Мастер класс для учителей математики: «Вопросы преподавания теории вероятности и статистики в 10 классе»

Мастер- класс для учителей математики по теме

«Преподавание теории вероятностей и статистики в 10 классе»

25.03.2024 РМО учителей математики.

Каждая эпоха представляет свои требования к математической науке и математическому образованию. Чему и как учить в школе, видимо всегда будет принадлежать к числу вечных проблем, которые постоянно возникают даже после того, как им дано решение, лучшее по сравнению с предыдущим. При изучении раздела «Вероятность и статистика» рассматриваются различные математические модели, позволяющие измерять и сравнивать вероятности различных событий, делать выводы и прогнозы. Этот материал необходим прежде всего для формирования у учащихся функциональной грамотности — умения воспринимать и критически анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей. К этому разделу относятся также сведения из логики, комбинаторики и теории графов, значительно варьирующиеся в зависимости от типа программы

Математику многие любят за ее вечные истины: дважды два всегда четыре, сумма четных чисел четна, а площадь прямоугольника равна произведению его смежных сторон. В любой задаче, которую мы решаем на уроках математики, у всех получается один и тот же ответ – нужно только не делать ошибок в решении.

Случайные события. Реальная жизнь оказывается не такой простой и однозначной.

Исходы многих явлений невозможно предсказать заранее, какой бы полной информацией мы о них не располагали. Нельзя, например, сказать наверняка, какой стороной упадет брошенная вверх монета, когда в следующем году выпадет первый снег или сколько человек в школе получат в течение сегодняшнего дня только отличные оценки.

Однако случай тоже имеет свои законы, которые начинают проявляться при многократном повторении случайных явлений.

Именно такие закономерности изучаются в специальном разделе математики: «Теория вероятности и статистика». В этом учебном году на данный учебный предмет выделен один час в учебном плане. К сожалению, приходиться работать без учебников и для подготовки к урокам добывать материал самостоятельно.

Познакомить с КТП по предмету. Вывести на экран.

Постоянно приходиться увлекать ребят данным предметом, для этого ищу интересные задачи, проблемные вопросы. Некоторыми из них хочу с вами поделиться.

Когда изучала тему: «Вероятность случайного события. И вероятности событий в опытах с равновозможными элементарными событиями».

Акцентировала внимание обучающихся на значимость темы и предлагала разгадать ребус, в котором зашифрована тема урока.

«СОБЫТИЕ»

«Вся наша жизнь состоит из испытаний и событий. Родился человек – это событие. Человек издавна пытался влиять на ход событий. В древности люди еще не умели говорить, но уже понимали, что вероятность добыть себе пищу будет выше, если охотиться сообща. Во время военных действий, полководцы знали – чтобы поразить цель нужно увеличить количество пушек. Азартные люди пытались найти путь выигрыша. Таких примеров можно приводить много».

ЗАДАЧА О ЗВЕЗДОЧЕТЕ.

Некий властелин разгневался на звездочета и повелел палачу отрубить ему голову. Однако в последний момент властелин смягчился и решил дать звездочету возможность спастись. Он взял два черных и два белых шара и предложил звездочету произвольным образом распределить их по двум урнам. Палач должен выбрать наугад одну из урн и наугад вытащить из нее шар. Если шар окажется белым, то звездочет будет помилован, а если черным, казнен. Как должен звездочет распределить шары по двум урнам, чтобы иметь наибольшее число шансов спастись?

Допустим, что звездочет положит в каждую урну по одному белому и одному черному шару.

В этом случае безразлично, к какой урне подойдет палач. Из любой урны он с вероятностью 1/2 вынет белый шар. Значит, вероятность спастись звездочету равна 1/2.

Такой же будет вероятность спастись, если звездочет положит в одну урну два белых шара, а в другую два черных.

Все решит выбор палачом той или иной урны. Палач с равной вероятностью может подойти как к «белой», так и к «черной» урне.

Лучше всего, если звездочет положит в одну урну белый шар, а в другую белый и два черных.

Если палач подойдет к первой урне, то звездочет спасется наверняка. Если же палач подойдет ко второй урне. То звездочет будет иметь вероятность спастись, равную 1/3. Так как вероятность того, что палач подойдет к той или иной урне, равна 1/2, то полная вероятность звездочету спастись может быть вычислена следующим образом: ( 1/2*1) + (1/2*1/3) = 2/3.

Если же звездочет положит в одну урну черный шар, а в другую черный и два белых.

То вероятность спастись окажется наименьшей: (1/2*0) + (1/2*2/3) = 1/3.

Итак, чтобы иметь наибольшие шансы спастись, звездочет должен избрать вариант распределения шаров по урнам, показанный на рис.2. Это есть наилучшая тактика. Наихудшая тактика отвечает варианту распределения шаров, показанному на рис.3.Разумеется, выбор наилучшей тактики не гарантирует спасения. Риск хотя и уменьшается. Но все же остается.

Изучая темы «Умножение вероятностей. Формула полной вероятности. Сложение вероятностей». Начинала с блужданий по лабиринту.

БЛУЖДЕНИЕ В ЛАБИРИНТЕ.

На рисунке изображен лабиринт, в котором хранятся сокровища и имеется западня. Неудачливые охотники за сокровищами, попадая в западню, погибают. Какова вероятность избежать западни и добраться до сокровищ?

Пройдя от входа А до пункта 1, искатель сокровищ может пойти прямо (тогда он сразу же попадет в западню) или повернуть налево (тогда он попадет в пункт 2). Будем полагать, что выбор того или иного из этих двух вариантов осуществляется с одной и той же вероятностью. т.е. с вероятностью 1/2. Попав в пункт 2, искатель сокровищ с вероятностью 1/3 выбирает далее путь либо прямо, либо направо, либо налево. Первые два пути приводят в западню. А третий приводит в пункт 3. Вероятность попасть от входа А в пункт 3 равна произведению вероятности повернуть в пункт 1 налево и вероятности повернуть в пункт 2 также налево: 1/2*1/3. Нетрудно далее сообразить, что вероятность добраться от А до пункта 4 равна 1/2*1/3*1/2=1/12, вероятность добраться от А до пункта 5 будет равна 1/2*1/3*1/2*1/3=1/36 и, наконец, вероятность попасть из А в хранилище сокровищ равна Р(+) = 1/2*1/3*1/2*1/3*1/2 = 1/72. Единственный путь внутри лабиринта от входа до сокровищ показан на рисунке штриховой линией. Он реализуется с вероятностью Р(+) = 1/72. С вероятность Р(-) = 71/72 искатель сокровищ попадет в западню. Вероятность Р(-) была определена исходя из того, что Р(+) + Р(-) = 1.

Р(-) можно вычислить и непосредственно, представив Р(-) в виде суммы Р(-) = Р1 + Р2 + Р3 +Р4 + Р5, где Р1, Р2 , Р3 , Р4 , Р5 есть произведение вероятности попасть из А в пункты 1, 2, 3, 4 или 5 и вероятности попасть из этих пунктов в западню. Р1 = 1/2. Р2 = 1/2*2/3 = 1/3. Р3 = 1/2*1/3*1/2 = 1/12 Р4 = 1/2*1/3*1/2*2/3 =1/18. Р5 = 1/2*1/3*1/2*1/3*1/2 = 1/72. Тогда нетрудно убедиться, что Р1 + Р2 + Р3 +Р4 + Р5 = 71/72.

Задачи такого содержания содержаться в ЕГЭ. ПРИМЕРЫ

Мы научились в среднем звене вычислять вероятности событий в опытах, имеющих конечное число равновозможных исходов. Д ля этого не требуется проводить никаких экспериментов - нужно только правильно посчитать количество всех возможных исходов опыта и количество исходов, благоприятных для данного события и применить формулу Лапласа: Р(А) = т/п.

Эта задача на первый взгляд, кажется, простой, но простота этой формулы обманчива. А неприятности, которые могут возникнуть при использовании данной формулы, мы рассмотрвали на следующем занятии.

Опыт (ошибка Даламбера).  Великий французский философ и математик Даламбер вошел в историю теории вероятностей со своей знаменитой ошибкой, суть которой в том, что он неверно определил равновозможность исходов в опыте всего с двумя монетами!
Подбрасываем две одинаковые монеты. Какова вероятность того, что они упадут на одну и ту же сторону?

Решение Даламбера : Опыт имеет три равновозможных исхода:

1. обе монеты упадут на «орла»;

2. обе монеты упадут на «решку»;

3. одна из монет упадет на «орла», другая на «решку».

Из них благоприятными будут два исхода. P (A) =

Правильное решение:

Опыт имеет четыре равновозможных исхода:

1) обе монеты упадут на «орла»;

2) обе монеты упадут на «решку»;

3) первая монета упадет на «орла», вторая на «решку»;

4) первая монета упадет на «решку», вторая на «орла».

Из них благоприятными будут два исхода. P (A) ==

Даламбер допустил одну из самых распространенных ошибок: он объединил два элементарных исхода в один, тем самым, сделав его не равным по вероятности оставшимся исходам. Это также важно для экзамена.

Следующий раздел, который изучается в 10 классе «Комбинаторика». В начале конечно говорим науке, её применении и важности. Следующая тема в этом разделе «Треугольник Паскаля». Проводила данный урок в форме исследования. Треугольник Паскаля для вас конечно знаком, а ребятам я его представляла и предлагала в группах выяснить, какими свойствами он обладает. Когда свойства были названы, начался процесс практического применения. Ребят очень увлекло данное занятие.

Свойства показать через презентацию. Показать бином Ньютона.

Все мы привыкли к тому, что математика, как точная наука, идет рука об руку со здравым смыслом. В ней дело делают цифры, а не слова, точные формулы, а не туманные размышления, координаты, а не относительные данные. Но ее раздел под названием теория вероятностей взорвал весь привычный шаблон. Задачи из этой области не всегда вкладываются в рамки здравого смысла и иногда противоречат формулам и вычислениям. Тем и интересней!

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/618883-master-klass-dlja-uchitelej-matematikivopros