Элективный курс «Задачи на проценты» для подготовки обучающихся к единому государственному экзамену по математике (профильный уровень)

ЭЛЕКТИВНЫЙ КУРС «ЗАДАЧИ НА ПРОЦЕНТЫ» ДЛЯ ПОДГОТОВКИ ОБУЧАЮЩИХСЯ К ЕДИНОМУ ГОСУДАРСТВЕННОМУ ЭКЗАМЕНУ ПО МАТЕМАТИКЕ (ПРОФИЛЬНЫЙ УРОВЕНЬ)

Выполнила Чекалова Анастасия Игоревна

1. Пояснительная записка для элективного курса

«Задачи на проценты»

Данный элективный курс состоит из практических заданий, которые позволят обучающимся расширить и систематизировать знания по математике. Элективный курс ориентирован на подготовку обучающихся как 10-х, так и 11-х классов.

Курс направлен на категорию обучающихся, имеющую желание поступить в ВУЗ, проявляющую интерес к изучению математики.

Цель курса – создание условий для формирования и развития у обучающихся самоанализа и систематизации полученных знаний, подготовка к продолжению обучения в высших и средних специальных учебных заведениях.

Задачи курса:

1. формирование и развитие у старшеклассников аналитического и логического мышления при решении задачи;

2. расширение и углубление курса математики;

3. способствовать усвоению фактических знаний и умений, установленных программой курса;

4. развитие коммуникативных навыков работы вгруппе, самостоятельной работы, умений вести дискуссию, аргументировать ответы и т.д.

Продолжительность элективного курса «Задачи на проценты» с недельной нагрузкой в один час – 16 часов.

Урок – основная форма обучения при изучении элективного курса. Формы и методы работы с учащимися:

1. Работа учителя с приведением примеров – при знакомстве с новым материалом.

2. Анализ решения.

3. Для теоретической части обучения наиболее эффективна небольшая школьная лекция с параллельным обсуждением учителя и обучающихся.

4. Применение тестирования, дискуссий, направленных на аргументацию вариантов своих решений и различных форм индивидуальной или групповой деятельности учащихся.

Технологии обучения:

– лекционно-семинарская система обучения;

– дифференцированное обучение, групповые и индивидуальные формы;

Виды и формы контроля определяет учитель с учетом содержания учебного материала и используемых им образовательных технологий.

В технологии проведения занятий присутствует элемент самопроверки, взаимопроверки, который предоставляет учащимся возможность самим проверить, как ими усвоен изученный материал. После совместной работы обсуждается результат и намечается пути совершенствования своего сотрудничества. Форма итогового контроля – контрольная работа.

Планируемые результаты обучения.

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

– повысить уровень математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

– приобретения опыта в нахождении правильного и рационального пути решения практических заданий по теме «Задачи на проценты».

3.2. Учебно-тематический план элективного курса

«Задачи на проценты»

Таблица 1

3.3. Элективный курс «Задачи на проценты»

Тема 1. Простейшие задачи на проценты (задание № 1). Урок 1

Цель: рассмотреть определение понятия «процент», вспомнить как решать простейшие задачи на проценты.

Перед тем как перейти к решению задач, давайте вспомним определение процента.

Процент от числа — это сотая доля этого числа. Например, вычисляя 12% от 1 и 12% от 2000, получим соответственно:

Как обратить десятичную дробь в проценты?

Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, надо умножить ее на 100.

Запишите в процентах десятичные дроби: 0,87; 0,07; 1,45.

Как перевести проценты в десятичную дробь?

Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо разделить число процентов на 100.

Запишите в виде десятичной дроби: 1 %; 25 %; 69 %.

А теперь перейдем к решению задач.

Задача № 1. «Бригаде поручили отремонтировать участок дороги длиной 760 м. Сколько метров дороги бригада отремонтирует, когда выполнит 30 % задания?» [1].

Решение:

760 м – 100%

х м – 30 %

Ответ:228 м.

Задача № 2. Цена марки была повышена на 16% и составила 5220 рублей. Сколько рублей стоила марка до повышения цены?

Решение:

Цена марки после повышения стала составлять 116% от начальной цены. Разделим 5220 на 1,16:

Значит, цена марки до повышения составляла 4500 рублей.

Ответ: 4500.

Задача № 3. Майка стоила 300 рублей. После снижения цены она стала стоить 100 рублей. На сколько процентов была снижена цена на майку?

Задача№ 4.Испанский язык в школе изучают 150 учащихся, что составляет 50 % от числа всех учащихся школы. Сколько учеников в школе?

Тема 1. Простейшие задачи на проценты (задание № 1). Урок 2

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «проценты», закрепить навык решения простейших задач на проценты, проверить умение решать задачи такого типа.

Задача № 1. Билет в кино стоит 60 рублей. По вторникам кинотеатр делает студентам скидку 5%. Сколько рублей стоит билет в кино для студента?

Задача № 2. Сколько рублей заплатит покупатель за 60 карандашей, если при покупке больше 50 карандашей магазин делает скидку 10% от стоимости всей покупки? Карандаш стоит 24 рубля.

Задача № 3. Призерами городской олимпиады по физике стало 50 учеников, что составило 25% от числа участников. Сколько человек участвовало в олимпиаде?

Задача № 4. Майка стоила 300 рублей. После снижения цены она стала стоить 100 рублей. На сколько процентов была снижена цена на майку?

Задача № 5. Мобильный телефон стоил 6000 рублей. Через некоторое время цену на эту модель снизили до 4800 рублей. На сколько процентов была снижена цена?

Проверочная работа.

Решаем задачи на листочках и сдаем на проверку.

№ 1.Планшет телефон стоил 2800 рублей. Через некоторое время цену на эту модель повысили до 3500 рублей. На сколько процентов была повышена цена?

№ 2. В июне 1 кг слив стоил 60 рублей, в июле сливы подорожали на 25%, а в августе еще на 20%. Сколько рублей стоил 1 кг слив после подорожания в августе?

№ 3.Студентами технических вузов собираются стать 27 выпускников школы. Они составляют 30% от числа выпускников. Сколько в школе выпускников?

Тема 2. Экономические задачи (задание №11). Урок 1

Цель: научить учащихся решать экономические задачи (задание № 11).

На этом уроке мы будем решать экономические задачи (задание № 11). Эти задачи сложнее чем те, которые мы решали на предыдущих занятиях. Для того чтобы начать их решать нам нужно записать теоретический материал, который понадобится для решения.

«Процент от числа — это сотая доля этого числа. Задача найти p% от a, эквивалентна задаче вычислить произведение или . Например, вычисляя 6% от 150, получаем: . Справедливы следующие утверждения:

1. Если некоторое число aувеличить на p%, то получим .

2. Если некоторое число a уменьшить на p%, то получим .

3. Если некоторое число a увеличить на %, а полученный результатуменьшить на %, то получим .

4. Положенная в банк под p% годовых начальная сумма черезn летс учетом процентов достигнет величины » [8].

Задача № 1. В 2009 году в городе Кострома проживало 40000 человек. В 2010 году проводилась перепись населения в результате которой, выяснилось, что число жителей выросло на 8 % , а в 2011 году на 9 %  по сравнению с 2010 годом. Сколько человек стало проживать в Костроме в 2011 году?

Решение:

В 2010 году число жителей стало:

 человек, а в 2011 году число жителей стало   человек.

Ответ: 43200.

Задача № 2.Один пылесос дороже четырех веников на 8 %. На сколько процентов пять таких же веников дороже пылесоса?

Задача № 3. Клиент А. сделал вклад в банке в размере 7700 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Еще ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 847 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

Задача № 4. Согласно уставу организации уставной капитал равен 200000 рублей. Учредитель 1 внес 14 % в уставный капитал, учредитель 2 – 420000 рублей, учредитель 3 – 0,12 уставного капитала, оставшуюся часть капитала внес учредитель 4. В соответствии с уставом организации учредители будут получать прибыль пропорционально внесенному вкладу. Найдите прибыль учредителя 4, если общая прибыль организации 1000000 рублей.

Задача № 5. В четверг розы в цветочном магазине подорожали на некоторое количество процентов, а в пятницу подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем в четверг. На сколько процентов подорожали розы в четверг?

Тема 2. Экономические задачи (задание №11). Урок 2

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме, закрепить навык решения задач, проверить умение решать задачи такого типа.

Задача № 1. В 2018 в районе проживало 40000 человек. В 2019 году по программе переселения из ветхого жилья число жителей выросло на 1 %, а в 2020 году на 9 % по сравнению с 2019 годом. Сколько человек стало проживать в этом районе в 2020 году.

Задача № 2. Согласно уставу организации уставной капитал равен 200000 рублей. Учредитель 1 внес 18 % в уставный капитал, учредитель 2 – 60000 рублей, учредитель 3 – 0,18 уставного капитала, оставшуюся часть капитала внес учредитель 4. В соответствии с уставом организации учредители будут получать прибыль пропорционально внесенному вкладу. Найдите прибыль учредителя 4, если общая прибыль организации 11000000 рублей.

Задача № 3. Выставленный на продажу за 20900 рублей телевизор, через два года был продан за 16929 рублей. Определите на сколько процентов каждый год уменьшалась цена телевизора.

Проверочная работа.

Выполняем работу в тетрадях, а затем меняемся тетрадями с соседом по парте и проверяем.

№ 1.Клиент А. сделал вклад в банке в размере 2500 рублей. Проценты по вкладу начисляются раз в год и прибавляются к текущей сумме вклада. Ровно через год на тех же условиях такой же вклад в том же банке сделал клиент Б. Ещё ровно через год клиенты А. и Б. закрыли вклады и забрали все накопившиеся деньги. При этом клиент А. получил на 216 рублей больше клиента Б. Какой процент годовых начислял банк по этим вкладам?

№ 2.Олег, Андрей, Кирилл и Евсей учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Олег внес 15% уставного капитала, Андрей  — 55 000 рублей, Кирилл  — 0,22 уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внес Евсей. Какая сумма от прибыли 600 000 рублей причитается Евсею, если учредители договорились делить прибыль пропорционально внесенному в уставной капитал вкладу?

№ 3.В четверг розы в цветочном магазине подорожали на некоторое количество процентов, а в пятницу подешевели на то же самое количество процентов. В результате они стали стоить на 4 % дешевле, чем в четверг. На сколько процентов подорожали розы в четверг?

Тема 3. Задачи на смеси и сплавы (задание №11). Урок 1

Цель: научить учащихся решать задачи на смеси и сплавы.

Вспомним формулу концентрации.

где– концентрация по массе, – масса вещества, – масса раствора. Для объёма формула такая же, только вместо массы будем подставлять объём.

Задача №1. «В сосуд, содержащий 5 литров 14 – процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 5 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?» [8].

Решение:

Составим таблицу:

Таблица1

Ответ:7 %.

Задача №2. «Смешали некоторое количество 15- процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 17 - процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?» [8].

Задача №3. «Смешали 4 литра 20 - процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 35- процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?»[8].

Задача №4. «Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй —35% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 150 кг, содержащий 30% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава была меньше массы второго?» [8].

Тема 3. Задачи на смеси и сплавы (задание №11). Урок 2

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Задачи на смеси и сплавы (задание №11)», закрепить навык решения задач такого типа, проверить умение решать такие задачи.

Задача №1. «Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах.» [8].

Проверочная работа:

№ 1. «Имеется два сплава. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 14% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 9 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 11% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте в килограммах» [8].

№2. «В сосуд, содержащий 5 литров 12–процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?» [8].

№3. «Смешали некоторое количество 15–процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19–процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?» [8].

Тема 4. Экономические задачи на вклады (задание № 17). Урок 1

Цель: познакомить учащихся с экономическими задачами на вклады, научить решать задачи такого типа.

Сегодня мы познакомимся с экономическими задачами на вклады. Давайте вспомним теоретический материал, с которым мы работали ранее.

«Процент от числа — это сотая доля этого числа. Задача найти p% от a, эквивалентна задаче вычислить произведение или . Например, вычисляя 6% от 150, получаем: . Справедливы следующие утверждения:

1. Если некоторое число aувеличить на p%, то получим .

2. Если некоторое число a уменьшить на p%, то получим .

3. Если некоторое число a увеличить на %, а полученный результатменьшить на %, то получим .

4. Положенная в банк под p% годовых начальная сумма черезn летс учетом процентов достигнет величины » [8].

Задача №1. «Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70% — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк» [9].

Решение:

Пусть средства клиентов, имеющихся в банке, составляет S у.е.

Найдем наименьшую прибыль за оба проекта:

Теперь мы можем найти наименьшую прибыль банка, которую он получит если выплатит своим клиентам проценты по 20% ставке:

Найдем наибольшую прибыль банка за оба проекта:

Теперь мы сможем найти наибольшую прибыль банка, которую он получит если выплатит своим клиентам проценты по 10% ставке:

Ответ:5%, 20%.

Задача №2. «В банк был положен вклад под 10% годовых. Через год, после начисления процентов, вкладчик снял со счета 2000 рублей, а еще через год снова внес 2000 рублей. Вследствие этих действий через три года со времени открытия вклада вкладчик получил сумму меньше запланированной (если бы не было промежуточных операций со вкладом). На сколько рублей меньше запланированной суммы он получил?» [8].

Задача № 3. «Миша и Маша положили в один и тот же банк одинаковые суммы под 10% годовых. Через год сразу после начисления процентов Миша снял со своего счета 5000 рублей, а еще через год снова внес 5000 рублей. Маша, наоборот, через год доложила на свой счет 5000 рублей, а еще через год сразу после начисления процентов сняла со счета 5000 рублей. Кто через три года со времени первоначального вложения получит большую сумму и на сколько рублей?» [8].

Тема 4. Экономические задачи на вклады (задание № 17). Урок 2

Цель: отработка навыков решения задач на тему «Экономические задачи на вклады (задание № 17)».

Задача №1. «Близнецы Саша и Паша положили в банк по 50 000 рублей на три года под 10% годовых Однако через год и Саша, и Паша сняли со своих счетов соответственно 10% и 20% имеющихся денег. Еще через год каждый из них снял со своего счета соответственно 20 000 рублей и 15 000 рублей. У кого из братьев к концу третьего года на счету окажется большая сумма денег? На сколько рублей?» [8].

Задача № 2. «Сергей поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Сергей ежегодно добавлял к вкладу?» [8].

Задача № 3. «Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года после начисления процентов) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая максимальная сумма может быть на счете у Василия через 4 года?» [8].

Тема 4. Экономические задачи на вклады (задание № 17). Урок 3

Цель: отработка навыков решения задач на тему «Экономические задачи на вклады (задание № 17)».

Задача № 1. «В начале года 5/6 некоторой суммы денег вложили в банк А, а то, что осталось — в банк Б. Если вклад находится в банке с начала года, то к концу года он возрастает на определённый процент, величина которого зависит от банка. Известно, что к концу первого года сумма вкладов стала равна 670 у. е., к концу следующего — 749 у. е. Если первоначально 5/6 суммы было бы вложено в банк Б, а оставшуюся вложили бы в банк А, то по истечении одного года сумма выросла бы до 710 у. е. Определите сумму вкладов по истечении второго года в этом случае.» [8].

Задача № 2. Крисбанк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Крисбанк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?

Задача № 3. «Известно, что вклад, находящийся в банке с начала года, возрастает к концу года на определенный процент, свой для каждого банка. В начале года Степан положил 60% некоторой суммы денег в первый банк, а оставшуюся часть суммы во второй банк. К концу года сумма этих вкладов стала равна 590 000 руб., а к концу следующего года 701 000 руб. Если бы Степан первоначально положил 60% своей суммы во второй банк, а оставшуюся часть в первый, то по истечении одного года сумма вкладов стала бы равной 610 000 руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу второго года?»[8].

Тема 4. Экономические задачи на вклады (задание № 17). Урок 4

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Экономические задачи на вклады (задание № 17)», проверить умение решать задачи такого типа.

Проверочная работа.

№ 1. «Кирилл поместил в банк 3600 тысяч рублей под 10% годовых. В конце каждого из первых двух лет хранения после начисления процентов он дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу третьего года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 48,5%. Какую сумму Кирилл ежегодно добавлял к вкладу?» [8].

№ 2. «Петрбанк под определенный процент принял некоторую сумму. Через год четверть накопленной суммы была снята со счета. Петрбанк увеличил процент годовых на 40 процентных пунктов (то есть увеличил ставку а% до (а + 40)%). К концу следующего года накопленная сумма в 1,44 раза превысила первоначальный вклад. Каков процент новых годовых?» [8].

Тема 5. Экономические задачи на кредиты (задание № 17). Урок 1

Цель: познакомить учащихся с экономическими задачами на кредиты (задание №17), научить решать задачи такого типа.

Сегодня мы познакомимся с вами с экономическими задачами на кредиты. Давайте вспомним теоретический материал, с которым мы работали ранее.

«Процент от числа — это сотая доля этого числа. Задача найти p% от a, эквивалентна задаче вычислить произведение или . Например, вычисляя 6% от 150, получаем: . Справедливы следующие утверждения:

1. Если некоторое число aувеличить на p%, то получим .

2. Если некоторое число a уменьшить на p%, то получим .

3. Если некоторое число a увеличить на %, а полученный результат

уменьшить на %, то получим .

4. Положенная в банк под p% годовых начальная сумма черезn летс учетом процентов достигнет величины » [8].

Задача № 1. «15 января Петр планирует взять кредит в Светбанке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Таблица2

Найдите наименьшее значение r, при котором Петру в общей сумме придётся выплатить больше 1,5 млн рублей» [8].

Решение:

Для удобства в решении составим таблицу:

Пусть– выплаты Петра каждый месяц.

Таблица3

Так как Петру в общей сумме надо выплатить больше 1,5 млн рублей, то

Найдем выплату : . Остальные выплаты находим точно также. Подставим найденные выплаты в неравенство:

Ответ: 14.

Задача № 2. «15 января Карина планирует взять кредит в Оптбанке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Таблица4

Найдите наибольшее значение r, при котором Карине в общей сумме придётся выплатить меньше 1,6 млн рублей» [8].

Задача № 3. «15 января Василиса планирует взять кредит в Светбанке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Таблица5

Найдите наименьшее значение r, при котором Василисе в общей сумме придётся выплатить больше 1,4 млн рублей»[8].

Тема 5. Экономические задачи на кредиты (задание № 17). Урок 2

Цель: отработка навыков решения задач на тему «Экономические задачи на кредиты (задание № 17)».

Задача № 1. «В июле 2017 года Давид планирует взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата следующие:

- каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

- выплата должна производиться один раз в год с февраля по июнь;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Таблица6

Найдите наибольшее значение S, при котором  каждая из выплат Давида будет меньше 5 млн рублей» [8].

Решение:

Для решения составим таблицу:

Таблица7

Пусть– выплаты Давида каждый год. Так как каждая из выплат Давида будет меньше 5 млн. рублей, то:

Ответ:7 млн. рублей.

Задача № 2. «В июле 2017 года Акакий планирует взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата следующие:

- каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

- выплата должна производиться один раз в год с февраля по июнь;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Таблица8

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат Акакия будет меньше 4 млн рублей» [9].

Задача № 3. «31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 6409000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5 %), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг двумя равными платежами (то есть за 2 года)?» [8].

Решение:

Составим таблицу:

Пусть Х р. – выплата в каждый год.

Таблица9

Ответ:3 817 125 руб.

Тема 5. Экономические задачи на кредиты (задание № 17). Урок 3

Цель: отработка навыков решения задач на тему «Экономические задачи на кредиты (задание № 17)».

Задача № 1. «31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 6 902 000 рублей в кредит под 12,5% годовых. Схема выплат кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5%), затем Алексей переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма x, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)» [8].

Для решения следующих задач нам необходимо вспомнить формулу суммы арифметической прогрессии.

Задача № 2. «15 января планируется взять кредит в банке на сумму 1,8 млн рублей на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года кредитования?»[8].

Решение:

Для удобства в решении составим таблицы:

Таблица10

Продолжение таблицы 12

Таблица11

Сумма в течение первого года кредитования:

Ответ: 1 233 000 рублей.

Задача № 3. «15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 466,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?» [8].

Тема 5. Экономические задачи на кредиты (задание № 17). Урок 4

Цель: обобщить и систематизировать знания учащихся по теме «Экономические задачи на кредиты (задание № 17)», закрепить навык решения таких задач, проверить умение решать задачи такого типа.

Задача № 1. «15 января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение первого года кредитования нужно вернуть банку 822 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение второго года кредитования?» [8].

Проверочная работа.

№ 1. «15-го января планируется взять кредит в банке на 24 месяца. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что в течение второго года (последних 12 месяцев) кредитования нужно вернуть банку 1695 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?»[8].

№ 2. «В июле 2017 года Давид планирует взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата следующие:

- каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

- выплата должна производиться один раз в год с февраля по июнь;

- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Таблица12

Найдите наибольшее значение S, при котором  каждая из выплат Давида будет меньше 5 млн рублей» [8].

№ 3. «15 января Василиса планирует взять кредит в Светбанке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата следующие:

- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r — целое число;

- выплата должна производиться один раз в месяц со 2-го по 14-е число каждого месяца;

- 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

Таблица13

Найдите наименьшее значение r, при котором Василисе в общей сумме придётся выплатить больше 1,4 млн рублей» [8].

Тема 6. Контрольная работа.

Цель: проверить умение учащихся решать задачи на проценты.

Задача № 1. Майка стоила 300 рублей. После снижения цены она стала стоить 100 рублей. На сколько процентов была снижена цена на майку?

(66,66 %)

Задача № 2. Один пылесос дороже четырех веников на 8 %. На сколько процентов пять таких же веников дороже пылесоса?

Задача № 4. «Василий кладет в банк 1 000 000 рублей под 10% годовых на 4 года (проценты начисляются один раз после истечения года) с правом докладывать три раза (в конце каждого года после начисления процентов) на счет фиксированную сумму 133 000 рублей. Какая максимальная сумма может быть на счете у Василия через 4 года?» [8].

Задача № 5. «31 декабря 2013 года Сергей взял в банке 6409000 рублей в кредит под 12,5 % годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 12,5 %), затем Сергей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Сергей выплатил долг двумя равными платежами (то есть за 2 года)?»[8].

Тема 7. Разбор контрольной работы. Работа над ошибками.

Цель: разобрать задачи из контрольной работы, проанализировать ошибки, допущенные учениками при решении задач.

На этом уроке учитель вместе с учениками разбирают задачи и анализируют ошибки, допущенные при решении задач.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1. Математика. 5 класс. : учеб. для учащихся общеобразоват. учереждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд – 31-е изд. – М. : Мнемозина, 2013. – 280 с.

6. Математика. 5 класс. : учебник для учащихся общеобразовательных организаций / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонский, М. С. Якир. – М. : Вентана-Граф, 2013. – 304 с.

7. Математика. 6 класс. Часть 1.: учебник для учащихся общеобразовательных организаций / Г. В. Дорофеев, Л. Г. Петерсон. – М. : Издательство «Ювента», 2010. – 112 с.

8. Сдам ГИА: Решу ЕГЭ [Электронный ресурс] : портал. – Режим доступа : https://ege.sdamgia.ru/ (дата обращения: 25.04.2019).

9. ЕГЭ. Математика. Профильный уровень : типовые Е 31 экзаменационные варианты : 36 вариантов / под ред. И. В. Ященко – М. : Издательство «Национальное образование», 2018. – 256 с.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/634820-jelektivnyj-kurs-zadachi-na-procenty-dlja-pod