Практическое занятие № 66 Тема: Использование комбинаций многогранников и тел вращения в практико-ориентированных задачах

Практическое занятие № 66

Тема: Использование комбинаций многогранников и тел вращения в практико-ориентированных задачах

Дисциплина: Математика

Курс: 1

Профессия: 09.01.03 «Оператор информационных систем и ресурсов»

Цель занятия:

Научить студентов применять геометрические модели комбинаций тел при работе с 3D-данными: обработке сканов, построении цифровых двойников, распознавании объектов и оптимизации хранения графической информации.

Задачи занятия:

1. Повторить формулы объёмов и площадей поверхностей многогранников и тел вращения.

2. Научиться распознавать базовые геометрические тела в составных 3D-моделях.

3. Применять комбинации фигур для расчёта параметров виртуальных объектов.

4. Развивать навыки перевода визуального образа в математическую модель.

5. Выполнить расчёты с учётом требований цифровой обработки (точность, масштабирование).

Результат обучения:

Студент умеет:

выделять геометрические примитивы в составных 3D-объектах,

рассчитывать объёмы и площади поверхностей для цифровых моделей,

определять параметры вписанных/описанных тел при анализе сканов,

оформлять результаты расчётов в виде, пригодном для передачи в программное обеспечение.

Методы проведения занятия:

Проблемное изложение (анализ реальных кейсов из ИТ-практики),

Репродуктивный (выполнение расчётов по алгоритму),

Частично-поисковый (выбор оптимальной геометрической модели),

Самоконтроль через сравнение с эталонными решениями.

Дидактическое оснащение:

Указания по выполнению практического задания (настоящий документ),

Рабочая тетрадь с конспектами по теме «Комбинации геометрических тел»,

Калькулятор,

Доступ к бесплатным 3D-просмотрщикам (Sketchfab, Clara.io) для визуализации моделей.

Критерии оценок:

«5» — все задания выполнены верно, решения обоснованы, работа защищена устно.

«4» — верно выполнено 80–90% заданий (7–8 из 9).

«3» — верно выполнено 70–80% заданий (6–7 из 9).

Требования к оформлению:

• Работа выполняется в тетради для практических работ.

• Каждое задание должно содержать: номер, условие, формулы, вычисления, ответ с единицами.

• Работу сдать на следующем занятии.

План

Порядок выполнения практического занятия

1. Прочитайте краткое изложение теории

2. Ответьте на контрольные вопросы.

3. Выполните самостоятельно задания практического занятия.

1. 1. 1. 1. Теоретическая основа:

В цифровом мире любой объект описывается через геометрические примитивы: кубы, цилиндры, сферы, конусы. Сложные модели строятся как комбинации этих базовых тел.

Ключевой принцип:

Вписанные тела — для упрощения модели (коллизионные объёмы в играх),

Описанные тела — для определения границ объекта (расчёт габаритов при экспорте),

Пересекающиеся тела — для создания сложных форм (булевы операции в редакторах).

Основные формулы:

Важно: При работе с цифровыми моделями все размеры задаются в одних единицах (обычно метры или миллиметры).

1. 1. 1. 1. Ответьте на контрольные вопросы.

1. Какой пример чаще всего используется для коллизионной модели человека в играх?

2. Почему шар нельзя вписать в наклонную призму?

3. Как найти радиус шара, описанного около куба с ребром a?

4. Во сколько раз объём конуса меньше объёма цилиндра с теми же R и h?

5. Какая комбинация тел описывает форму колонны с капителью?
   
   

1. 1. 1. 1. Задания практического занятия.

Задача 1.
При сканировании серверной стойки получена модель в форме прямоугольного параллелепипеда 60×80×200 см с четырьмя цилиндрическими вентиляционными отверстиями диаметром 10 см, проходящими по высоте. Найдите объём материала стойки.

Задача 2.
Для упрощения расчётов в симуляторе робота его корпус (куб 50×50×50 см) заменяют на вписанный шар. На сколько процентов уменьшится объём при такой замене?

Задача 3.
В 3D-редакторе создан объект: конус (радиус 12 см, высота 16 см), в который вписана правильная четырёхугольная пирамида с общей вершиной. Найдите объём пирамиды.

Задача 4.
При создании цифрового двойника резервуара получен цилиндр диаметром 4 м и высотой 6 м с полусферической крышей. Найдите общий объём резервуара.

Задача 5.
Для распознавания объекта на изображении используется ограничивающий параллелепипед 30×40×50 см. Внутри него обнаружен шар максимального размера. Найдите его объём.

Решение:

Задача 6.
При сжатии 3D-модели цилиндра (радиус 10 см, высота 20 см) его заменяют на описанный около него куб. Во сколько раз увеличится объём описывающей фигуры?

Задача 7.
В системе виртуальной реальности объект представлен как комбинация: шар радиусом 5 см, на котором сверху установлен конус высотой 12 см с общим основанием. Найдите общую площадь поверхности объекта.

Задача 8.
При анализе точечного облака обнаружена деталь в форме правильной шестиугольной призмы со стороной 8 см и высотой 15 см, в которую вписан цилиндр. Найдите объём «пустоты» между призмой и цилиндром.

Задача 9 (творческая).
Опишите геометрическую структуру компьютерной мыши как комбинацию не более трёх примитивов. Укажите параметры каждого примитива (примерные размеры).

Домашнее задание:

1 Выполните все 9 практических заданий в тетради.

Найдите в интернете изображение любого технического устройства (наушники, клавиатура, блок питания). Опишите его как комбинацию 2–3 геометрических примитивов с указанием примерных размеров.

2. Контрольные вопросы (ответы)

1. Какой примитив чаще всего используется для коллизионной модели человека в играх?
   → Цилиндр (комбинация цилиндра для туловища и сфер для головы/суставов).

2. Почему шар нельзя вписать в наклонную призму?
   → Расстояния от центра до боковых граней будут разными → нарушается условие касания.

3. Как найти радиус шара, описанного около куба с ребром a?
   → Диагональ куба d=a3— диаметр шара → R=.

4. Во сколько раз объём конуса меньше объёма цилиндра с теми же R и h?
   → В 3 раза (V_кон=V_цил)

5. Какая комбинация тел описывает форму колонны с капителью?
   → Цилиндр (ствол) + усечённый конус или пирамида (капитель).

3. Практические задания (с решениями)

Задача 1.
При сканировании серверной стойки получена модель в форме прямоугольного параллелепипеда 60×80×200 см с четырьмя цилиндрическими вентиляционными отверстиями диаметром 10 см, проходящими по высоте. Найдите объём материала стойки.

Решение:

Объём параллелепипеда: V₁=60⋅80⋅200=960 000 см³

Объём одного цилиндра: V₂=π⋅5²⋅200=5000π≈15 708 см³

Объём четырёх цилиндров: 4⋅15 708=62 832 см³

Объём материала: 960 000−62 832=897 168 см³≈0.897 м³

Ответ: ≈ 0.897 м³

Задача 2.
Для упрощения расчётов в симуляторе робота его корпус (куб 50×50×50 см) заменяют на вписанный шар. На сколько процентов уменьшится объём при такой замене?

Решение:

Объём куба: V₁=50³=125 000 см³

Радиус шара: R=25 см

Объём шара: V₂=π⋅15 625≈65 450 см³

Разница: 125 000−65 450=59 550 см³

Процент:⋅100%≈47.6%

Ответ: объём уменьшится на ≈ 47.6%

Задача 3.
В 3D-редакторе создан объект: конус (радиус 12 см, высота 16 см), в который вписана правильная четырёхугольная пирамида с общей вершиной. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Сторона квадрата, вписанного в окружность радиуса 12 см:
a=R=12≈16.97 см

Площадь основания: S=a²=288 см²

Объём пирамиды: V=⋅288⋅16=1536 см³

Ответ: 1536 см³

Задача 4.
При создании цифрового двойника резервуара получен цилиндр диаметром 4 м и высотой 6 м с полусферической крышей. Найдите общий объём резервуара.

Решение:

Объём цилиндра: V₁=π⋅2²⋅6=24π≈75.40 м³

Объём полусферы (радиус 2 м): V₂=π⋅8=π≈16.76 м³

Общий объём: 75.40+16.76=92.16 м³

Ответ: ≈ 92.2 м³

Задача 5.
Для распознавания объекта на изображении используется ограничивающий параллелепипед 30×40×50 см. Внутри него обнаружен шар максимального размера. Найдите его объём.

Решение:

Максимальный диаметр шара ограничен наименьшей стороной = 30 см

Радиус: R=15 см

Объём: V= π⋅3375=4500π≈14 137 см³

Ответ: ≈ 14 137 см³ (14.1 л)

Задача 6.
При сжатии 3D-модели цилиндра (радиус 10 см, высота 20 см) его заменяют на описанный около него куб. Во сколько раз увеличится объём описывающей фигуры?

Решение:

Объём цилиндра: V₁=π⋅100⋅20=2000π≈6283 см³

Ребро куба = диаметру цилиндра = 20 см

Объём куба: V₂=20³=8000 см³

Отношение:≈1.27

Ответ: в ≈ 1.27 раза

Задача 7.
В системе виртуальной реальности объект представлен как комбинация: шар радиусом 5 см, на котором сверху установлен конус высотой 12 см с общим основанием. Найдите общую площадь поверхности объекта.

Решение:

Площадь сферы (без «шапки»): S₁=4πR²=100π≈314.16 см²
Образующая конуса =13см

Боковая поверхность конуса: S₂=π⋅5⋅13=65π≈204.20 см²

Общая площадь: 314.16+204.20=518.36 см²

Ответ: ≈ 518.4 см²

Задача 8.
При анализе точечного облака обнаружена деталь в форме правильной шестиугольной призмы со стороной 8 см и высотой 15 см, в которую вписан цилиндр. Найдите объём «пустоты» между призмой и цилиндром.

Решение:

Площадь основания призмы: S₁=⋅64=96≈166.28 см²

Объём призмы: V₁=166.28⋅15=2494.2 см³

Радиус цилиндра = радиусу вписанной окружности: r==4≈6.93 см

Объём цилиндра: V₂=π⋅48⋅15=720π≈2261.95 см³

Пустота: 2494.2−2261.95=232.25 см³

Ответ: ≈ 232.3 см³

Задача 9 (творческая).
Опишите геометрическую структуру компьютерной мыши как комбинацию не более трёх примитивов. Укажите параметры каждого примитива (примерные размеры).

Примерный ответ:

Основание — половина эллипсоида (длина 12 см, ширина 6 см, высота 4 см),

Верхняя часть — усечённый конус (нижний радиус 6 см, верхний 4 см, высота 3 см),

Кнопки — два цилиндра (радиус 1.5 см, высота 0.5 см).

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/634034-prakticheskoe-zanjatie-66-tema-ispolzovanie-