Индивидуальный проект «Комбинаторика вокруг нас»

МУНИЦИПАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ “СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 32 С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ АНГЛИЙСКОГО ЯЗЫКА”

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ИТОГОВЫЙ ПРОЕКТ

ТЕМА

“КОМБИНАТОРИКА ВОКРУГ НАС”

Выполнил:
_______________________
обучающийся _____ класса
Наставник:

Корякина Елена Викторовна

Озерск

__________год

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ВВЕДЕНИЕ

Интерес к данной теме возник на уроке математике, когда я впервые узнал об этих задачах, то захотел узнать, где они применяются и научиться их решать. Первая задача которая мне встретилась на уроке:

ЗАДАЧА 1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из первого и второго блюд, которые может заказать посетитель.

После того как мы разобрали эту задачу, я узнал, что есть такой раздел математики – «КОМБИНАТОРИКА». Зная ее, мы сможем найти ответы на множество вопросов. Это очень интересно!

ЦЕЛЬ

Научиться решать задачи раздела «КОМБИНАТОРИКА»

ЗАДАЧИ

Изучить историю комбинаторики

Классифицировать задачи по комбинаторике по типам решения

Выяснить, как комбинаторика пригодится в жизни.

1. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Что такое комбинаторика?

В науке и на практике часто встречаются задачи, решая которые, приходиться составлять различные комбинации из конечного числа элементов и подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили названия комбинаторных задач, а раздел математики, в котором рассматриваются подобные задачи, называют комбинаторикой. Слово «комбинаторика» происходит от латинского слова combinare,которое означает «соединять, сочетать». Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии, биологии, экономике и других областях знаний.

1. ИСТОРИЯ КОМБИНАТОРИКИ

С комбинаторикой люди, оказывается, сталкивались в глубокой древности.

Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки всемирно известный немецкий учёный Готфрид Вильгельм Лейбниц. В 1666 году Лейбниц опубликовал «Рассуждения о комбинаторном искусстве». В своём сочинении Лейбниц, вводя специальные символы, термины, находит все k -сочетания из n элементов, выводит свойства сочетаний, строит таблицы сочетаний, после чего рассуждает о приложениях комбинаторики к логике, арифметике, к проблемам стихосложения и др. Мечтой Лейбница, оставшейся неосуществлённой, оставалось построение общей комбинаторной теории.

В XVIII веке к решению комбинаторных задач обращались выдающиеся математики. Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Леонарду Эйлеру. Он рассматривал задачи о разбиении чисел, о циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов. В 1713 году было опубликовано сочинение Я. Бернулли, в котором с достаточной полнотой были изложены известные к тому времени комбинаторные факты. Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит приложения во многих областях науки: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, механике сложных сооружений и т.д. Комбинаторные задачи физики, химии, биологии, экономики и других наук, которые не поддавались ранее решению из-за трудоемкости вычислений, стали успешно решаться на ЭВМ. В результате этого комбинаторные методы исследования все глубже проникают во многие разделы науки и техники. В частности, с помощью ЭВМ решена проблема четырех красок: доказано, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие две страны, имеющие общую границу, не были окрашены в один и тот же цвет.

1. СПОСОБЫ РЕШЕНИЯ

1. Дерево возможных вариантов

Самые разные комбинаторные задачи решаются с помощью составления специальных схем. Внешне такая схема напоминает дерево, отсюда и название метода - дерево возможных вариантов.

ЗАДАЧА 1. У Ирины пять подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Светлана. Она решила двух из них пригласить в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?

РЕШЕНИЕ. Построим дерево возможных вариантов.

Ответ: всего 10 вариантов.

1. Перестановки

Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества являются перестановки.

Два элемента a и b могут быть выписаны в строчку всего двумя способами: ab и ba. Для трёх элементов, существует 6 вариантов. Посчитаем и число перестановок для 4 элементов: 1234, 1243, 1324, 1342, 1423, 1432,

2134, 2143, 2314, 2341, 2413, 2431,

3124, 3142, 3214, 3241, 3412, 3421,

4123, 4132, 4213, 4231, 4312, 4321.

Всего 24 перестановки, расположенные в 4 столбца по 6 перестановок в каждом.

Для числа перестановок n элементов есть обозначение: n! (читаем: «эн факториал»). Факториал равен произведению всех натуральных чисел от n до 1. Например, 4! = 1 · 2 · 3 · 4= 24. Одна строчка, а перебирая все возможные случаи выше, сколько записи всех перестановок. А если бы было не 4 элемента, а 8? Значит, и не надо было выписывать все возможные перестановки. Неужели так просто. Вот задачи, которые я смог решить.

ЗАДАЧА 1 . Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?

Решение: Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.

Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.

Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.

Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров уже составлены. Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ

ГС, ГФ

СФ,

т.е. 3•2•1=6. Значит, существует всего шесть вариантов выбора тренером пары теннисистов из группы.

1. Размещения

Следующее важное понятие комбинаторики — размещение.

Размещением называется расположение «предметов» (объектов) на некоторых «местах» при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

ЗАДАЧА 1. В классе, в котором 25 учеников, нужно выбрать командира, его заместителя и помощника заместителя. Сколькими способами это можно сделать?

РЕШЕНИЕ

25 способами можно выбрать любого ученика в командиры.

Затем из 24 оставшихся — заместителя старосты.

После этого любой из 23 оставшихся может оказаться помощником заместителя.

Всего имеем: 25·24·23 = 13800

Ответ: 13800 способов.

ЗАДАЧА 2. Сколькими способами можно составить расписание на день из 5 различных уроков, если изучается 14 предметов.

РЕШЕНИЕ

В данном примере из 14 предметов нужно выбрать 5. Число способов составления расписания можно посчитать по формуле:

14 · 13 · 12 · 11 · 10 = 240240

Ответ: 240240 способов.

1. Сочетания

Пусть теперь из множества Х выбирается неупорядоченное подмножество (порядок элементов в подмножестве не имеет значения). Сочетаниями из n элементов по k называются подмножества из k элементов, отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом.

ЗАДАЧА 1.

В группе из 27 студентов нужно выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно это сделать?

Решение. Так как порядок студентов не важен, используем формулу для числа сочетаний

ЗАДАЧА 2.

У лесника 3 собаки: Астра (А), Вега (В) и Гриф (Г). На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

Решение.

Это задача о выборе двух элементов из трех без учета порядка. Перечислим варианты выбора из А, Б, В по два: А, Б; А, В; Б, В. Если учащиеся знают формулу для числа сочетаний, то количество вариантов равно:

Ответ: 3 варианта.

1. КОМБИНАТОРИКА В ЖИЗНЕДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЧЕЛОВЕКА

Области применения комбинаторики:

учебные заведения (составление расписаний)

география (раскраска карт)

спортивные соревнования (расчёт количества игр между участниками)

химия (анализ возможных связей между химическими элементами)

экономика (анализ вариантов купли-продажи акций)

доставка почты (рассмотрение вариантов пересылки)

биология (расшифровка кода ДНК)

1. КОМБИНАТОРИКА В ИГРАХ И ГОЛОВОЛОМКАХ

Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.

Кубик Рубика – это куб, как бы разрезанный на 27 одинаковых кубиков. В исходном положении каждая грань куба окрашена в один из 6 цветов. Остроумный механизм позволяет поворачивать любой слой из 9 кубиков, примыкающий к одной грани куба, вокруг ее центра. При этом цвета граней смешиваются. Задача состоит в том, чтобы вернуть разноцветные грани кубика в исходное положение. Теоретически из любого состояния кубика можно вернуться в исходное не более чем за 23 хода. Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.

Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

ЗАДАЧА 1. «Крестики-нолики»

Самая известная древняя игра. В квадрате, разделенном на девять клеток, игроки по очереди ставят в свободную клетку свой знак: крестик или нолик, стараясь выстроить три крестика или три нолика подряд. Тот, кто первым сделает это, тот и выигрывает.

Если не делать ошибок, то игра оканчивается вничью. Выиграть можно только в том случае, если противник ошибется. Самый правильный ход – занять угловую клетку. И если партнер не ответит на это своим знаком в центре, то он проиграл.

ЗАДАЧА 2. «Ним»

Пусть имеется одна или несколько групп предметов. Играющие берут по очереди предметы из групп по правилам, которые заранее устанавливают: какое количество предметов разрешается брать за один раз и из скольких групп. Существует множество вариантов игры, и для большинства известна наилучшая стратегия, ведущая к выигрышу.

1. КОМБИНАТОРИКА В ЛИТЕРАТУРЕ

В басне Ивана Андреевича Крылова «Квартет»: «проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка» устроили любопытный эксперимент, они исследовали влияние взаимного расположения музыкантов на качество исполнения.

Проказница-Мартышка, Осёл, Козёл, да косолапый Мишка

Затеяли сыграть Квартет.

Достали нот, баса, альта, две скрипки

И сели на лужок под липки — пленять своим искусством свет.

Ударили в смычки, дерут, а толку нет.

«Стой, братцы, стой! — кричит Мартышка. — Погодите!

Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.

Ты с басом, Мишенька, садись против альта,

Я, прима, сяду против вторы;

Тогда пойдёт уж музыка не та: у нас запляшут лес и горы!»

Расселись, начали Квартет;

Он всё-таки на лад нейдёт.

«Постойте ж, я сыскал секрет, —

Кричит Осёл: — мы, верно, уж поладим, коль рядом сядем».

Послушались Осла: уселись чинно в ряд;

А всё-таки Квартет нейдёт на лад.

Вот пуще прежнего пошли у них разборы

И споры, кому и как сидеть.

Случилось Соловью на шум их прилететь.

Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье:

«Пожалуй, — говорят: — возьми на час терпенье,

Чтобы Квартет в порядок наш привесть:

И ноты есть у нас, и инструменты есть;

Скажи лишь, как нам сесть!» —

«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье

И уши ваших понежней, —

Им отвечает Соловей: — А вы, друзья, как ни садитесь,

Всё в музыканты не годитесь».

Мартышка, Осёл, Козёл и Мишка пересаживались, считая, что от этого зависит звучание музыки. И если бы не вмешался Соловей, участники квартета, наверное, перепробовали бы все возможные варианты.

Так сколько же существует способов, чтобы рассадить, например в один ряд, четырех музыкантов?

Число перестановок можно посчитать по формуле: 4  3  2 1 = 24 способа.

Ответ: 24 способа

1. СТАРИННЫЕ ЗАДАЧИ

Задача: «Волк, козел и капуста»

Крестьянину нужно перевезти через реку волка, козла и капусту. Лодка так мала, что в ней кроме крестьянина может поместиться только или волк, или козел, или капуста. Но если оставить волка с козлом, он его съест, а если оставить козла с капустой, то будет съедена капуста. Как быть крестьянину?

Для решения требуется путем взаимной перестановки элементов расположить их в соответствии с условием задачи в определенном порядке. В случае с крестьянином переправу следует начать с перевозки козла. Затем крестьянин возвращается и берет волка, которого перевозит на другой берег и оставляет там, а козла возвращает назад на предыдущий берег. Оттуда забирает капусту и перевозит ее к волку. А затем возвращается и забирает козла.

1. ОПРОС

Я провел опрос среди учащихся восьмых классов.

По данным вопросам я составил диаграмму.

Из результатов диаграммы я сделал вывод, что более 80% учеников восьмых классов не знают, что такое комбинаторика и не умеют решать задачи по этой теме. 60% учеников хотят научиться пользоваться методами перебора вариантов.

1. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Таким образом, изложенный материал, доказывает, что комбинаторные задачи сопровождают человечество на протяжении всей истории, переплетаясь с искусством и наукой, что математике присущ элемент игры, которая тренирует интеллект и развивает самые различные способности, особенно творческие.

В рамках данной работы полученная информация была изучена и применена при решении задач на перестановки, размещения, и были сделаны выводы, что, несомненно, знание правил решения комбинаторных задач дает шанс намного быстрее прийти к положительному результату в логических рассуждениях.

В ближайшем будущем я научусь решать более сложные задачи комбинаторики, а знания по этой теме будут востребованы при решении задач олимпиадного типа и помогут мне в будущем при подготовке к итоговой аттестации по математике.

Вывод:

Комбинаторика повсюду. Комбинаторика везде. Комбинаторика вокруг нас.

Думаю, что цели я добился, так как после написания работы расширил и углубил свои знания по комбинаторике и научился решать задачи из этого раздела.

1. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виленкин Н.Я., «Популярная комбинаторика», М.: Наука, 1975.

2. Галкин Е.В., «Нестандартные задачи по математике», М: Просвещение. 1995.

3. Савин А.П., «Энциклопедический словарь юного математика» », М: Просвещение. 1985.

4. Алгебра 9 класс Ю.Н.Макарычев, Н.Г.Миндюк.

1. ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ОГЭ И ЕГЭ

Задача 1. В классе 25 учащихся. Сколькими способами могут быть выбраны староста и его заместитель, если каждый учащийся может быть избран только на одну из этих должностей?

Решение:

Так как по условию задачи каждый учащийся может быть избран старостой, то, очевидно, существует 25 способов выбора старосты. Его заместителем может стать каждый из оставшихся 24 человек. Поэтому всего существует 25 · 24 = 600 способов выбора старосты и физорга. Ответ: 600 способов.

Задача 2. Для дежурства в классе в течение недели (шестидневная учебная неделя) выделены 6 учащихся. Сколькими способами можно установить очерёдность дежурств, если каждый учащийся дежурит один раз?

Решение:

В понедельник может дежурить любой из выделенных шести человек. Во вторник может дежурить каждый из пяти ещё не дежуривших учащихся. К среде остаются четыре человека, которые ещё не дежурили, к пятнице – два, а к субботе один человек. Ясно, что число способов, которыми можно установить очерёдность дежурств, равно 6*5*4*3*2*1 = 720.

Ответ: 720 способов.

Задача 3. Для проверки олимпиадных работ создаётся комиссия из двух преподавателей. Сколько различных комиссий можно составить из шести преподавателей?

Решение:

Обозначим для удобства преподавателей буквами А, В, С, Д, Е, К. Теперь выпишем все возможные варианты состава комиссии, а именно:

АВ, АС, АД, АЕ, АК, ВС, ВД, ВЕ,ВК, СД, СЕ, ДЕ, ДК, ЕК.

Таким образом, видно, что число различных комиссий равно 15.

Ответ: 15 комиссий.

Задача 4. Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 при условии, что в записи числа каждая цифра используется только один раз?

Решение: В условии задачи предложено подсчитать число всевозможных комбинаций из двух цифр, взятых из предположенных восьми цифр, причём порядок расположения цифр в комбинации имеет значение (например, числа 13 и 31 различные). Иначе говоря, нужно найти число размещений из восьми элементов по два. По формуле числа размещений находим:

= 8 (8 – 1) = 8 ∙7 = 56.

Ответ: 56 двузначных чисел.

Задача 5. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Решение: Первой цифрой трёхзначного числа может быть одна из четырёх цифр 1, 2, 3, 4, а второй и третьей – любая из пяти цифр 0,1, 2, 3, 4. Всего можно образовать 4 ∙5 ∙ 5 = 100 трёхзначных чисел.

Ответ: 100 чисел.

Задача 6. Сколькими способами можно разместить на полке 5 книг?

Решение: Задача сводится к подсчёту числа перестановок из пяти элементов:

Р₅ = 5! = 1 ∙2 ∙3 ∙4 ∙5 = 120 способов.

Ответ: 120 способов

Задача 7. Из числа учащихся, посещающих математический кружок, в котором занимаются 5 девушек и 3 юноши, нужно отправить на олимпиаду двоих: одну девушку и одного юношу. Сколько существует различных пар, которые можно отправить на олимпиаду?

Решение: Девушку из состава кружка можно выбрать пятью способами, а юношу – тремя. Пару (девушка с юношей) можно выбрать пятнадцатью различными способами 5 ∙3 = 15 способов.

Ответ: 15 способов.

Задача 8. Для подарков первоклассникам закупили книги четырех разных авторов и игрушки семи разных видов. Сколько различных подарков можно составить, если в каждый должна входить одна книга и одна игрушка?

Решение: В соответствии с правилом произведения всего можно составить 4 ∙ 7 = 28 подарков

Ответ: 28 подарков.

Задача 9. Сколько различных смешанных пар для игры в теннис можно образовать из шести юношей и восьми девушек?

Решение: 6 ∙ 8 = 48 пар

Ответ: 48 пар.

Задача 10. Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы в слове «кино»?

Решение:
В слове кино четыре буквы, все они различные, поэтому всего можно получить:
4! = 4*3*2*1 = 24 слова.

Ответ: 24 слова.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/619010-individualnyj-proekt-kombinatorika-vokrug-nas