План-конспект урока в 11 классе по теме «Вторая производная и её физический смысл, выпуклость и точка перегиба»

11 класс

Дата: Математика

Тема урока: Вторая производная и её физический смысл, выпуклость и точка перегиба

Цели:

I. Образовательные: изучить алгоритм нахождения производной второго порядка, физический смысл производной второго порядка, определение промежутка выпуклости графика функции с помощью алгоритма

II. Развивающие: способствовать выработке умений решения прикладных задач с использованием производной второго порядка

III. Воспитательные: воспитывать внимательность

Ход урока:

I. Организационный момент:

Проверить наличие учащихся в классе, готовность к уроку.

Проверить выполнение домашнего задания.

II. Ориентировочно-мотивационный момент:

1. Устно повторяем предыдущие понятия

Возрастание функции. Когда большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Убывание функции. Когда большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Максимум функции. Значение функции в точке максимума называют максимумом функции 

Минимум функции. Значение функции в точке минимума называют минимумом функции 

Точки экстремума функции. Точки минимума и максимума называют точками экстремума.

Производная - скорость изменения функции.

Точка перегиба. Это когда возрастание в критической точке сменяется возрастанием, или убывание сменяется убыванием

Производную можно найти только в том случае, если функция дифференцируема в данной точке. Эта производная называется производной первого порядка. А если функция производной дифференцируема, то можно в точке можно найти производную от производной. Это будет производная второго порядка.

Решаем задание № 1 (первые 2) с объяснениями, на доске (дети записывают, задают вопросы – поясняю)

III. Операционно-исполнительный момент:

Пример 1. Решаем № 303 у доски (1, 3, 5)

Скажите, каков геометрический смысл производной? (Производная в точке дифференцирования равна угловому коэффициенту касательной к функции, проведённой в данной точке)

Теперь разберём геометрический смысл производной второго порядка.

Функция выпукла вниз, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит ниже проведенного отрезка.

Функция выпукла вверх, если, соединив любые две точки ее графика отрезком прямой, обнаруживают, что соответствующая часть графика лежит выше проведенного отрезка.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости графика функции:

1. Найти область определения функции

2. Найти вторую производную функции

3. Найти точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует

2. Найти интервалы, на которые область определения функции разбивается этими точками

3. Определить знаки второй производной на каждом интервале

4. Если f '‘(х) < 0, то кривая выпукла вверх;

если f '‘(х) > 0 то кривая выпукла вниз.

1. Точки, в которых вторая производная меняет знак, - точки перегиба.

По учебнику № 304 (а) объясняю у доски, № 304 (б) – решают самостоятельно в тетрадях

А теперь давайте вспомним физический смысл производной.

Скорость – это производная от функции пути

Ускорение – вторая производная от функции пути, то есть производная от скорости

Пример 3.Точка движется по закону S(t) = 3t⁴ – 8t³ + 2t – 3. В какой момент времени ускорение точки будет равно 48?

Решение:

Ускорение - это вторая производная s(t).

Найдем уравнение ускорения.

v=S'(t) = 12t³ – 24t² + 2

a= S''(t) = 36t² – 48t

Остается подставить вместо ускорения его значение равное 48 и решить уравнение.

36t² – 48t=48

36t² – 48t-48=0

При решении один корень получается отрицательный, чего не может быть по условиям задачи, а второй корень равен 2

Ответ: 2

Задание, подобное заданию ЕГЭ

Материальная точка движется прямолинейно по закону   (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?

IV. Рефлексивно-оценочный момент:

Оценивание.

Домашнее задание:

Выполнить № 303 (2, 4, 6), № 304 (2), № 307

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/520905-plan-konspekt-uroka-v-11-klasse-po-teme-vtora