданным S,run.Этазадача соответственно случаю, когда необходимо найти начальный вклад Р,если известно, что через nлет он должен составить сумму S.При этом операция нахождения Рназываетсядисконтированием.

Из основной формулы находим

Задачи

1.За какой срок сумма в размере 60 тысяч рублей достигнет 100 тысяч рублей при начислении 25% годовых.

Решение

r = 25% годовых

= 2,289224 лет

2.Финансовый инструмент куплен за 300 тысяч рублей, его выкупная цена через 1,8 года составит 700 тысяч рублей. Определить доходность операции в виде годовой ставки сложных процентов

Решение

P = 300 тыс. рублей, S = 700 тыс. рублей n = 1.8 года

Подставляя в формулу получим, r = 60,11%

4. Начисление сложного процента ежегодно, ежеквартально, ежемесячно и т.д.

До сих пор предполагалось, что проценты начисляются ежегодно. Однако они могутотноситься к кварталу, месяцу и более коротким промежуткам времени (особенно в условиях инфляции и гиперинфляции). Выясним, что означает фраза «процентная ставка составляет 12% годовых ежеквартально».Это отнюдь не значит, что к первоначальной сумме каждый квартал прибавляется 12%. По общепринятой терминологии это означает, что ежеквартально начисляется лишь четвертая часть годовой ставки в 12%, т.е.

и подразумевается, кроме того, что процент сложный.

Подсчитаем, на сколько процентов увеличится через год первоначальный вклад, равный единице, если процентная ставка составляет 12% годовых ежеквартально.

Для этого можно воспользоваться основной формулой, положив правным четырем (число кварталов в году), а r- равным трем:

Таким образом, отбрасывая единицу и умножая на 100, получаем 12,55%. Он больше «обычных» 12% годовых, однако не в 4 раза, как можно было ожидать.

Предположим теперь, что процентная ставка составляет 12% годовых ежемесячно. Аналогично предыдущему это значит, что каждый месяц начисляются сложные проценты в размере

Снова можно воспользоваться основной формулой, что дает

Рост составляет 12,68% - процент увеличения вклада за год.

Далее можно вычислить еженедельные, ежедневные и ежечасные начисления(последнее вряд ли может встретиться в практике). Тогда для различных периодов начислений общий годовой рост вклада и соответствующий процент составят:

_{Н
еделя}
День

Час

При вычислениях было принято: а) в году 52 недели, 365 дней и 8760 часов, б) процентнаягодовая ставка во всех случаях равна 12%.

Сведем все полученные данные в таблицу:

Из таблицы видно, что годовой процент начислений растет с ростом п,но этот рост замедляется по мере увеличения п,т.е. числа временных интервалов, на которые делится год(квартал, месяц и т.д.).

5.Что выгодней простой процент по вкладам или сложный.

Многообразие форм кредитования и инвестирования обусловливает необходимость нахождения критерия наиболее выгодного помещения капитала. Когда банки принимают средства клиентов во вклады, они могут использовать простой или сложный процент. Своими словами можно сказать, что простой процент, это тот, который начисляется только на сумму внесенного вклада. Процент начисляется за каждый день, но выплачивается один раз по окончании срока вклада. Если используется форма сложного процента, то за время хранения вклада в банке проценты выплачиваются несколько раз. Например, проценты начисляются ежемесячно в последний день месяца. Они присоединяются к сумме вклада и следующий месяц проценты начисляются на общую увеличенную сумму вклада. Таким образом, если вы размещаете свои средства на одинаковый срок и под одинаковый процент, с той только разницей, что в одном случае процент будет простой, а в другом случае сложный, то по вкладу со сложным процентом вы получите доход больший. Если же условия вклада разные, то следует воспользоваться математикой и применить формулуэффективной годовой процентной ставки.

Если на основной вклад Рв течение года траз начисляются сложные проценты, то пригодовой процентной ставке г ожидаемый вклад Sчерез год составит

Эффективная годовая процентная ставка определяется из условия

т.е.это процент, начисляемый за год лишь один раз и дающий тот же результат, что исложные проценты с начислением траз в году.

Приравнивая правые части уравнений,

окончательно находим

В отличие от эффективной ставки первоначальная ставка r сm-кратнымначислением называется номинальной.

Задача.

Вам встречается два рекламных объявления; один банк предлагает 15,5% ежеквартально, а другой - 15,2% ежемесячно. Что лучше?

Решение

В первом случае r =15,5; m=4.

Отсюда, используя формулу, находим

Во втором случае r=15,2;m=12.

По той же формуле

Таким образом, 15,5% ежеквартально дает больший доход, чем 15,2% ежемесячно.

6.Геометрическая прогрессия и сумма одинаковых платежей, в течение nлет.

Все задачи, разобранные нами до сих пор, сводились к единовременному помещениюкапитала (взятию кредита) и расчету процентов. Однако на практике встречаются и многоразовые операции.

Предположим, что через равные промежутки времени осуществляются одинаковые платежи. Такая финансовая операция обычно называется аннуитетом.Окончательная сумма складывается из всех платежей плюс сложные проценты, начисленные на эти платежи. Поясним сказанное простым примером.

Задача

Пусть ежегодно в течение 6 лет делаются взносы в размере 100. Какова будет общая сумма, если процентная ставка составляет 7%годовых?

Решение

Изобразим поступление платежей в виде временной диаграммы на рис.1.

общая сумма

Из рис.1 видно, что платежи производятся в конце каждого года. Далее, 6-й по порядку платеж вообще не приносит процентов; 5-й платеж (простой аннуитет) дает

4-й по основной формуле сложных процентов -

Аналогично получаются проценты, «набегающие» от каждого платежа. Очевидно, что чем раньше сделан платеж, тем больший вклад в общую сумму накоплений он дает, как и показано на рис.1. если обозначить окончательную сумму через 5, можно записать

Конечно, для того чтобы вычислить эту сумму, можно подсчитать каждое слагаемое и сложить их. Это утомительно, но выполнимо. Представим, однако, что платежи делаютсяежемесячно в течение нескольких десятков лет (именно так образуются пенсионные фонды). В этом случае число слагаемых заранее неизвестно. Часто требуется определить, сколько платежей необходимо сделать, чтобы сумма Sдостигла заданной величины. На помощь приходит математика, предлагая простые способы решения подобных задач. Это геометрическая прогрессия, а именно, формула для суммыn членов геометрической прогрессии.

Вернемся, к примеру аннуитета с ежегодными платежами. В этом примере

подставляя эти значения в формулу для суммы геометрической прогрессии, сразу получаем

Полезно получить формулу для вычисления суммы платежей аннуитета в общем виде. Если обозначить периодические платежи черезR,число платежей –n,апроцентную ставку - r, то

Полученная формула может применяться и при решении задач, когда по известным S,r,nтребуется определить периодические платежи R.Обычно такого рода задачи возникают приопределении амортизационных отчислений.

Например, руководство фирмы считает, что через пять лет для замены части оборудования потребуется сумма 10000. спрашивается, каковы должны быть ежемесячные платежи, если процентная ставка составляет 6% годовых ежемесячно. В данном случае

Приведенную выше формулу удобно представить в виде

Подставляя численные значения, получаем

Это и есть величина ежемесячных платежей.

Рассмотрим еще одну задачу, связанную с регулярными платежами. Какую сумму необходимо внести в банк, выплачивающий r% годовых, чтобы через nлетполучить сумму, равную Rпри ставке г процентов годовых

Задача

Какую сумму необходимо ввести в банк, выплачивающий 5% годовых, чтобы иметь возможность в течение последующих 6 лет ежегодно получать по 100(денежные единицы опускаются, и предполагается, что после последней выплаты на счете ничего не остается).

Решение

таким образом, для обеспечения шести ежегодных выплат по 100, нам придется сделать общий взнос в размере

гдеР_n - часть взноса, обеспечивающая n-ювыплату.

Наглядно решение задачи можно изобразить временной диаграммой (рис.2)

Сумма чисел, стоящих в левой колонке на рис.2, дает искомый вклад. Легко, однако,заметить, что последовательность этих чисел образует геометрическую прогрессию. Это дает возможность получить результат в общем виде, а потом применить общую формулу к нашему примеру. Если обозначить: выплаты- R,процентную ставу -г (относится к тому промежутку времени, через который производятся выплаты), число выплат - п ,товеличинаискомого вклада Рравна:

Подставляя в формулу для суммы членов геометрической прогрессии

получим

Подставляя численные, значения из нашего примера и воспользовавшись калькулятором, имеем величину искомого вклада

Как и следовало ожидать, эта величина меньше суммы всех выплат, равной 600. объяснение простое: на вклад «набежали» проценты.

7.Расчет платежей погашения по заданной величине кредита.

Приведенная выше формула имеет еще одно полезное применение: расчет платежей погашения по заданной величине кредита. Самый простой пример — взятие ссуды в банкедля покупки, какой — либо вещи с последующим погашением долга периодическими равнымиплатежами. Положим, вы берете в банке, сумму для приобретения автомобиля. У банка должен быть свой «интерес», поэтому его условия таковы: срок погашения кредита n лет, процентная ставка — r % годовых ежемесячно.

Спрашивается, каковы должны быть ваши ежемесячные платежи, если по условию они одинаковы по величине. Для решения этих и подобных задач удобно формулу

представить в виде:

ЗдесьР - величина кредита, r - процентная ставка, R- искомый размер платежа, аn-общее число платежей.

Задача

Банк предоставил ссуду в размере 5000 у.е сроком на 3 года под 12% годовых. Каковы должны быть ежемесячные платежи, если они одинаковые по величине?

Решение

Применим полученную формулу для решения нашей задачи. Подставляя численные значения

с помощью калькулятора легко находим размер платежа

Следует заметить, что общая сумма ваших платежей составит

т.е. превышает (и существенно) стоимость автомобиль, равную 5000. Это превышение и есть «интерес» банка.

8. Виды процентных платежей при уплате кредитов.

Наиболее распространенными платежами по кредитам являются аннуитетные платежи и гашение кредита равными долями. Аннуитетными платежами называются платежи банку одинаковыми суммами. Они применяется при выдаче кредитов на длительный срок (например, ипотека). То есть, заемщик платит каждый месяц одну и ту же сумму.

Задача

Кредит 850000 рублей взят на 30 лет под 11 % годовых. Ежемесячный аннуитетный платеж 10000,00 рублей. За первый месяц начислено процентов 7684,00 (850000* 11 % /365*30). Завторой месяц начислено процентов7664,00 (847684* 11%/365*30) График гашения кредитавыглядит следующим образом:

гашение кредитауплата процентов платеж всего

2316,007684,0010000,00

2336,00 7664,00 10000,00

И так далее: в первую очередь уплачиваются проценты банку, которые составляют большую сумму платежа, а оставшаяся сумма направляется на гашение кредита. Постепенно сумма процентов будет уменьшаться, так как уменьшается размер кредита, и к концу 30-летпего периода график гашения будет выглядеть так:

гашение кредитауплата процентовплатеж всего

9827,00172,0010000,00

9910,0090,0010000,00

Если кредит берется в небольшой сумме, то применяется способ гашения кредитаравными долями. При таком способе сумма ежемесячной выплаты будет всегда разная, и она будет постепенно уменьшаться.

Задача

Кредит в сумме 6640,00 под 11% годовых на 4 месяца. Как будет выглядеть график гашения кредита?

Гашение кредитауплата процентов

1660,0060,00

1660,0045,00

1660,0030,00

1660,0015,00

При выборе схемы кредитования рекомендуется сначала просчитать свои возможности,чтобы платежи по кредиту не привели вас к проблемам. Затем необходимо подробно узнать условия в нескольких банках, особенно если вы берете большой кредит на длительный срок. Это связано с тем, что при одинаковой процентной ставке банки используют различные схемы дополнительных платежей (комиссий).

Например, комиссия за оформление кредита обычно составляет 2-3 процента, комиссия за ведение ссудного счета 0,5-1,0 процента. Обязательным условием выдачи кредита может быть страхование жизни заемщика или имущества, которое берется в залог, что так же значительно увеличит ваши расходы на получение кредита. И здесь простая математика поможет выбрать наиболее оптимальный вариант. Не забудьте уточнить условия досрочногопогашения кредита, так как договор может предусматривать уплату всех процентов согласно плану-графику, независимо от того когда вы погасите кредит. Т.е., даже если вы погасите кредит через неделю, то проценты придется заплатить такие, будто вы пользовались кредитом все предусмотренное договором время. Если же договором предусмотренавозможность досрочного гашения кредита, то специалисты рекомендуют оформлять кредиты на более длительные сроки, да же если в момент оформления кредита вы видите, что сможете расплатиться гораздо быстрее. Но часто бывают случаи, когда финансовая ситуация заемщика ухудшается (потеря работы, болезнь и т.п.). В этом случае банк может через суд предъявить претензии к поручителям, реализовать заложенное имущество, в том числе и купленную по ипотеке квартиру. Так что лучше не рисковать и оставить запас прочности.

9.Заключение

В заключение можно сказать, что кредит может быть как «плохим», так и «хорошим» в зависимости от того приносит он деньги в наш карман или забирает деньги из нашего кармана. И это зависит не столько от банка, сколько от нас, от того как мы дружим с математикой. Например, вы купили автомобиль, который стоит в магазине 200000,00, заплатили за него с учетом процентов банку 222000,00, а через год смогли продать его только за 180000,00. Чистый убыток 42000,00. (222000,00-180000,00) Или тот же автомобилькупил водитель такси, заработал на нем за год 120000,00 и через год продал его за 150000,00.Чистая прибыль составит 48000,00. (120000+150000-222000). Или еще пример: если вы уверены, что квартира, которую вы покупаете, будет дорожать на 20 процентов в год, а все затраты по ипотечному кредиту не превысят 18 процентов в год, то такой кредит - прямая выгода. Главное, не полениться, призвать на помощь математику и все заранее просчитать.

1."Элементарная математика в экономике и бизнесе" Е.ВигдорчикМосква "Вита- Пресс" 2003г.

2."Микро и Макроэкономика" ЗАО "Литера Плюс" Санкт-Петербург 2006г.

3."Основы предпринимательства" В.Абчук Москва "Вита-Пресс" 2006г.

4."Основы экономических знаний" Л.Л.Любимов Н.А.Ранеева Москва "Вита-Пресс" 2007г.

5. "Экономика в задачах" А.Мицкевич Москва "Вита-Пресс" 2003

6."Основы экономической теории" С.И.Иванов (ч.1,2) Москва "Вита-Пресс" 2000г.

7. "Банковское дело", Москва, Экономика, 2008г

8. Банковский бюллетень, Москва, Агентство банковской информации

еженедельника"Экономика и жизнь" №8, 2007г.

~\

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/5069-issledovatelskaja-rabota-matematika-finansov