Программа элективного курса для учащихся 9-х классов Тема: «Квадратный трехчлен в заданиях с параметром»

Муниципальное автономное образовательное учреждение

«Средняя образовательная школа № 14»

П Р О Г Р А М М А

элективного курса для учащихся 9-х классов

Тема: «Квадратный трехчлен в заданиях с параметром»

Разработала

учитель математики

Даровских Ирина Михайловна

г. Владимир – 2014г.

Пояснительная записка

Курс рассчитан на 18 часов и посвящен решению квадратных уравнений и неравенств 2-й степени, содержащих параметр. Занятия курса целесообразно проводить после изучения темы «Квадратичная функция». Содержание курса, с одной стороны, соответствует познавательным возможностям девятиклассников, а с другой, предоставляет учащимся возможность работать на уровне повышенных требований, развивает их учебную мотивацию и повышает вероятность того, что выпускники после 9 класса сделают осознанный и успешный выбор профессии, связанной с математикой.

Задачи с параметром относятся к наиболее трудным заданиям, которые предлагаются на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, на централизованном тестировании и едином государственном экзамене. Это связано с тем, что они требуют глубокого понимания свойств функций и их решение носит творческий, исследовательский характер.

Девятиклассники хорошо знают и осознанно понимают свойства квадратичной функции, поэтому на заданиях с квадратным трехчленом она знакомятся с различными видами заданий с параметром, разными способами их решения.

При изучении курса учащиеся повторяют основные факты и понятия базового курса алгебры: теорию множеств, решение систем линейных неравенств, решение квадратных уравнений и неравенств 2-й степени, теорему Виета.

Задачи, рассматриваемые в данном курсе, интересны и не просты в решении, что позволяет повысить учебную мотивацию учащихся и проверить учащимся свои способности к математике. Вместе с тем, содержание курса позволяет ученику любого уровня активно включиться в учебно-познавательный процесс и максимально проявить себя.

Изучение курса позволит учащимся успешно подготовиться к выпускному экзамену по алгебре, научиться проводить исследование при выполнении заданий, используя методы анализа и синтеза, повысит логическую культуру учащихся.

Цели курса:

научить учащихся решать квадратные уравнения и неравенства 2-й степени с параметром в различных постановках вопросов к ним;

создать условия для формирования и развития у учащихся интереса к изучению математики, умения самостоятельно приобретать и применять знания;

развивать творческие способности учащихся, научить их анализировать, обобщать, исследовать.

Тематический план курса

Содержание курса

Тема 1. Задачи на существование корней квадратного трехчлена. Теорема Виета – 5 часов.

Повторение теоретических вопросов (условия существования корней, теорема Виета, решение уравнений 2-й степени). Решение задач на существование корней квадратного уравнения, удовлетворяющих определенным условиям (количество корней, знаки корней).

Тема 2. Взаимное расположение корней квадратного трехчлена – 4 часа.

Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена на координатной прямой. Задачи на расположение корней относительно заданной точки. Задачи на расположение корней квадратного трехчлена относительно заданного отрезка.

Тема 3. Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов –

3 часа.

Задачи по теме: «Взаимное расположение корней двух квадратных трехчленов».

Тема 4.Уравнения, неравенства, системы с параметром. Графическая интерпретация – 3 часа.

Решение уравнений, неравенств и систем с параметром через построение графиков в одной системе координат.

Тема 5. Задачи на максимум-минимум – 3 часа.

Задачи с параметром на нахождение наибольшего (наименьшего) значения функции (выражения).

I. Квадратное уравнение и его корни

Квадратным уравнением называется уравнение вида ах²+bх+с=0, где х-переменная, а, b, с - некоторые числа, а0. В зависимости от дискриминанта D=b²-4ac квадратное уравнение может иметь два корня (D>0), один корень (D=0) и не иметь корней (D<0). При D>0 корни уравнения могут быть найдены по формуле

х_1,2=

2а

Если в квадратном уравнении коэффициент b заменить на 2к, то формулу корней квадратного уравнения можно записать в другом виде:

-

х_1,2=

а

Квадратное уравнение, у которого а=1, называют приведенным и записывают в виде х²+рх+q=0. О квадратном уравнении, имеющем единственный корень, иногда говорят, что оно имеет корень двойной кратности или оно имеет два равных корня.

Примеры.

При каких значенияхm ровно один из корней уравнения равен 0:

а) 3х²+х+2m-3=0

б) х²-2х+m-1=0

в) x²+(m+3)x+m-3=0

При каких значениях а корни уравнения равны по модулю, но противоположны по знаку:

а) х²+(3а-5)х=2

б)2х²-(5а-3)х+1=0

в)4х²+(5а-1)х+3а+а=0

При каких значениях к оба корня уравнения равны 0:

а)3х²+(к-1)х+1-к=0

б)х²-(3к+4к)х+9к-16=0

в)х²+(16-к)х+к+8=0

4. Найти корни квадратного уравнения ах² + bх + с = 0, если

а) а + b + с = 0; б) а – b + с = 0.

Указание к решению: а) надо использовать то, что х = 1 является корнем данного уравнения .

5. При каком значении а уравнения х² + ах + 1= 0 и х² + х + а = 0 имеют общий корень? Ответ:а = -2.

6. Доказать, что при любом значении а уравнение ( а - 3 ) х² + (а + 2) х + 1 = 0 имеет два корня.

Теорема Виета

Зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения выражает теорема Виета, получившее своё название по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета.

Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах²+bх+с=0, тогда х₁+х₂=-b/a, х₁х₂=c/a. Для приведённого квадратного уравнения х²+рх+q=0, если х₁ и х₂ – корни этого уравнения, то х₁+х₂=-p, x₁x₂=q.

Справедливо утверждение, обратное теореме Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна –р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х²+рх+q=0.

Примеры:

1. Не вычисляя корней уравнения 3х²+8х-1=0 найти:

а) х₁²+х₂² б)х₁х₂³+х₂х₁³

в)х₁/х₂+х₂/х₁ г)х₁⁴+х₂⁴.

Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения 2х²-7х-3=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х₁-2 и х₂-2 б) 2х₁+3 и 2х₂+3

в)1/x₁и 1/x₂ г) х₁+1/х₂ и х₂+1/x₁

3. При каком значении параметра а один из корней уравнения х²-3,75х+а=0 является квадратом другого? Ответ: -125/8; 27/8.

4. При каком значении параметра а один из корней уравнения х²-(3а+2)х+а²=0 в девять раз больше другого? Ответ: -6/19; 6.

Корни х₁ и х₂ уравнения х²+рх+12=0 обладают свойством х₂-х₁=1. Найти р.

Ответ:  7.

6. При каком значении параметра а уравнение х²+(а²+а-2)х+а=0 имеет корни, сумма которых равна 0? Ответ:- 2.

7. При каком значении параметра а уравнение (а-1)х²+(2а+3)х+2+а=0 имеет корни одного знака?

Ответ: [- 2,125; -2)  (1;+).

8. При каком значении параметра а корни уравнения ах²+(2а-1)х+а-2=0 отрицательны и их сумма меньше –5?

Ответ: [- 0,25; 0).

При каком значении параметра р корни уравнения (р-2)х²+2рх+р+4=0 разных знаков и их сумма отрицательна?

Ответ: (- 4; 0).

Существование корней квадратного уравнения

Для того чтобы квадратное уравнение ах²+bх+с=0 имело корни необходимо и достаточно чтобы дискриминант уравнения был больше или равен нулю. Как правило, в случае необходимости доказать, что заданное квадратное уравнение имеет решение, начинают с вычисления его дискриминанта, с тем чтобы затем доказать его неотрицательность. Но существуют способы, которые основываются на очевидных графических соображениях. Так, если а>0, то для доказательства того, что уравнение ах²+bx+с=0 имеет два решения, достаточно указать одну точку х₀, в которойf(x₀)=ах₀²+bx₀+c<0. Чаще всего в качестве х₀ берут 0 (даёт достаточное условие с<0), 1(условие а+b+с<0) или –1 (условие а-b+c<0).

Пример 1.

Доказать, что при любом а уравнение (а³-2а²)х²-(а³-а+2)х+а²+1=0 имеет решение.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через f(x). Сразу видно, что f(0)=a²+1>0 при любом а. Утверждение задачи будет доказано , если мы найдём х₁, для которого f(x₁)<0. Очевидно, что f(1)=-a²+a-1<0 при любом а. Легко сделать вывод, что наше уравнение всегда имеет решение

Пример 2.

При каких значениях параметра а уравнение х²-23(а-3)х+а²-3а+2=0 имеет решение? Определить знаки корней в зависимости от а.

Решение. Если а²-3а+2<0, т.е. 1<а<2, то уравнение имеет корни разных знаков. В остальных случаях или корней нет, или они одного знака. Отдельно надо рассмотреть те случаи, когда корни равны или один из них равен 0. В случае положительности дискриминанта и свободного члена на основании теоремы Виета знаки обоих корней противоположны по знаку коэффициенту при х. Значит, для того чтобы было х₁>0 и х₂>0, необходимо и достаточно выполнения неравенств:

а² –3а+2>0

а-3>0

D/4=2а²-15а+25>0 , откуда а>5.

Также рассматриваются другие случаи.

Ответ: если а<1 или 2<а<2,5, то х₁<0, х₂<0;

если а=1 или а=2, то х₁<0, х₂=0;

если 1<а<2, то х₁<0, х₂>0;

если а=2,5, то х₁=х₂<0;

если 2,5<а<5, то корней нет;

если а=5, х₁=х₂>0;

если а>5, х₁>0, х₂>0.

Пример 3.

При каких значениях параметра а уравнение а(а+3)х²+(2а+6)х-3а-9=0 имеет более одного корня?

Комментарий к решению. Данное уравнение – квадратное, если а0, а3. Квадратное уравнение имеет более одного корня, если D/4=(а+3)²-а(а+3)(-3а-9)>0

Однако решение полученного неравенства не является окончательным решением задачи. Мы должны еще рассмотреть случай, когда исходное уравнение является линейным с бесконечным множеством решений. Проверка случаев а=0 и а=-3 позволяет обнаружить, что линейное уравнение имеет бесконечное множество решений при а=-3.

Ответ: -3-1/3;0)(0;+)

Пример 4.

При каком значении параметра а уравнение (а-2)х²+(4-2а)х+3=0 имеет единственный корень?

Комментарий к решению. Если а=2, то уравнение превращается в линейное, которое не имеет корней. Если а0, то уравнение квадратное и имеет единственный корень при нулевом дискриминанте. D=а²-7а+10=0 при а=2 или а=5. Значение а=2 исключается, т.к. противоречит условию, что исходное уравнение – квадратное.

Ответ: а=5.

Пример 5.

При каком значении параметра а уравнение (а-1)х²+(а+4)х+а+7=0 имеет единственное решение?

Ответ: 1;2;-22/3.

Пример 6.

При каком значении параметра а уравнение (2а-5)х²-2(а-1)х+3=0 имеет единственное решение?

Ответ: 5/2;4.

Пример 7.

При каком значении параметра а уравнение имеет единственное решение?

( х²-(3а-1)х+2а²-2)/(х²-3х-4)=0.

Ответ:-2;0,5.

Расположение корней квадратного уравнения

Для решения задач этого пункта существует таблица (см. приложение), но нет необходимости заучивать её, надо понять принцип построения таблицы и уметь проводить необходимые рассуждения в конкретных задачах.

Пример 1.

При каком значении параметра а один корень уравнения х²-(3а+2)х+2а-1=0 больше 1, а другой меньше 1?

Решение. Решение легко получается на основании графического соображения. График функции у=х²-(3а+2)х+2а-1 представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. По условию эта парабола должна пересекать ось х, причем отрезок [х₁;х₂] должен содержать внутри себя точку 1. Следовательно, значение квадратного трехчлена х²-(3а+2)х+2а-1 при х=1 должно быть отрицательным. Это условие является необходимым и достаточным для того, чтобы выполнялось неравенство х₁<1<х₂.

Ответ: а>-2.

В общем случае для того, чтобы уравнение f(х)=ах²+вх+с=0 имело бы один корень меньше А, а другой больше А, необходимо и достаточно выполнения неравенства аf(A)<0.

Пример 2.

Найти все значения параметра а, при которых все корни уравнения (2-а)х²-3ах+2=0 больше 1/2.

Комментарий к решению. Если а = 2, то х = 2/3 (2/3 >1/2). Если а  2, то уравнение - квадратное. Введем обозначение f(x) = (2-а)х²-3ах+2, х_в=3а/2(2-а),D=а(17а-16). Тогда для выполнения условия примера необходимо и достаточно одновременное выполнение следующих условий: D0, х_в>1/2, (2-а)f(1/2)>0. Решая эту систему получим: 16/7а<2. Ответ: [16/17;2].

Пример 3.

При каких значениях параметра а уравнение (а-2)х²-2(а+3)х+4а=0 имеет 2 корня, один из которых меньше 2, а другой больше 3.

Комментарий к решению. Так как речь идет о двух корнях, то рассматриваемое уравнение должно быть квадратным, то есть а2. Рассмотрим функцию f(х)= (а-2)х²-2(а+3)х+4а, (а2). Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох один раз на интервале (-;2) и один раз на интервале (3;+). Для решения примера необходимо и достаточно решить систему неравенств:

(а-2)f(2)<0

(а-2)f(3)<0

Ответ: 2<а<5.

Пример 4.

При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х²-(3а+1)х-а-2=0 лежат в промежутке (-1;2)?

К омментарий к решению. Рассмотрим функцию f(х)= 4х²-(3а+1)х-а-2. Ее графиком является парабола, которая по условию задачи пересекает ось Ох внутри интервала (-1;2). Для выполнения условия задачи необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:

D0

-1<х_в<2

f(-1)>0

f(2)>0 Ответ: (-3/2; 12/7).

Пример 5.

Найти все значения а, при которых ровно один корень уравнения х²+2ах+3а-2=0 удовлетворяет условию х<-1.

Ответ: а=2, а<1.

Пример 6.

Найти все значения а, при которых уравнение х²-6х+а=0 имеет два различных действительных корня, из которых только один принадлежит интервалу (1;7).

Ответ: -7<a5.

Пример 7.

Найти все значения а, при которых все корни уравнения х²+х+а=0 больше а.

Ответ: а<-2.

Решение квадратных уравнений с параметром

Решить уравнение с параметром – это значит установить соответствие, с помощью которого для каждого значения параметра указывается множество корней соответствующего уравнения.

Пример 1.

Решить уравнение х²-вх+4=0.

Комментарий к решению. Дискриминант уравненияD=в²-16. Найдя промежутки знакопостоянства дискриминанта, получим ответ: если в<-4 или в>4, то х=(вв²-16)/2; если в=4, то х=в/2;если –4<b<4, то корней нет.

Пример 2.

Решить уравнение (а-2)х²-2ах+2а-3=0.

Комментарий к решению. Рассмотрим два случая: а=2 и а2. В первом случае исходное уравнение принимает вид –4х+1=0. Это линейное уравнение с одним корнем х=0,25. Во втором случае получим квадратное уравнение с дискриминантомD=-4(a-1)(a-6). Найдём промежутки знакопостоянства дискриминанта и его нулевые точки.

В результате решения получаем ответ:

если а<1, то корней нет;

если а=1, то х=-1;

если 1<a<2, то х_1,2=(а(1-а)(а-6))/(a-2);

если а=2, то х=0,25;

если 2<a<6, то х_1,2=(а(1-а)(а-6))/(a-2);

если а=6, то х=1,5;

если а>6, то корней нет.

Пример 3.

Решить уравнение (2а-1)х²-(3а+1)х+а-1=0.

Ответ: если а=0,5, то х=-0,2;

если –9-84<a<-9+84, то корней нет;

если а-9-84 или –9+84а<0,5 или а >0,5

то х=(3а+1+а²+18а-3)/(2а-1)

Пример 4.

Решить уравнение ах²-(1-2а)х+2-а=0.

Ответ: если а=0, то х=-2;

если а<-0,25, то корней нет;

если а=-0,25, то х=-3;

если –0,25<а<0 или а > 0, то х_1,2=(1-2а4а+1)/2а.

Пример 5.

Решить уравнение (х²-5х+6)/(х-а)=0

Ответ: если а=2, то х=3;

если а=3, то х=2;

если а2,а3, то х=2 или х=3.

Разные задачи

Пример 1.

Найти все значения а, при которых уравнения ах²+(3+4а)х+2а²+4а+3=0 имеет только целые корни.

Решение. Пусть а=0, тогда из уравнения следует, что 3х+3=0, х=-1. Поэтому а=0 удовлетворяет условию задачи. Пусть а0, тогда уравнение равносильно уравнению х²+(4+3/а)х +2а+4+3/а=0. Если х₁ и х₂ – целые корни нового уравнения, то -4-3/а и 2а+4+3/а – целые числа (теорема Виета), откуда следует, что их сумма, то есть 2а – целое число. Пусть 2а=n, где nZ, тогда а=n/2, 3/а=6/n, причем 6/n – целое число, то есть n может принимать значения из чисел 1; 2; 3; 6. Проверка показывает, что только при n=-1 и n=3 все корни исходного уравнения являются целыми числами. Ответ: 0; -1/2; 3/2.

Пример 2.

Найти все значения а, при которых уравнение х²+(а+2)х+1-а=0 имеет 2 действительных корня х₁ и х₂ такие, что х₁х₂<0, |х₁|<4, |х₂|<4.

Решение. Обозначим f(х)= х²+(а+2)х+1-а и заметим, что если условия задачи выполняются, то f(-4)>0,f(4)>0, f(0)>0. Получили систему:

9-5а>0

3а+25>0

1-а<0Решая систему, получаем 1<а<9/5. Ответ:1<а<9/5.

Пример 3.

Сколько корней меньше 1 имеет уравнение (1+а)х²-3ах+4а=0 в зависимости от а?

Ответ: если –1<а0,5, то один корень меньше 1;

если –0,5<а0, то оба корня меньше 1;

при других а таких корней нет.

Пример 4.

Сколько корней в зависимости от а имеет уравнение:

ах²+х-1=0

Ответ: еслиа<-1/4, то два корня;

если а=-1/4, то три корня;

если –1/4<а<0, то четыре корня;

если а=0, то один корень;

если а>0, то корней нет.

х²+ах-2=0

Ответ: если а<-8, то четыре корня;

если а=-8, то три корня;

если –8<а<0, то два корня;

если а=0. то один корень;

если а>0, то корней нет.

х²+2х-а=5

Ответ :если а<-3 или а>3, то корней нет;

если а=3, то один корень;

если –3<а<3, то два корня.

Задачи к зачёту

При каких значениях параметра р ровно один из корней уравнения 2х²-рх+2р²-3р=0 равен нулю?

Ответ: р=1,5.

При каком значении параметра р корни уравнения 3х²+(р²-4р)х+р-1=0 равны по модулю, но противоположны по знаку?

Ответ: р=0.

При каком значении параметра а оба корня уравнения 2х²+(3а²-а)х-а³-3а=0 равны нулю?

Ответ: а=0.

Не вычисляя корней уравнения 2х²-5х-4=0 найти:

а) 1/х²₁+1/х²₂;

б) х₁х₂⁴+х₂х₁⁴;

в) х₁/x₂³+x₂/x₁³.

Пусть х₁ и х₂ – корни уравнения 4х²-6х-1=0. Составить квадратное уравнение, корнями которого являются числа:

а) х₁х₂²и х₂х₁²;

б) 1/х²₁ и 1/х²₂;

в) х₁/х₂+1 и х₂/х₁+1;

В уравнении 5х²-ах+1=0 определить а так, чтобы разность корней равнялась единице.

Ответ: 5.

При каких значениях параметра а отношение корней уравнения х²-(а+3)х+6=0 равно 1,5?

Ответ: –8 ; 2.

При каких значениях параметра а сумма корней уравнения (2а+1)х²+(а+1)х+а=0 положительна?

Ответ:[-1/7;1/2)

При каких значениях параметра а корни уравнения (а+1)х²+(2-а)х+а+6=0 положительны?

Ответ: [-10 ; -6)

При каких значениях параметра а корни уравнения (а-1)х²+(2а+3)х+2+а=0 имеют одинаковые знаки?

Ответ: [-2,125 ; -2)  (1;+).

При каких значениях параметра а оба корня уравнения 4х²+(3а+4)х-3=0 лежат в промежутке (-2 ; 1).?

Ответ: (-5/2 ; 5/7).

При каких значениях параметра а уравнение (а-1)х²=(а+1)х-а имеет единственное решение, удовлетворяющее условию 0<х<3?

Ответ: (0;12/7); 1+23/3.

13. Решить уравнения при всех значениях параметра:

а) ах²-6х+1=0;

б) ах²=4;

в) х²-ах=0;

г) ах²+8=2х²+4а.

Решить уравнение (а-1)х²+2(2а+1)х+(4а+3)=0.

Ответ: если а<-4/5, то корней нет;

если а=1, то х=-7/6,

если а-4/5 и а1, то х_1,2=(-(2а+1)5а+4)/(a-1).

При каких значениях параметра а уравнение (а²-6а+8)х²+(а²-4)х+(10-3а-а²)=0 имеет более двух корней?

Ответ: а=2.

Литература

Балаян Э.Н. Репетитор по математике. - Ростов-на-Дону: Феникс, 2012.

Горнштейн П.И. Задачи с параметрами. - Москва-Харьков: Илекса, «Гимназия», 2009.

Доброва О.Н. Задания по алгебре и математическому анализу.- М.: Просвещение, 2010.

Ершова А.П. Алгебра. Самостоятельные и контрольные работы: 9 класс. – М., 2013.

Игудисман О.С. математика на устном экзамене. Московский лицей. – М., 1997.

Крамор В.С. Примеры с параметрами и их решения. – М., 2007.

Шарыгин И.Ф. Факультативный курс по математике: 10 класс. Решение задач. – М.: Просвещение, 1989.

Тесты централизованного тестирования.

КИМы ЕГЭ 2010-2014

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/54144-programma-jelektivnogo-kursa-dlja-uchaschihsj