Задачи для решения

Задание 1. Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что начинать игру должен будет Леша.

Решение: Элементарное событие в этом эксперименте – участник, который выиграл жребий. Перечисляем их:

(Вася), (Петя), (Коля), (Леша)

Общее число элементарных исходов N равно 4.

Событию А={жребий пал на Лешу} благоприятствует только одно элементарное событие (Леша). Поэтому N(A)=1. Тогда 

Ответ: 0,25.

Задание 2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно 1 раз.

Решение: Орел обозначим буквой О. Решку – буквой Р. В описанном эксперименте могут быть следующие равновозможные элементарные исходы:

ОО, ОР, РО и РР.

Значит, N=4.

Событию А = {выпала ровно одна решка} благоприятствуют элементарные события ОР и РО. Поэтому N(A)=2. Тогда

Ответ: 0,5.

Задание 3. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 6 очков.

Решение: Элементарный исход в этом опыте – пара чисел. Первое число выпадает на первой кости, а второе – на второй. Множество элементарных исходов удобно представить таблицей. Строки соответствуют результату первого броска, столбцы – результату второго броска. Всего элементарных событий N=6²=36.

Поставим * в ячейках, где сумма равна 6. Таких ячеек 5. Значит, событию А = {сумма очков равна 6} благоприятствует 5 элементарных исходов, т.е N(A)=5. Поэтому,

Ответ:  .

Задание 4. В случайном эксперименте бросают три игральные кости. Найти вероятность того, что в сумме выпадет 7 очков. Результат округлите до сотых.

Решение:

Для начала подсчитаем общее количество возможных комбинаций, которые могут выпасть. Согласно условию задачи дано 3 игральные кости, каждая из них имеет 6 граней, поэтому число всех комбинаций равно: 6³= 216.

Теперь нужно подсчитать количество комбинаций, в которых выпадет ровно 7 очков. Перечислим их: 115, 124, 133, 142, 151,

214, 223, 232, 241,

313, 322, 331,

412, 421,

511.

Всего таких комбинаций получилось 15.

Осталось лишь подсчитать вероятность выпадения одной из этих комбинаций. Для этого нужно поделить количество интересующих исходов на количество всех возможных исходов:

P =  = 0.0694444... ≈ 0.07.

Ответ: 0,07.

Задание 5. Аня и Яна играют в кости. Они бросают кость по одному разу. Выигрывает тот, кто выбросил больше очков. Ничья, если очков поровну. Аня выкинула 3 очка. Затем кубик бросает Яна. Найти вероятность того, что Яна выиграет.

Решение:

Чтобы проще было найти благоприятное и общее число исходов составим таблицу

Общее число исходов 6, а число благоприятных исходов – 3.

Тогда Р=3/6=0,5.

Ответ: 0,5.

В следующих задачах явно выписывать все элементарные исходы сложно, но достаточно легко подсчитать их количество.

Задание 6. В группе туристов 8 человек. С помощью жребия они выбирают шестерых человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт 
в магазин?

Решение:

Воспользуемся классическим определением вероятности. Всего туристов 8, случайным образом из них выбирают 6. Вероятность быть выбранным равна  .

Ответ: 0,75.

Задание 7. В группе туристов 300 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 15 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист В. полетит первым рейсом вертолёта.

Решение:

На пер­вом рейсе 15 мест, всего мест 300. Тогда ве­ро­ят­ность того, что ту­рист В. по­ле­тит первым рей­сом вертолёта, равна: Р=15/300=0,05.

Ответ: 0,05.

Задание 8. В коробке вперемешку лежат чайные пакетики с чёрным и зелёным чаем, одинаковые на вид, причём пакетиков с чёрным чаем в 4 раза больше, чем пакетиков с зелёным. Найдите вероятность того, что случайно выбранный из этой коробки пакетик окажется пакетиком с зелёным чаем.

Решение:

Пусть количество пакетиков с зеленым чаем равно x, тогда пакетиков с черным чаем 4x, а всего 5x. Значит, вероятность того, что слу­чай­но выбранный пакетик ока­жет­ся пакетиком с зелёным чаем равно  

Ответ: 0,2.

Задание 9. В кармане у Дани было пять конфет — «Ласточка», «Взлётная», «Василёк», «Грильяж» и «Гусиные лапки», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Даня случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что упала конфета «Взлётная».

Решение:

В кармане было 5 конфет, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события  .

Ответ: 0,2.

 Задание 10.. Механические часы с двенадцатичасовым циферблатом в какой-то момент сломались и перестали идти. Найдите вероятность того, что часовая стрелка остановилась, достигнув отметки 7, но не дойдя до отметки 1.

Решение:

Воспользуемся геометрическим определением вероятности. На циферблате между 7 и 1 часами расположено 6 деления. Всего делений 12
вероятность Р=6/12=1/2=0,5.

Ответ: 0,5.

Задание 11. В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 7 неисправны. Найти вероятность того, что один купленный аккумулятор окажется исправным.

Решение: Элементарный исход – случайно выбранный аккумулятор. Поэтому N=1000.

Событию А = {аккумулятор исправлен} благоприятствует 1000 - 7=993 исхода. Поэтому N(A)=993. Тогда

Ответ: 0,993.

Задание 12. Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится 3 сумки со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.

Решение:

Всего сумок 100+3=103.  Благоприятное число ка­че­ствен­ных сумок – 100. Зна­чит, ве­ро­ят­ность того, что куп­лен­ная сумка ока­жет­ся ка­че­ствен­ной, равна
Р=100/103≈0,97.

Ответ: 0,97.

Задание 13. Перед началом первого тура чемпионата по теннису участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвуют 16 теннисистов, среди которых 7 участников из России, в том числе и Максим Зайцев. Найти вероятность того, что в первом туре Максим Зайцев будет играть с каким-либо теннисистом их России.

Решение: Здесь исход – это соперник Максима Зайцева. Так как всего теннисистов 16, а сам с собой Максим играть не может, то имеется 16-1=15 равновероятных исходов. Благоприятный исход – соперник из России. Таких благоприятных исходов 7 – 1 =6 ( из числа россиян исключаем самого Максима). Искомая вероятность равна 

Ответ: 0,4.

Задание 14. В группе иностранных туристов 51 человек, среди них два француза. Для посещения маленького музея группу случайным образом делят на три подгруппы, одинаковые по численности. Найдите вероятность того, что французы окажутся в одной подгруппе.

Решение: В каждой подгруппе 17 человек. Присвоим французам номера – первый и второй. Будем считать, что первый француз уже занял место в какой-то подгруппе (назовем ее подгруппа А). Нужно найти вероятность того, что второй француз оказался в той же подгруппе А.

Для второго француза остается N=50 мест, из них в подгруппе А N(A)=16 мест. Размещение туристов, по условию, случайно, значит, комбинации равновозможны. Поэтому вероятность того, что второй турист попадет в подгруппу А, равна

Ответ: 0,32.

Задание 15. В классе 26 семиклассников, среди них два близнеца — Иван и Игорь. Класс случайным образом делят на две группы, по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Иван и Игорь окажутся в разных группах.

Решение:

Воспользуемся заданием 13. Найдем сначала вероятность того, что они окажутся в одной группе.  . Тогда вероятность того, что они окажутся в разных группах равна Р=1-0,48=0,52.

Ответ; 0,52.

Задание 16. Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 82 до 96 делится на 6?

Решение: Общее число элементарных исходов N=15 (количество чисел от 82 до 96). Событию А={выбранное число делится на 6} благоприятствует N(A)=3 исхода (84, 90, 96). Тогда

Ответ: 0,2.

Задание 17. На семинар приехали 4 ученых из Норвегии, 2 из Испании и 6 из Италии. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Найти вероятность того, что одиннадцатым окажется доклад ученного из Италии.

Решение: Задачи данного типа можно решить по формуле Баесса, но достаточно принять равновозможным порядок докладов и тогда вероятность не будет зависеть от того кто в какой день делает доклад.

Общее число исходов N=12. Число исходов N(A), благоприятствующих событию А={доклад ученного из Италии} равно 6.

Тогда

Ответ: 0,5.

Задание 18. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 40 докладов – первые два дня по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьими и четвертым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьевкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?

Решение:

Сначала найдем, сколько докладов запланировано на последний день. На первые два дня запланировано 12·2=24 докладов. Остаются еще 40-24=16 докладов, которые распределяются поровну между оставшимися двумя днями, поэтому в последний день запланировано 16:2=8 докладов

Будем считать исходом порядковый номер доклада профессора М. Всего таких равновозможных исходов 40. Благоприятствуют указанному событию 8 исходов ( последние 8 номеров в списке докладов). Искомая вероятность равна 

Ответ: 0,2.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/589255-zadachi-dlja-reshenija