Уравнения с параметрами. Тренажер для самостоятельной работы обучающихся 10-11 классов

Учитель математики ЦО №80
«Рождественская школа»
Санкт-Петербург
Плехова Людмила Михайловна.

Решение уравнений с параметрами.

Параметр – величина, входящая в формулы и выражения, сохраняющая постоянное значение в условиях данной задачи или процесса («Cловарь-справочник по математике», Н.И. Александров, И.П. Ярандай).

Пусть дано уравнение F(x;a) = 0. (*)

Если ставится задача отыскать все такие пары (а; х), которые удовлетворяют данному уравнению, то уравнение (*) – это уравнение с двумя переменными хи а. Однако, относительно уравнения (*) можно поставить и другую задачу. Дело в том, что если придать, а какое-либо фиксированное значение, то уравнение (*) можно рассматривать как уравнение с одной переменной х. Решения этого уравнения определяются выбранным значением а.

Если ставится задача для каждого значения а из некоторого числового множестваАрешить уравнение (*) относительно х, то уравнение (*)называют уравнением с переменной х и параметром а, а множество А – областью изменения параметра.

Под областью изменения параметра будем понимать (если не сделано специальных оговорок) множество всех действительных чисел, а задачу решения уравнения с параметром будем формулировать следующим образом:

решить уравнение (с переменной х и параметром а) - это значит на множестве действительных чисел решить семейство уравнений, получающихся из данного уравнения (*) при всех действительных значениях параметра.

Следовательно, сам факт существования решения уравнения с параметром зависит от значения параметра а.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ.Исследовать и решить уравнение с параметром – это значит:

1. найти все системы значений параметров, при которых данное уравнение имеет решение.

2. найти все решения для каждой найденной системы значений параметров, т.е. для неизвестного и параметра должны быть указаны свои области допустимых значений.

ПРИМЕРЫ:

1. Решить уравнение .

РЕШЕНИЕ: выполним алгебраические преобразования, приведем уравнение к более простому виду для исследования:
;
;
;

а) при

б) если, а = 5, то 0х= 0, х – любое действительное число.
в) если, а = -5, то 0х = 250, решений нет.

ОТВЕТ:
1) при .
2) при а = 5 х – любое действительное число.
3) при а = -5 решений нет.

1. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ: приведенное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

D =
Квадратное уравнение имеет решение, если дискриминант больше или равен нулю,т.е.
ОТВЕТ: 1) при

2) при m = -2 x = -2 единственное решение.
3) при m = 2 x = 0 единственное решение.
4) при

3. Решить уравнение

РЕШЕНИЕ: найдем область определения уравнения:

x(x – 4) = (m – 6) (m – 1)

D =

Если D >0, тогда

Выясним, при каких значениях параметра m x = 0:
а) Если x = 0, то

б) Если m = 6 , то

в) Если m = 2 , то

г) Если m = 5, то

ОТВЕТ:

1)

2) при m = 1 уравнение не определено.

3) при m = 2 x = 2.

4) при

5) при m = 5 x = 2.

6) при m = 6 x = 4.

3. Решить уравнение =a - .

РЕШЕНИЕ: функция, задающая левую часть данного уравнения, является возрастающей, а функция в правой части – убывающая, следовательно, по теореме о корне, уравнение имеет единственное решение.
А) Найдем область определения уравнения:

Б) Возведем обе части уравнения в квадрат:

В) Исследуем решение уравнения:

1. если , то уравнение решения не имеет.

2. если а = 0 , то x = 0.

3. если а> 0 , то .

ОТВЕТ: 1) при уравнение решения не имеет.

1. при а = 0 x = 0.

2. при а> 0 .

4. Решить уравнение: .

РЕШЕНИЕ:

1) если а + 3 = 0
а= 0 , то ,
,
- 5 х = 4 ,
х = - .

2) если , то найдем дискриминант данного квадратного уравнения и исследуем его:

a) еслиD = 0, - 4 a + 13 = 0, a=,
тогда

в) если

с) если D < 0 , - 4а + 13 < 0 , а >= 3,

тогда Ǿ (действительных корней нет)

ОТВЕТ: 1) при а = -3 х = -

1. при а = 3

2. при
   .

3. при

1. Решить уравнение .

РЕШЕНИЕ: 1) если х - а , т.е. ха , тох – а = х +2,
0 х = а+ 2
а) еслиа = - 2, то х – любое д. ч. х .
б) если а, то х = Ǿ.

2) если х – а < 0, т.е. х < а , то - х +а = х + 2
.
ОТВЕТ: 1) при а = - 2 х – любое действительное число, такое, что .

2) при

3) при а > х,

Предложенные задачи могут быть использованы учителями и учениками в процессе изучения темы «Решение уравнений» или для параллельного повторения курса алгебры в 10-11 классе.

Литература:

1. А.Х. Шахмейстер
Уравнения и неравенства с параметрами.

Задачи с параметрами в ЕГЭ СПб: «ЧеРо - на - Неве»,2004.

2. С.И. Колесникова
Математика. Решение сложных задач ЕГЭ. М.:Айрис-пресс,2007

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/531170-uravnenija-s-parametrami-trenazher-dlja-samos