Вариативные задачи или реализация деятельностного подхода на уроках математики

Вариативные задачи или реализация деятельностного подхода на уроках математики

В статье рассматриваются возможности вариативных задач для реализации деятельностного подхода на уроках математики. Предложена методика включения вариативных задач в процесс обучения математике.

Учитель читает задачу 5 класса: «Из пунктов А и В, расстояние между которыми 18 км, навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость одного 2 км/ч, а скорость другого 4 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?» Обычная, легкая, устная. Какова роль этой задачи в уроке? Как ее включить в учебный процесс? Решить десять «таких» задач? Зачем? Как организовать пресловутый системно-деятельностный подход при решении? Надо работать по ФГОСам…. Господи, за что это?

На самом деле, сейчас любой учитель скажет, что является методологической основой ФГОСов нового поколения, какие требования предъявляют к результатам обучения и так далее. Но на вопрос «Как работаете?» чаще отвечают «Как обычно». И по-другому быть не может. Потому что учителям (в нашем случае, учителям математики) не дали методик реализации системно-деятельностного подхода? Не объяснили, как делать по-другому, по-новому. Ученых-методистов исключили из цепочки внедрения ФГОСов в учебный процесс. Миссию по реализации замыслов разработчиков стандартов нового поколения возложили на учителей-практиков. Но без методик обучения, отвечающих современной парадигме образования, далеко не все учителя могут справиться с этой миссией.

Предлагаем преобразование задачи как одного из средств организации деятельностного подхода на уроках математики. Вернемся к задаче. И предложим учащимся, после ее решения, снять условие «навстречу друг другу». Измениться ли решение задачи? Как? Возникает ситуация – когда пешеходы идут в одном направлении. В каком? Еще две ситуации. А может быть пешеходы идут в разных направлениях? Еще одна ситуация.

1 ситуация.

2 ситуация.

? км

2 км/ч

2 ч

а

4 км/ч

2 ч

В

А

10 км

4 км

8 км

18 км

б )

3 ситуация.

? км

4 км/ч

2 ч

2 км/ч

2 ч

4 км

8 км

В

А

18 км

Решение задач сопровождается вопросами анализа и синтеза: что надо знать, чтобы найти расстояние между пешеходами? (расстояния, пройденные каждым пешеходом); как найти расстояние, пройденное первым пешеходом, вторым?

В каком случае произойдет встреча пешеходов? (В первой ситуации, во второй ситуации в первом случае.) Через сколько часов она произойдет? Это еще одна задача. Можно поварьировать условие в новой задаче: чему должно быть равно расстояние между пунктами А и В, чтобы встреча произошла через 3 часа, через 5 часов?

А можно вернуться к исходной задаче и снять другое условие «расстояние между которыми 18 км», получим задачу: «Из пунктов А и В навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость одного 2 км/ч, а скорость другого 4 км/ч. Какое расстояние будет между пешеходами через 2 часа?»

Невозможно решить задачу, не зная расстояние между пунктами. Но ведь оно может быть разным. Каким? С каким значением будем сравнивать S? С расстоянием до встречи. Чему оно равно? 12 км. Тогда рассматривает две ситуации:и .

Через обобщение приходим к последней формуле: .

В данном случае снятие условия в стандартной задаче приводит к вариативной. Основной характеристикой вариативной задачи является неоднозначное расположение объектов условия задачи, что ведет к необходимости рассмотрения нескольких ситуаций. Ярким примером вариативных задач являются задачи С4 ЕГЭ.

Отличие вариативной задачи от стандартной можно представить схематично.

Стандартная задачаВариативная задача

решения решения

Решить вариативную задачу значит рассмотреть все возможные варианты расположения объектов. Например, в задаче: «На книжной полке стоит двухтомник. Толщина страницы составляет 0,05 мм, а толщина обложки – 1 мм. В первом томе 320 страниц, а во втором – 400. Жучок прогрыз две книги от первой страницы первого тома до последней страницы второго. Какое расстояние он при этом прополз?» возможны два решения в зависимости от того, как стоят книги.

Не рассматривая различные варианты расположения искомой фигуры невозможно решить задачу: «Постройте квадрат по двум данным вершинам А(0,0);К(2,4)». Чем будет являться отрезок АК – диагональю или стороной искомого квадрата? Отвечая на подобные вопросы, ученики учатся рассматривать все возможные варианты заданной в задаче ситуации, то есть приучаются к «полноте дизъюнкции».

Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. выделяют условия, ведущие к неоднозначной трактовке геометрической задачи [1]:

1. Условие задачи не определяет взаимное расположение точек и фигур:

а) точка или принадлежит отрезку АВ, или ему не принадлежит, но лежит на прямой АВ; б) точки лежат или в одной полуплоскости относительно заданной прямой, или в разных (то же с полупространством); в) различные расположения центра описанной окружности или ортоцентра треугольника в зависимости от вида треугольника.

2. В условии задачи фигурируют две касающихся окружности, но не указан способ касания: внешний или внутренний. В задаче даны две точки, делящие окружность на две дуги, кроме того, известно, что некоторая прямая касается окружности, но не указано на какой из двух дуг лежит точка касания.

3. В задаче фигурируют объекты, которым приписываются определенные свойства, но не указан порядок соответствия между множеством объектов и множеством их свойств: а) сказано, что АВС – равнобедренный треугольник, но не сказано, какие пары сторон равны; б) точка М делит отрезок АВ на отрезки длинной а и b, при этом не уточняется, какой из них равен а, а какой b; в) известно, что угол между пересекающимися прямыми АВ и CD равен , однако, не указано, который из углов –AMD или АМС (М – точка пересечения прямых) – острый.

Возможны и другие причины возникновения вариативности. Например, при решении задачи: «Постройте треугольник по двум сторонам и углу, прилежащему к одной из них» можем получить два треугольника, удовлетворяющих требованию задачи.

Кроме того, не выделены особенности возникновения вариативности в алгебраических задачах. Например, в задачах на прогрессию очень часто получаются два ответа. Таким образом, условия вариативности задач требуют дальнейшего исследования, как и методика их включения в процесс обучения математике. Последнее предложение актуально и по той причине, что большинство задач школьных учебников имеют однозначное решение. Например, из общей массы задач из учебников геометрии под редакцией А.В. Погорелова и Л.С. Атанасяна всего порядка десятка имеют интересующую нас характеристику – несколько вариантов решения, влекущих за собой различные ответы. Поэтому постановка вариативной задачи «в лоб», после решения учащимися тысяч стандартных задач может и не принести должного обучающего эффекта.

Смоделируем этапы методики использования вариативных задач.На первых этапах введения вариативных задач лучше всего переформулировать их в многовопросные, например, задачу о квадрате сформулировать следующим образом: Постройте квадрат, если даны точки А(0,0) и К(2,4), являющиеся а) соседними вершинами квадрата; б) противоположными его вершинами. После решения рассмотреть обобщение всех случаев – вариативную задачу. Решение любой многовопросной задачи из школьных учебников должно заканчиваться формулированием вариативной задачи.

На следующем этапе необходимо показать учащимся процесс получения вариативной задачи из стандартной. Предложить учащимся составить задачу с неоднозначным ответом, решить как определенную, так и вариативную задачи. Попытки самостоятельного составления вариативных задач должны поощряться.

Последний этап предполагает включение вариативных задач в процесс обучения как одного из эффективного средства реализации деятельностного подхода.

Вариативные задачи можно использовать для организации групповой работы. Анализ условия задачи, рассмотрение различных вариантов чертежей требуют совместных усилий, а решение каждого конкретного случая можно организовать в группах.

Рассмотрим пример организации групповой работы при решении вариативной задачи: «Найдите площадь сечения куба с ребром b плоскостью, проходящей через середины смежных ребер под углом α к плоскости, определяемой данными ребрами». Конкретизируя градусную меру угла α, получим пять различных задачных ситуаций, каждую из которых решает группа учащихся.

Предлагаем задания для учителей с цель повышения их профессиональной компетентности при использовании вариативных задач.

Вопросы и задания

1. Определите условия, ведущие к неоднозначной трактовке, в следующих задачах:

1. Никакие три из точек А,В,С и D не лежат на одной прямой. Через каждые три точки проведена плоскость. Сколько различных плоскостей можно провести через данные точки?

2. Длина окружности, описанной около равнобедренного треугольника, равна . Найдите площадь этого треугольника, если основание равно 12.

3. Найдите длины сторон АВ и АС треугольника АВС, если длина стороны ВС равна 8, а длины высот, проведенных к сторонам АС и ВС, равны соответственно 6,4 и 4.

4. УголАВС равен 60⁰.АВ =ВС = а. Окружность с центром О₁ касается АВ в точке А, а окружность с центром О₂ касается ВС в точке С, кроме того, эти окружности касаются друг друга внешним образом. Найдите радиусы окружностей, если известно, что их отношение равно двум.

5. В основании пирамиды – правильный треугольник со стороной . Боковые грани пирамиды равновелики. Одно из боковых ребер равно . Найдите объем пирамиды.

Сделайте чертежи к каждому случаю. Решите задачи.

1. 1. Найдите сторону и площадь параллелограмма, если его другая сторона равна 5 см, а диагональ перпендикулярна стороне и равна 3 см. Решите предыдущую задачу для стороны 3 см и диагонали 5 см. Какая из двух задач имеет два решения?

   2. Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: 5 см и 3 см; 8см и 2 см. Какая из двух задач является вариативной?

   3. Решите задачу: «В треугольнике АВСугол А острый, длина стороны АВ равна 10 см, длина стороны АС – 20 см. Найдите длину медианы ВМ, если площадь треугольника АВС равна 96 см²». Как изменится ответ, если угол А будет тупым? Составьте вариативную задачу.

1. 2. Составьте вариативные задачи из следующих задач:

а) Найдите сторону параллелограмма, если его другая сторона равна 5 см, а диагональ перпендикулярная неизвестной стороне равна 3 см.

б) Стороны треугольника 10, 10 и 12 см. Найдите его площадь.

в) Два внешних угла треугольника при разных вершинах равны. Периметр треугольника равен 74 см, а одна из сторон равна 16 см. Найдите две другие стороны треугольника.

г) Две стороны остроугольного треугольника равны и 3 см, а площадь этого треугольника равна 3 см². Найдите третью сторону.

1. 1. Составьте из вариативной стандартную задачу:

а) Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см. Найдите стороны треугольника.

б) Решите треугольник АВС, если , , .

в) Площадь треугольника равна 100 см², а две его стороны равны 40 и 10 см. Найдите угол между этими сторонами.

Литература

1. Полонский, В.Б. Геометрия: Задачник к школьному курсу / В.Б. Полонский, Е.М. Рабинович, М.С. Якир. – М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр-S, 1998.

2. Ковалева, Г.И. Теория и методика обучения математике: конструирование систем задач / Г.И. Ковалева, Н.А. Астахова, Т.Ю. Дюмина. – Волгоград: Изд-во ВГПУ «Перемена», 2008.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/613413-variativnye-zadachi-ili-realizacija-dejatelno