Индивидуальны проект обучающегося «Турбогранники»

Индивидуальный итоговый проект

Тема

Трубогранники

Волощук Вадим,

учащийся 10 класса

МБ НОУ «Гимназия № 70», Центральный городской округ

Научный руководитель:

Блинова Анна Викторовна,

учитель математики

Новокузнецк, 2021

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. Введение

1.1. Актуальность 2

1.2. Объект исследования 2

1.3. Гипотеза 2

1.4. Цель 2

1.5. Задачи 3

1.6. Методы исследования 3

2.Теоретическая часть

2.1. Многогранники 3

2.2. Виды многогранников 5

2.3. Свойства выпуклых многогранников 7

2.3.1. Сумма углов выпуклого многогранника 7

2.3.2. Теорема Эйлера 8

3. Практическая часть 10

4. Выводы 12

6.Литература и источники информации 12

7. Приложения. 13

Введение

Многие школьники говорят, что геометрия- это трудно, скучно, не интересно. А можно ли сделать изучение геометрии увлекательным и понятным процессом? Почему в раннем детстве все мы играли кубиками, пирамидками, с интересом разглядывали мамины и бабушкины серьги и кольца с камушками. Придя в школу, с удивлением узнали, что держали в руках правильные многогранники, а камушки не что иное, как октаэдры. Но как только эти многогранники «приходят» на урок геометрии почему- то становится трудно и скучно. У нас было не так! На занятиях по технологии мы научились моделировать многогранники из бумаги и трубочек. Но при моделировании многогранников у нас возникла проблема тогда, когда мы начали моделировать многогранник с шестигранными углами при вершине. У нас ничего не получилось! Пробовали сконструировать такой же многогранник из трубочек и опять потерпели поражение. Поэтому возникла необходимость больше узнать о многогранниках. В своей работе я решил изучить виды и свойства многогранников, а также показать способ моделирования многогранников из трубочек. В процессе работы появилось много вопросов и находок, о которых пойдет речь в данной работе. 

Актуальность

 Выбранная мной тема исследования имеет широкое применение в различных сферах. Многогранники интересны и сами по себе. Они имеют красивые формы. А что такое трубогранники? Это просто игрушки? Или их формы находят широкое применение? Оказалось, что вокруг множество трубогранников. Они и в конструкциях сложных и красивых многогранных поверхностей, которые используются в реальных архитектурных проектах, и в живом окружающем нас мире. Встреча человека с этими объектами состоялась в глубокой древности. Не случайно говорят, что пирамида Хеопса – немой трактат по геометрии, а греческая архитектура – внешнее выражение геометрии Евклида. Прошли века, но интерес человека к исследованию геометрических форм и потребности в их практическом применении не изменились.

Важные математические свойства и сильное эстетическое начало многогранников заставляют представителей разных сфер деятельности изучать их. Выполнение моделей многогранников - очень увлекательное занятие, «магии превращения» листа бумаги или горсти трубочек в объемную игрушку. С самого начала выполнения исследования хотелось рассмотреть вопросы за рамками школьного курса. Поэтому, объектами исследования были выбраны трубогранники.

Гипотеза: геометрические игрушки помогают учащимся легче и быстрее воспринимать и запоминать информацию, так как больше соответствуют психологическим особенностям школьников.

Цель работы заключается в создании моделей трубогранников, которые облегчат изучение вопросов школьной программы применительно к различным предметам.

Для реализации поставленной цели были выдвинуты следующие задачи:

1) Собрать и анализировать литературу и информацию из интернет-источников по теме: «Трубогранники».

2) Изучить методики построения различных геометрических тел.

1. Используя полученные знания, создать продукт «трубогранники» – модели геометрических тел.

2. Ознакомить с моделями учащихся нашей гимназии и попробовать на практике проверить теорему Эйлера.

3. Провести опрос, позволяющий аудитории высказать свое мнение о продукте, и произвести его анализ.

Методы исследования: изучение информации, анализ периодической и научной литературы, эксперимент, анализ результатов, полученных в результате эксперимента.

Теоретическая часть

Многогранники

Многогранник - геометрическая фигура трехмерного пространства, поверхность которой состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называются его гранями. При этом предполагается, что никакие две соседние грани многогранника не лежат в одной плоскости. Стороны граней называются рёбрами, а концы рёбер — вершинами многогранника. Отрезок, соединяющий две вершины, не принадлежащие одной грани, называется диагональю многогранника. Сумма площадей всех многоугольников называется поверхностью многогранника,

Виды многогранников.

Многогранник называется выпуклым, если он весь лежит по одну сторону от плоскости любой грани (пирамида, прямоугольный параллелепипед, призма).

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани являются правильными многоугольниками (тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр, додекаэдр)».

Свои имена пять правильных многогранников получили в переводе с греческого языка по числу граней. Эти многогранники носят название правильные Платоновы тела – по имени древнегреческого философа Платона (ок. 428 – ок. 348 до н.э.) В древности они олицетворяли: землю, воздух, воду, солнце, космос. [4, с. 1]

▪ Тетраэдр – четырехгранник,  составлен из 4-х равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной 3-х треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 180⁰. Он символизировал огонь, т.к. его вершина устремлена вверх.

▪ Гексаэдр – шестигранник, оставлен из шести квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трёх квадратов. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 270⁰. Он символизировал землю, как самый устойчивый.

▪ Октаэдр – восьмигранник, составлен из восьми равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной 4-х треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 240⁰. Он символизировал воздух, как самый воздушный.

▪ Додекаэдр – двенадцатигранник, составлен из двенадцати правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324⁰ . Он воплощал в себе все сущее, символизировал все мироздание, считался главным.

▪ Икосаэдр – 20-тигранник, каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 300°. Он символизировалводу, т.к. он самый обтекаемый.

Полуправильные многогранники. У правильных многогранников все грани – правильные равные одноименные многоугольники и все многогранные углы равны. Но есть и такие многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани – правильные, но разноименные многоугольники. Многогранники такого типа называются равноугольно полуправильными многогранниками. 

Впервые многогранники такого типа открыл Архимед (287 – 212 гг. до н.э). Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже в честь великого ученого были названы телами Архимеда. [5]

Перечислим их: первые пять многогранников очень просто получить из пяти правильных многогранников операцией «усечения», которая состоит в отсечении плоскостями углов многогранника.

1. Усеченныйтетраэдр

2. Усеченныйгексаэдр

3. Усеченныйоктаэдр

4. Усеченныйдодекаэдр

5. Усеченныйикосаэдр

Звездчатые многогранники.

Кроме полуправильных многогранников, из правильных многогранников – Платоновых тел можно получить так называемые правильные звездчатые многогранники.

Звёздчатой формой многогранника называется многогранник, полученный путём продления граней данного многогранника через рёбра до их следующего пересечения с другими гранями по новым рёбрам. [1]  Правильные звёздчатые многогранники — это звёздчатые многогранники, гранями которых являются одинаковые правильные или звёздчатые многоугольники. В отличие от пяти классических правильных многогранников, данные многогранники не являются выпуклыми телами. Тетраэдр, куб, октаэдр не имеют звездчатых форм, додекаэдр имеет три, а икосаэдр – одну звездчатую форму.

В 1811 году Огюстен Лу Коши установил, что существуют всего 4 правильных звёздчатых тела (они называются телами Кеплера — Пуансо), которые не являются соединениями платоновых и звёздчатых тел. К ним относятся открытые в 1619 году Иоганном Кеплером малый звёздчатый додекаэдр и большой звёздчатый додекаэдр, а также большой додекаэдр и большой икосаэдр, открытые в 1809 году Луи Пуансо. Остальные правильные звёздчатые многогранники являются или соединениями платоновых тел, или соединениями тел Кеплера — Пуансо.

Свойства выпуклых многогранников

Сумма углов выпуклого многогранника

Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше 360°. [ 3]

Исследуем, какие многогранники могут получиться, если в гранях правильные треугольники, четырёхугольники, пятиугольники, шестиугольники и т.д.

1.Пусть грани правильного многогранника – правильные треугольники. Каждый угол правильного треугольника по 60^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

60n < 360 n < 6, n = 3, 4, 5, т.е. существует 3 вида правильных многогранников с треугольными гранями. Это тетраэдр, октаэдр, икосаэдр.

2.Пусть грани правильного многогранника – правильные четырехугольники - квадраты. Каждый угол квадрата по 90^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

90n < 360, n < 4, n = 3, т.е. квадратные грани может иметь лишь правильный многогранник с трехгранными углами – куб (гексаэдр)

3.Пусть грани правильного многогранника – правильные пятиугольники(пентагоны.). Каждый угол правильного пятиугольника 108^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

108 n < 360, n < 3,333, n = 3, т.е. пятиугольные грани может иметь лишь один правильный многогранник с трехгранными углами, это додекаэдр.

4.Пусть грани правильного многогранника – правильные шестиугольники (гексагоны). Каждый угол правильного шестиугольника равен 120^о. Если при вершине многогранного угла n плоских углов, то

120 n < 360, n < 3, n = 2,

В этом случае невозможен даже трехгранный угол. Значит, правильных многогранников с шестиугольными и более гранями не существует.

Звездчатые многогранники получаются из правильных и полуправильных многогранников продолжением граней или ребер. Звёздчатый многогранник у которого все многогранные углы – шестигранные невозможно моделировать, так как не существует выпуклого многогранника с шестиугольными гранями.

Теорема Эйлера

Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2

Г + В = Р + 2 или В — Р + Г= 2 (где В — число вершин выпуклого многогранника, Р — число его ребер, Г — число граней)

Эта формула, которая была подмечена уже Декартом в 1640 г., а позднее вновь открыта Эйлером в 1752 г., имя которого с тех пор она носит.

Формула Эйлера верна для любых выпуклых многогранников. [2, с. 10]

Трубогранники — это каркасные модели многогранников, сделанные из трубочек. Трубочки соединяются между собой леской.

Практическая часть

Моделирование трубогранников

Посмотреть внутрь многогранников можно изготовив каркасы этих многогранников (трубогранники). Оказалось, что внутри каждого нашего многогранника находится тела Платона или тела Архимеда. Процесс создания трубогранников отлично развивает пространственное воображение и мелкую моторику рук. По примеру этих выпуклых многогранников, можно смоделировать множество других многогранников. [6]

1. Тетраэдр – состоит из 6 ребер.

1.Соединяем 3 трубочки так, чтобы они образовали треугольник.

2.К одной из трубочек присоединяем ещё 2 трубочки, чтобы образовался второй треугольник.

3.Соединяем последнюю трубочку и формируем тетраэдр.

2. Гексаэдр – состоит из 12 ребер.

1.Соединяем 4 трубочки так, чтобы они образовали квадрат.

2. К одной из трубочек присоединяем ещё 3 трубочки.

3. Повторяем 2 пункт.

4.Соединяем две оставшиеся трубочки и формируем гексаэдр.

3.Октаэдр - состоит из 12 ребер.

1.Соединяем 3 трубочки так, чтобы они образовали треугольник.

2.К одной из трубочек присоединяем ещё 2 трубочки, чтобы образовался второй треугольник.

3.Повторяем 2 пункт.

4.Присоединяем ещё одну трубочку, тем самым образовываем четвёртый треугольник.

5.Повторяем 2 пункт.

6. Соединяем две оставшиеся трубочки и формируем октаэдр.

4.Додекаэдр – состоит из 30 ребер.

1.Соединяем 5 трубочек так, чтобы они образовывали пятиугольник.

2.К каждой паре трубочек присоединяем ещё по 1 трубочке.

3.Добавляем ещё 2 трубочки, чтобы получился второй пятиугольник.

4. Продолжаем присоединять трубочки к другим граням пятиугольника.

5.Добавляем по 3 трубочке к каждой из пяти образовавшихся пар трубочек.

6.Присоединяем последние 5 трубочек, соединяя их между собой и замыкая фигуру в шар.

5.Икосаэдр – состоит из 30 ребер.

1.Соединяем 3 трубочки так, чтобы образовался треугольник.

2.К одной из этих трубочек присоединяем ещё 2 трубочки, чтобы образовать второй треугольник.

3.Присоединяем ещё 2 трубочки для третьего и четвёртого треугольника.

4.Добавляем ещё 1 трубочку, и образуем пятый треугольник.

5.К одному из модулей добавляем 2 трубочки, чтобы снова образовался треугольник.

6. Продолжаем присоединять трубочки, пока не получим трубогранник - икосаэдр.

Работа с моделями.

Итак, мы создали модели трубогранников, далее предстояло проверить нашу гипотезу о том, что геометрические игрушки помогают учащимся легче и быстрее воспринимать и запоминать информацию.

На уроке геометрии в 9 А классе мы провели практическую работу и с помощью наших моделей экспериментально подтвердили теорему Эйлера. Обращаем внимание, что ребята не изучали стереометрию и представление о многогранниках имеют лишь в общих чертах. Кроме того, затруднение вызвали и изображения геометрических тел на бумаге. Обсуждать свойства фигур в пространстве вначале было очень сложно. Многие путали термины «грань», «ребро». Но изучая любые многогранники, естественнее всего подсчитать, сколько у них граней, сколько рёбер и вершин. Мы предложили половине класса посчитать число указанных элементов Платоновых тел по рисункам, а второй половине класса- с использованием моделей, результаты занести в таблицу № 1. Та часть класса, которая выполняла подсчеты с помощью моделей не допустила ошибок. Ребята, которые заполняли таблицу по рисункам, имели затруднения и допускали ошибки.

Таблица № 1 ( Правильные ответы)

Анализируя таблицу № 1, ребята искали ответ на вопрос: “Нет ли закономерности в возрастании чисел в каждом столбце?” Ответы были следующие: «По-видимому, нет. Например, в столбце “грани” казалось бы, просматривается закономерность (4 + 2 = 6, 6 + 2 = 8), но затем намеченная закономерность нарушается (8 + 2 = 12?, 12 + 2 = 20?). В столбце “вершины” нет даже стабильного возрастания. Число вершин то возрастает (от 4 до 8, от 6 до 20), а то и убывает (от 8 до 6, от 20 до 12). В столбце “рёбра” закономерности тоже не видно».

Тогда мы предложили рассмотреть сумму чисел в двух столбцах, хотя бы в столбцах “грани” и “вершины” (Г + В), и составить новую таблицу своих подсчётов

Таблица № 2 (Правильные ответы)

Во второй таблице многие сразу заметили закономерность.

В итоге экспериментально на уроке ребята, не изучавшие стереометрии, получили теорему Эйлера: Сумма числа граней и вершин равна числу рёбер, увеличенному на 2. Г + В = Р + 2 или  В - Р + Г = 2 (где В — число вершин выпуклого многогранника,Р — число его ребер, Г — число граней)

Далее нами был проведен опрос среди обучающихся, включающий следующие вопросы:

1. Испытываете ли вы трудности при изучении геометрии?

2. Что вызывает наибольшие затруднения?

3. Что является причиной возникновения подобных трудностей?

4. Каким образом можно привлечь интерес к изучению математики?

5. Облегчили модели изучение свойств многогранников?

6. Изменилось ли ваше отношение к урокам геометрии?

На первый вопрос, направленный на выявление наличия сложностей, возникающих при освоении программы по геометрии, 83% респондентов ответили, что регулярноиспытывают трудности. Отвечая на второй вопрос, они отметили, что наибольшие затруднения происходят, когда нужно применить теоретические знания на практике, в частности при изучении геометрии.

Анализируя ответы на третий вопрос, мы выявили следующие причины возникновения этих трудностей: отсутствие осознания практической значимости математики и возможности использовать ее в жизни, неспособность учащихся применять полученные на уроке знания при самостоятельной работе, незаинтересованность в изучении математики.

На четвертый вопрос большинство обучающихся ответили, что привлечь интерес к изучению математики можно с помощью игр, тематических уроков и применения различных способов ее преподнесения.

Таким образом, нами была выявлена проблема: как убедить учащихся в практической значимости математики и необходимости изучения математических понятий, а также облегчить процесс их восприятия?

Большинство положительных ответов на вопросы 5,6 позволяют утверждать, что решить эту проблему можно, представив математические понятия в интересном и доступном виде, а также связав их с окружающими нас предметами и явлениями. Как известно, основным средством исследования в естественных науках является математическое моделирование. Поэтому применение моделей наиболее наглядно убеждает в практической значимости математики в жизни, повышает интерес к геометрии, облегчает усвоение сложного материала.

Выводы

«Мышление начинается с удивления» - заметил 2500 лет назад Аристотель. Сухомлинский считал, что «Чувство удивления – могучий источник желания знать: от удивления к знаниям – один шаг». А математика замечательный предмет для удивления. Именно это мы попытались показать, изучая тему «многогранники». В наш век интернета школьников сложно чем-либо удивить, но это не значит, что не осталось место для радости от познания или открытия. Обучение должно вызывать удовольствие. Математику надо рассматривать не как систему истин, которые надо заучивать, а как систему рассуждений, требующую творческого мышления.

В ходе нашего исследования мы на практикеубедились:

1. ученикам проще запоминать информацию, используя наши модели, потому что она помогает наглядно увидеть связь между объектами.

2. с помощью изготовленных моделей, обучение проходит интересно, работа с моделями является действенным подкреплением познавательному мотиву, способствует активности мыслительной деятельности, повышает концентрацию внимания, настойчивость, работоспособность, создаёт дополнительные условия для появления радости, удовлетворённости, чувства коллективизма;

3. модели можно использовать не только на этапе изучения материала, но и для контроля знаний, а также с целью обобщения и систематизации знаний;

4. благодаря такой разработке, которая опирается на зрительное восприятие в сочетании с тактильными ощущениями, уменьшаются затруднения при изображени пространственных фигур на бумаге (выполнение стереометрических рисунков);

5. применение моделей возможно на различных уроках (например, уроки технологии, черчения) и для различных возрастных категорий учащихся, кроме того, школьники старших классов на уроках стереометрии могут изготовлять эти модели не только с целью изучения геометрических тел, но и для дальнейшего использования их младшими школьниками.

В дальнейшем я планирую продолжить работу по созданию моделей многогранников. Моделировать многогранники можно еще с помощью разверток. Необходимо изучить принципы создания разверток для многогранников и научиться создавать развертки для звездчатых многогранников. Представляется интересным создание различных видов разверток многогранников с помощью компьютерных технологий. Навыки моделирования, работы с чертежами необходимы в моей дальнейшей профессии- инженера.

Литература и источники информации:

1. https://my-1-2.jimdofree.com/звёздчатые-многогранники/ -

2. М. Веннинджер "Модели многогранников", 1974 -

3. https://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/mnogogranniki-11037/pravilnye-mnogogranniki\ -

4. Геометрия. 10-11 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений — Л. С. Атанасян, 2020

5. https://e-koncept.ru/2015/65341.htm -

6. https://www.youtube.com/playlist?list=PLHjq5NX8F3X20jPU1ataZ450Dxtwu0rVQ

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/546029-individualny-proekt-obuchajuschegosja-turbogr