Отбор корней в тригонометрических уравнениях

№

Этапы урока и их содержание

Время (мин)

Деятельность

учителя

учащегося

I

Организационный этап.

1

Организационная.

Сообщают об отсутствующих.

II

Постановка целей.

Сегодня на уроке мы повторим с вами решение тригонометрических уравнений и приемы отбора корней при решении тригонометрических уравнений.

1

Сообщает тему урока, дату проведения урока, цель урока.

Слайд №1

Открыли рабочие тетради и записали тему урока.

III

Домашнее задание.

Комментарий: Аналогичные задания мы будем решать и сегодня на уроке, что поможет вам успешно выполнить домашнюю работу.

1

Раздаёт и комментирует домашнее задание.

Получают задание.

IX

Актуализация опорных знаний (устная работа).

В результате выполнения задания мы повторим определения арккосинуса, арксинуса, арктангенса и арккотангенса; формулы для решения простейших тригонометрических уравнений.

1. Вычислите:

а) arcsin(-1)

б) arccos

в) arcsin 2 (не существует);

г) arctg

д) arccos (не существует);

е) arсctg =- arсctg

2.Решить уравнения:

а) cosx = - 1; ;

б) sin х = ;

;

в) cosх = 0; ;

г)tgx = ; .

5

Показывает презентацию.

Слайд №2

Задает вопросы.

Слайд №3

Задает вопросы.

Отвечают на вопросы.

Отвечают на вопросы.

Отвечают на вопросы.

V

Обобщение знаний.

Выполнение упражнений.

Проблема отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений специфична. Лишние корни могут появиться вследствие того, что в процессе решения произошло расширение области определения уравнения. Запись ответа тригонометрического уравнения часто связана с понятиями объединения и пересечения множеств. Обычно при решении таких уравнений получают серии корней, и в окончательном варианте ответ записывают в виде объединения этих серий. Но как быть, если эти серии пересекаются? Сегодня мы на конкретных примерах рассмотрим различные способы и приемы при выборе ответа.

Перед вами раздаточный материал.

1.Отбор корней в тригонометрическом уравнении с помощью числовой окружности.

Проблему отбора корней, отсеивания лишних корней при решении тригонометрических уравнений часто можно решить с помощью изображения чисел на тригонометрическом круге. В ряде случаев этот прием более наглядный и убедительный.

Пример 1.cosx + cos 2x – cos 3x = 1.

Решение.

cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0,

2sin x sin 2x – 2sin² x = 0,

2sin x (sin 2x – sin x) = 0,

Изобразим серии корней на числовой окружности. Видим, что первая серия включает в себя корни второй серии, а третья серия включает в себя числа вида из корней первой серии.

Пример 2. tg x + tg 2x – tg 3x = 0.

Р ешение.

tg x · tg 2x · tg 3x = 0;

Из второй серии корней числа вида не удовлетворяют ОДЗ, а числа вида входят в третью серию. Первая серия так же входит в третью серию корней, поэтому ответ можно записать одной формулой.

П ример 3.

Р ешение.

Иногда случается, что часть серии входит в ответ, а часть нет.
Нанесем на числовую окружность все числа

серии и исключим корни,

удовлетворяющие условию

Оставшиеся решения из серии корней можно

объединить в формулу

2. Отбор корней в тригонометрическом уравнении алгебраическим способом .

Изображение корней на тригонометрическом круге не всегда удобно, когда период меньше 2.

Пример 1.

Решение.

Поскольку наибольшее значение функции y = cos t равно 1, уравнение равносильно системе

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

_{Получаем}

_Итак,

Пример 2.

Решение.

Решением уравнения является пересечение серий, то есть нам надо решить уравнение

_{где целое число.}

Пусть

_тогда

_Итак,

3. Отбор корней в тригонометрическом уравнении с некоторыми условиями.

Изложенные выше способы отбора корней в тригонометрических уравнениях не всегда применяются в чистом виде: выбор способа зависит от конкретных условий, но иногда эти способы комбинируются.

Пример 1. Найти корни уравнения

sin 2x = cos x | cos x | , удовлетворяющие

условию x[0; 2].

Решение.

sin 2x = cos x | cos x |;

2sin x· cos x - cos x | cos x |=0;

cos x  (2sin x - | cos x |)=0;

Определим решения систем с помощью числовой окружности.

Условию x[0; 2] удовлетворяют числа _{(для первой системы) и (для второй системы).}

Пример 2. Найти все решения уравнения

_{принадлежащие отрезку}

Решение.

ОДЗ:cos 3x ≥ 0;

Отметим ОДЗ на тригонометрическом круге:

Отрезку принадлежит только один промежуток из ОДЗ, а именно .

Решим уравнение и выберем корни, принадлежащие этому промежутку:

1 + sin 2x = 2cos² 3x ;

sin 2x = cos 6x;

sin 2x - cos 6x=0;

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.

Из первой серии:

_{Следовательно n=2, то есть}

Из второй серии:

_{Следовательно n=5, то есть}

Пример 3. Найти все корни уравнения

которые удовлетворяют условию

Решение.

10sin² x = – cos 2x + 3;

10sin²x = 2sin² x – 1 + 3,

8sin²x = 2;

_{С помощью числовой окружности получим:}

Выберем корни, удовлетворяющие условию задачи.

Из первой серии:

_{Следовательно n=0 или n=1, то есть}

Из второй серии:

_{Следовательно n=0 или n=1, то есть}

36

Слайд №4, 5

Формулирует задание, показывает решение обсуждая каждое действие с учащимися.

Слайд №6, 7

Формулирует задание, показывает решение обсуждая каждое действие с учащимися.

Слайд №8

Формулирует задание, показывает решение обсуждая каждое действие с учащимися.

Слайд №9

Формулирует задание, показывает решение обсуждая каждое действие с учащимися.

Слайд №10

Формулирует задание, показывает решение обсуждая каждое действие с учащимися.

Слайд

№11, 12

Формулирует задание, показывает решение обсуждая каждое действие с учащимися.

Слайд

№13, 14

Формулирует задание, показывает решение обсуждая каждое действие с учащимися.

Слайд

№15, 16

Формулирует задание, показывает решение обсуждая каждое действие с учащимися.

Работают в форме диалога с учителем, оформляют решение в тетради.

Работают в форме диалога с учителем, оформляют решение в тетради.

Работают в форме диалога с учителем, оформляют решение в тетради.

Работают в форме диалога с учителем, оформляют решение в тетради.

Работают в форме диалога с учителем, оформляют решение в тетради.

Работают в форме диалога с учителем, оформляют решение в тетради.

Работают в форме диалога с учителем, оформляют решение в тетради.

Работают в форме диалога с учителем, оформляют решение в тетради.

VI

Итоги урока.

Сегодня на уроке мы систематизировали умения и навыки по применению трех способов отбора корней в тригонометрических уравнениях.

За урок вы получаете следующие оценки:…………………

Спасибо за урок!

1