Методические рекомендации по решению функциональных уравнений и неравенств

Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение Московской области

«Сергиево-Посадский физико-математический лицей»

Методическая разработка

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО РЕШЕНИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И НЕРАВЕНСТВ.

Учитель: Чумичева Л.В.

2022-2020 учебный год

Цель исследования – разработка методических рекомендаций по обучению учащихся поиску решения функциональных уравнений и неравенств.

Материал и методы исследования. Методы исследования носили комплексный характер, среди них выделялись теоретические методы: анализ научно-методических статей и учебных пособий, анализ учебников и задачников по алгебре, алгебре и началам анализа и эмпирические методы: анкетирование школьников и учителей математики, наблюдение за процессом поиска решения функциональных уравнений и неравенств, а также педагогический эксперимент.

Проведенный анализ показал, что существует ряд исследований, посвященных обучению решению функциональных уравнений и неравенств (Ю.М. Колягин, И.Ф. Шарыгин, В.И. Голубев, Г.В.Дорофеев, Г.К. Муравин, А.Г. Мерзляк, О.Ю. Черкасов, А.Г. Якушев и др.). Однако проблема обучения поиску решения функиональных уравнений и неравенств в научно-методической и учебной литературе не достаточно разработана. Многочисленные задачники содержат различные примеры решения функиональных уравнений и неравенств без подробного их анализа и методических рекомендаций по организации поиска их решения.

Одна из важных рекомендаций методистов при решении задач: прежде чем приступить к решению задачи, следует начать с анализа данных, представленных в этой задаче. Не является исключением и процесс поиска решения функциональных уравнений и неравенств. Анализ литературы показал, что под нестандартным приемом решения уравнений и неравенств в методической литературе понимают прием решения уравнений и неравенств, в котором основную роль при переходе к равносильным уравнениям и неравенствам играют свойства функций (монотонность, четность, нечетность, периодичность и др.).

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Функциональное уравнение – это уравнение, которое содержит одну или несколько неизвестных функций (с заданными областями определения и значений). Решить функциональное уравнение – значит найти все функции, которые тождественно ему удовлетворяют. Функциональные уравнения возникают в самых различных областях математики, обычно в тех случаях, когда требуется описать все функции, обладающие заданными свойствами.

Опыт работы показывает, что часто сложный вид уравнения пугает школьников, и многие из них даже не приступают к решению, те же, кто всё-таки приступил к решению, пытаются безуспешно использовать известные методы решения без учета анализа самого уравнения. Ознакомление обучающихся с некоторыми методическими рекомендациями позволит избежать этой проблемы и вооружит их определенными приемами решения функциональных уравнений.

В работе рассматриваются различные методы решения функциональных уравнений и неравенств. А также приведены решение задач относительно композиции функции. Такие задачи мало рассматриваются в школьном курсе математики, а часто встречаются в заданиях математической олимпиады. Приведены анализ применения различных методов решения функциональных уравнений и неравенств. Задача этой работы обеспечить более полное раскрытие применения функционального метода к решению уравнений и неравенств, от простых до сложных.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств позволяет сделать более осмысленным их изучение. Свойства функции, геометрические образы необходимо широко использовать при изучении уравнений и неравенств.

Решение уравнений и неравенств, отражающееся на функциональный метод, достаточно нетрадиционно и является творческой задачей.

Задача 1.Решить уравнение:  .

Как видим, в уравнении участвуют три различные функции. Применение известных методов не позволило школьникам найти решение самостоятельно. Действия тех, кто приступил к решению, сводились только к возведению обеих частей уравнения в квадрат, что, конечно, ни к чему хорошему не привело. Наличие показательной функции не позволяет упростить уравнение возведением в квадрат. И только с помощью наводящих вопросов, организованных в ходе поиска решения уравнения и анализа его данных, некоторые обучающиеся начали выделять функции, входящие в него, и обдумывать условия существования решения уравнения, т.е. приступили к анализу области определения.

После нахождения области определения обучающиеся выяснили:

а) существует при х, принадлежащих промежутку [2; 3];

б) – при х из промежутка [π, +∞);

в)  – при х из промежутка (–∞, ].

Данные промежутки не пересекаются, следовательно, данное уравнение решений не имеет.

Ответ: решений нет.

Задача 2. Решить уравнение: 

Окрыленные успехами после первого уравнения, большинство учащихся начинали свое решение с анализа области допустимых значений. Этот поиск привел к тому, что область допустимых значений состоит всего лишь из одного числа 3. Это свидетельствует о том, что если решение существует, то только при х=3. Простая проверка с помощью подстановки х=3 в уравнение позволяет найти окончательный ответ: х=3 – корень уравнения.

Ответ: х=3.

Задача 3. Решить уравнение: 2 .

Аналогичные действия при решении данного уравнения не дают ожидаемого результата, так как область определения – это все числа, кроме 0. Но часть обучающихся не спешит сразу использовать известные методы и после наводящих вопросов приходит к выводу, что можно анализировать не только область определения, но и область значений функций, входящих в уравнение.

Оценивая левую часть уравнения, ученики приходят к выводу, что 2 ≤ 2, т.е. левая часть не больше 2.

Аналогичный анализ правой части дает неравенство:  +  ≥ 2, т.е. правая часть не меньше 2. Единственно возможное решение, когда левая часть равна правой части и равна 2. Решим уравнение:  +  = 2. Корни уравнения: х₁ = 1, х₂ = –1. Подставив их в левую часть уравнения, убеждаемся, что эти числа не удовлетворяют, т.е. уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Задача относительно композиции функции.

Задача4. Если

Решение. Функция g(x) определена на всей числовой оси:

Как видим, в уравнении участвуют три различные функции. Применение известных методов не позволило школьникам найти решение самостоятельно. Действия тех, кто приступил к решению, сводились только к возведению обеих частей уравнения в квадрат, что, конечно, ни к чему хорошему не привело. Наличие показательной функции не позволяет упростить уравнение возведением в квадрат. И только с помощью наводящих вопросов, организованных в ходе поиска решения уравнения и анализа его данных, некоторые обучающиеся начали выделять функции, входящие в него, и обдумывать условия существования решения уравнения, т.е. приступили к анализу области определения.

Напишем композиции функций g(2-x)-g(x),f(x)=2-x:

Тогда

Следовательно, значение выражения

Задача5. Дано функция f(x)= 2x-3. Найти f(f(x)),f(f(f))).

Решение. Имеем:

А композиции функции f(x)=3-2x и f(f(x))=g(x) пишем в виде:

f(f(f(x)))=f(g(x))=2g(x)-3=2(4x-3)-3=8x-21.

Задача6. Пусть . Вычислите значение функции f(…f(

Решение. Для функции f(…f( (x))…) получим следующую гипотезу:

Приn=1:

Приn=2:

Приn=3:

Приn:

Эту гипотезу доказываем методом математической индукции.

Приn=1 имеет место

.

Теперь доказываем, что при случае n=k+1. Действительно, имеем:

Таким образом, гипотеза верна при любом натуральном значении n:

Приn=2020

,

её сумма равна:

Тогда

Приx=4

Различные методы решение функциональных уравнений и неравенств

Под функциональным методом решения уравнений и неравенств понимают метод решения, опирающийся на использование свойство функций, входящих в уравнение и неравенство. Изучение роли функционального метода решения уравнений и неравенств является целью этой работы.

Функциональный метод используется:

1) В обосновании классических методов решения уравнений и неравенств (теорем равно-

сильности, методов интервалов);

2) используется для решения задач, которые другими методами решить нельзя;

3) некоторые задачи можно решить разными способами, но более рациональным методом является функциональный;

4) при решении уравнений и неравенств, которые являются математической моделью

других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.

Большинство функциональных уравнений могут быть не определены специальной

функцией, то есть класса функций, которые обладают обобщенными свойствами. Например, уравнение f(x + 1) = f(x) – характеризует класс функций, период которых равен 1, а уравнение f(1 + x) = f(1-x) – класс симметричных функций по отношению к прямой x = 1. Особое место в теории функциональных уравнений занимают дифференциальные уравнения. Покажем некоторые методы решения функциональных уравнений

Задача7. Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим функцию

Функционального уравнения: т.е.

уравнению =0. Решая это уравнение, находим .

Задача8. Найти все непрерывные функции f(x), если f(2x)=f(x).

Решение. Сделаем замену , тогда:

Так как функция f(x)непрерывна, то

Значит,

Задача9. Найти все дифференцируемые функцииf(x), если .

Решение. Пусть x=y=o,тогда

Преобразуя данное уравнение (y=h), получим .

Учитывая, что (x)),

где

Интегрируем последнее уравнение: получим:

Так как f(0)=0, то f(x)=tgCx.

Задача10. Решить уравнение

Решение.Выполним следующие действия:

1. Замена

2. Выражение х подставляем в данное уравнение:

1. Заменимz через :

2. Таким образом, получаем два уравнения:

и,

1. Умножая первое уравнение на (-2), сложим со вторым уравнением:

Тогда получим: . Значит, искомая функция есть:

Задача11. При положительных значении переменныхx и y для функции f(x) имеет место равенство f(xy)=f(x)+f(y). Если

Решение. По условию

Для всех положительных х выполняется равенство:

Задача 12. При всех рациональных значениях x и yфункцияf(x)удовлетворяет условию

.

Решение.По условию

и

Задача 13. Дана функция Решить неравенство

Решение.

примет вид:

Так как неравенство имеет место при всех действительных значениях то решением последнего неравенства будет промежуток

Задача 11. Пусть . Решить неравенство

Решение.

Если

Обозначим

Таким образом, можно сформулировать следующие методы и приемы решения функциональных уравнений и неравенств:

– использовать непрерывность функций, монотонность, периодичность,

– нули функции или метод неподвижных точек;

– дифференциальный метод, метод перехода на предельный;

– метод разницы;

– метод применительно к функционально заданным свойствам неизвестной функции;

– метод математической индукции;

– способность принимать большие или малые значения функции в какой-либо точке;

– метод рекурентных ошибок;

– метод замены переменных или выражений относительно аргумента;

– метод записи функции в виде суммирования четных и нечетных функций.

Функциональные уравнения часто встречаются при решении множества прикладных задач, при составлении расписания занятий, в системе управления ракетами и других практических задачах. Также решение функциональных уравнений и неравенств рекомендуется на Олимпиадах для школьников и студентов. От учащихся требуется во всякой конкретной задаче отвлечься от несущественных деталей и увидеть в ней общее функциональное содержание: найти реальные области изменения величин, выяснить характер их зависимости. Решение таких задач воспитывает:

- умение схематизировать;

- развивает интуицию;

- прививает навыки дедуктивного мышления;

- развивает творческие исследовательские способности

Иначе говоря, способствует развитию математической культуры, играет большую роль для развития личности учащихся. То есть имеет большое педагогическое значение.

Список литературы 1. Груденов Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики» Книга для учащихся. М.: «Просвещение», 1988. 2. Потапов М.К., Александров В.В., Пасиченко П.И. Лекции по алгебре и элементарным функциям. Изд. Москва МТУ, 1978. 3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. – Книга для учащихся старших классов средней школы. М.: «Просвещение», 1987. 4. Гусев В.А., Мордович А.Г. Математика. Справочные материалы. – Книга для учащихся. М.: «Просвещение», 1990.. 5. Кравцов С.В., Макаров Б.Н. и др. Методы решения задач по алгебре. Экзамен «Оникс 21 век». М., 2001.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/541274-metodicheskie-rekomendacii-po-resheniju-funkc