Практическое применение логарифмов

ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГАРИФМОВ

СЦЕНАРНЫЙ ПЛАН УЧЕБНОГО ЗАНЯТИЯ

• 1. 1. Этап мотивации (самоопределения) к учебной деятельности(1 мин)

Слайд 1.

Студенты встали со звонком.

Преподаватель: Здравствуйте! Садитесь.

Студенты сели на свои места по просьбе преподавателя.

Преподаватель: Давайте вспомним, что мы изучали на последних занятиях.

Студенты: Преобразование логарифмических выражений, решение логарифмических уравнений.

Преподаватель: Совершенно верно.

Преподаватель: Сегодня у нашего урока есть одна очень интересная особенность: все задания и изображения для него сгенерированы при помощи искусственного интеллекта. По мнению ИИ урок сегодня будет выглядеть так как на данном изображении.

Слайд 2.

А может быть для кого-то и так.

Слайд 3.

Кстати, по мнению ИИ, логарифм в виде изображения выглядит так:

Слайды 4, 5 и 6.

Выглядит несколько зловеще. Но так ли это?

2. Этап актуализации опорных знаний. Целеполагание (5 мин)

Преподаватель: Прежде чем погрузиться в мир логарифмов, примем участие в небольшой «ВеLogонке» не выходя из аудитории Слайд 7.

Задания представлены в приложении 1.

На столах у вас лежат листы с заданиями. Ваша задача «догнать велоробота-лидера». Для этого потребуется разгадать головоломку. В данной цепочке в каждом логарифме вместо квадратика подставляется результат вычисления предыдущего логарифма. Результат представить в виде последовательности верных ответов. Например, 2 – 4 – 6 – 8 – и т.д. Так как это велогонка, то работать будем на скорость, в режиме «гонка за лидером». Время выполнения ограничено. Как только кто-то из вас выполняет задание, он поднимает руку. Время на выполнение останавливается, когда задание выполняют первые пять человек.

(Задание дублируется на слайде)

Слайд 8.

Студенты выполняют задание.

Преподаватель: Сверим ответы. Правильная цепочка ответов: ½ - 2 – 2 – 2 – 1/8 – 1 – 49 – 4 – 10 – ½ - 4.

Слайд 9.

После сверки ответов к доске вызываются три студента, выполнившие данные задания первыми.

Преподаватель: Для вас ещё одно небольшое задание, все верные ответы записаны на карточках, на оборотной стороне которых написаны слоги. Задача: собрать слова, из них составить фразу или словосочетание и закрепить их на доске.

Слайд 10.

Студенты выполняют задание, прикрепляя карточки к доске. У них получаются слова «КАТАLog», «ОКРУЖАЮЩЕГО» и «МИРА».

Преподаватель: Сверимся с верным ответом.

Слайд 11.

Как вы думаете, почему на карточках именно эти слова?

Студенты: Сегодня мы узнаем, где в жизни встречаются и применяются логарифмы.

3.Актуализация знаний (4 мин)

Преподаватель: Верно. Мы с вами фактически изучили тему «Логарифмы», но остаётся один вопрос, на который ещё не ответили: где же в жизни мы встречаемся с логарифмами и каким образом полученные знания могут нам пригодиться.

Сегодня в этом мы с вами и постараемся разобраться. Запишите тему урока «Практическое применение логарифма».

Слайд 12.

Студенты записывают тему урока «Практическое применение логарифма»

Преподаватель: Работать будем следующим образом. У вас на столах лежат оценочные листы. Каждый сейчас возьмёт лист, подпишет его и будет заполнять в течение всего урока. В нем прописано, за что вы получаете баллы. Первое задание, которое вы уже сегодня выполнили, – нахождение значений логарифмических выражений. Если вы верно нашли значения всех выражений поставьте себе 11 баллов. Если допустили 1 ошибку - то 10 баллов, если две - то минус 2 балла, и т.д.

Те, кто в течение урока будут отвечать у доски, заполняю соответствующее поле.

Студенты заполняют оценочные листы.

4. Обобщение и систематизация знаний и умений (15 мин)

Преподаватель: И первый вопрос, который естественным образом возникает, встречается ли логарифм в природе, или же человек полностью выдумал данное понятие, то есть, не «сгенерировано» ли оно человеческим мозгом? Возможно, оно абсолютно искусственное?

Презентация «КатаLogокружающего мира»

Доклад делает студент, который получил данное задание ранее.

Слайды 12-36.

Преподаватель: После данной презентации, согласны ли вы с искусственным интеллектом, который сгенерировал логарифм в виде такой мрачной картинки?

Студенты: Нет, мир логарифмов разнообразен и ярок, этот мир никак нельзя назвать мрачным.

Слайд 37.

Преподаватель: Действительно, с логарифмами мы с вами встречаемся с самого детства, даже не подозревая об этом.

Давайте же попробуем применить знания, которые мы получили ранее при решении конкретных, «жизненных» задач. Задачи, которые нам предлагает ИИ из серии «Жду, когда пригодится в жизни математика».

Слайд 38.

Будьте внимательны, я в любой момент вызову любого из вас для того, чтобы продолжить решение.

Преподаватель: Первая задача, которую нам предлагает решить ИИ – «Финансовая».

Слайд 39.

Задача 1. Денис приехал к бабушке и обнаружил её очень расстроенной. Её любимый пёсик Тишка разорвал в клочки банковские бумаги. Накануне Мария Петровна оформила кредит на ремонт 200 000 рублей, и это были те самые документы. Сегодня бабушка получила пенсию и ей важно отложить на платёж нужную сумму. Денис решил помочь Марии Петровне собрать пазл из клочков, но задача оказалась слишком сложной. Всё, что «уцелело» - это первоначальная сумма кредита, итоговая сумма к оплате – 381 325 рублей и процентная ставка – 24 % годовых. Расстроенная Мария Петровна помнила, что проценты должны были начисляться ежегодно, но не смогла вспомнить сумму ежемесячного платежа. Помогите Денису решить эту непростую задачу, то есть помочь посчитать сумму ежемесячного платежа.

Для решения данной задачи нам потребуется формула сложных процентов S=S_0*(1+i)ⁿ, где n — срок в годах, i - процентная ставка,S₀-начальная сумма, S - итоговая сумма.

Слайд 40.

Студент у доски решает задачу, остальные записывают её в своих тетрадях.

Решение:

1. Находим период кредита (в годах)

Дано:

Первоначальная сумма кредита S₀=200 000 руб.

Годовая ставка i=24%=0,24

Итоговая сумма к оплате S=381 325 руб.

Капитализация — ежегодная.

Формула сложных процентов:

S=S₀⋅(1+i)ⁿ,

где n — срок в годах.

Подставляем значения:

381325=200000⋅(1+0,24)ⁿ

381325 / 200000=1,24ⁿ

1,906625=1,24n.

Логарифмируем:

n=log_1.241,906625 = ln1,906625 / ln1,24 ≈ 0.645 / 0,215 ≈3,00.

Вывод: Период кредита — ровно 3 года (грубое округление не требуется).

2. Находим сумму ежемесячного платежа, при условии, что она фиксирована на протяжении всего периода.

381 325 / 36 ​≈ 10 593 рубля

Так как мы произвели округление в большую сторону, то крайний платёж будет немного меньше.

381 325 – (10 593*35) = 10 570 рублей.

Преподаватель: Вторая задача, которую нам предстоит решить сегодня, можно озаглавить следующим образом: «Зачем мыть руки» - это биологическая задача.

Слайд 41.

Задача 2. На немытых руках человека находится колония бактерий. Известно, что при комнатной температуре их количество растёт по закону:

N(t)=N₀⋅2^t,

где

N(t) — количество бактерий через t часов;

N₀ — начальное количество бактерий;

t — время в часах.

В начале наблюдения на руках было 500 бактерий. Санитарный инспектор считает, что руки необходимо мыть, если количество бактерий превышает 10000.

Вопросы:

1. Через сколько часов после начала наблюдения руки станут небезопасными (количество бактерий превысит 10000)?

2. Если человек помоет руки и удалит  90 % бактерий (останется 10 % от текущего количества), через сколько часов после мытья количество бактерий снова достигнет опасной отметки (10000)?

Слайд 42.

Студент у доски решает задачу, остальные записывают ее в своих тетрадях.

Решение.

1. Находим время до превышения опасной отметки

Подставляем в формулу:

10000=500⋅2^t.

Делим обе части на 500:

20=2^t.

t=log₂20.

Вычисляем (можно через натуральный логарифм):

t=ln20 / ln2≈ 2,9957 / 0,6931≈4,32 часа.

Ответ на вопрос 1:

Руки станут небезопасными через ≈ 4,32 часа (или 4 часа 19 минут).

2. Находим время после мытья рук

После мытья остаётся 10 % от 10000:

Nпосле мытья0,1⋅10000=1000 бактерий.

Теперь ищем t, при котором количество снова достигнет 10000:

10000=1000⋅2^t

10=2^t.

t= log₂10 = ln10 / ln2 ≈ 2,3026 / 0,6931 ≈ 3,32 часа.

Ответ на вопрос 2:

После мытья рук бактерии снова достигнут опасной отметки через ≈ 3,32 часа (или 3 часа 20 минут).

Вывод: Заметим, что эти данные мы рассчитали при условии, что новые бактерии на руки не попадают. И даже после мытья рук бактерии быстро размножаются — важно соблюдать гигиену регулярно!

Слайд 43.

5. Применение знаний и умений в новой ситуации (15 мин)

Преподаватель: Далее самостоятельная работа. У каждого из вас на столах лежат листы с задачами на составление логарифмического уравнения. Решение этих задач также предложено на этих листах. Ваше задание заключается в том, чтобы проанализировать решение, найти ошибку, если она есть и исправить её.

Приложение 3.

1 вариант.

Задача про радиоактивный распад (на примере цезия‑137 после аварии на Чернобыльской АЭС).

После аварии на Чернобыльской АЭС некоторые участки оказались загрязнены изотопом цезия‑137. Период полураспада цезия‑137 составляет 30 лет. На одном из участков концентрация цезия‑137 превышала допустимую норму в 1000 раз. Через сколько лет (точнее, через сколько периодов полураспада) уровень загрязнения снизится до нормы? Ответ округлите до целого числа.

Решение.

Закон радиоактивного распада: Масса радиоактивного вещества через время t описывается формулой:

m(t)=m₀ ⋅2^−t/T,

где:

m₀ — начальная масса (концентрация) вещества,

T — период полураспада (30 лет для цезия‑137),

t — время, прошедшее с момента загрязнения.

Когда загрязнение станет допустимым?

Нам нужно найти время t, когда m(t)=m₀/1000 (концентрация упадёт в 1000 раз).

Подставляем в формулу:

m₀/1000 = m₀⋅2^−t/30.

Упрощаем уравнение: 1/1000 = 2^−t/30

1000 = 2^t/30

По определению логарифма:

t/30 = log₂1000

t = 30*log₂1000.

Вычисляем log₂1000, используем формулу перехода к другому основанию:

log₂1000=ln1000 + ln2 ≈ 7,1578 + 1,3931 ≈ 8,5509

Находим t: t≈30⋅8,5509≈ 256,527 лет.

Число периодов полураспада

Чтобы узнать, сколько это периодов полураспада (T=30 лет), делим t на T:

t /T = 256,527 / 30 ≈ 8,5509.

Округляем до целого: 9 периодов полураспада.

Ответ: Участки местности вновь можно считать удовлетворяющими норме через 9 периодов полураспада (около 257 лет).

Вариант 2. Уровень шума

Уровень шума от дорожного движения — 80 дБ, а от шёпота — 30 дБ. Во сколько раз интенсивность первого звука превышает интенсивность второго? (Связь уровня звука в децибелах (дБ) с интенсивностью звука: L=10⋅log₁₀(I /I₀), где: L — уровень звука в дБ;

I — интенсивность звука (в Вт/м²);

I₀ — пороговая интенсивность звука (опорная величина, 10−12 Вт/м²), которую человеческое ухо едва воспринимает.)

Решение:

1. Запишем формулы для обоих уровней звука

Для дорожного движения (L₁=80 дБ):

80=10⋅log₁₀(I₁/I₀).

Дляшёпота (L₂=30 дБ):

30=10⋅log₁₀(I₂/I₀).

2. Выразим логарифмы

Разделим обе части каждого уравнения на 10:

log₁₀( I₁/I₀)=8, log₁₀( I₂/I₀)=3.

3. Найдём отношение интенсивностей

Нам нужно найти I₁/I₂.

log₁₀( I₁/I₀) / log₁₀( I₂/I₀) = 8/3

log₁₀(( I₁/I₀) :( I₂/I₀)) = log₁₀( I₁/ I₂) = 8/3

4. Уберём логарифм. По определению логарифма:

I₁/I₂ =10^8/3= ≈ 464,16.

Ответ: Интенсивность звука от дорожного движения превышает интенсивность шёпота почти в 465 раз.

Студенты выполняют самостоятельную работу. Преподаватель ходит по рядам и консультирует студентов.

После выполнения преподаватель вызывает двух студентов, согласно вариантам, чтобы озвучить ответ и сделать вывод по задаче. Образец решения на слайде.

Вариант 1. Слайд 44.

Зачитывается условие.

Слайд 45.

На слайд выводится верное решение.

Слайд 46.

У 1 варианта должно было получиться 10 периодов полураспада (около 299 лет), а у второго - 100 000 раз.

Вариант 2. Слайд 47.

Зачитывается условие.

Слайд 48.

На слайд выводится верное решение.

Слайд 49.

У 1 варианта: интенсивность звука от дорожного движения превышает интенсивность шёпота в 100 000 раз. Ошибка допущена при применении свойств логарифма.

Преподаватель: Те, кто нашёл ошибки в решении, получают 1 балл в оценочном листе, а кто их исправил и привёл в тетради верное решение, получает 2 балла.

Студенты заполняют оценочный лист.

6. Подведение итогов учебного занятия. Рефлексия (5 мин)

Слайд 50.

Преподаватель: Подведём итоги. Что сегодня на уроке мы узнали нового?

Студенты: Рассмотрели применение логарифмических уравнений к решению задач, эти задачи очень различны. Логарифм широко применяется.

Преподаватель оценивает работу студентов на уроке, выставляет отметки, согласно индивидуальным оценочным листам.

Преподаватель: Поднимите руку те, кто набрал за урок 14-15 баллов.

Студенты поднимают руку.

Преподаватель: Вы на уроке отлично поработали и получаете отметку «5».

Поднимите руку те, кто набрал от 11-13 баллов.

Студенты поднимают руку.

Преподаватель: Вы заработали отметку «4». Все, кто получил менее получают сегодня «3».

Преподаватель:

Тема сегодняшнего занятия была «Практическое применение логарифмов». Я предлагаю вам подвести итог нашей битвы сегодня с ИИ.

Слайд 51.

У вас на столах остался ещё один лист, который мы сегодня не использовали, на нём QR-код (он дублируется на экране). Предлагаю вам пройти по ссылке и проголосовать.

Вам откроется ещё несколько сгенерированных картинок. Необходимо отметить ту, которая вам ближе по настроению на уроке сегодня.

Слайд 52.

Информация по голосованию выводится на экран.

Преподаватель: Вы все сегодня хорошо поработали. Я очень надеюсь, что знания и умения, которые вы приобретаете на уроках математики, не раз пригодятся вам в жизни. Ведь мы сегодня продвинулись выше по логарифмической спирали наших знаний.

ИИ, в свою очередь, предложил нам такую картинку на эту тему.

Слайд 53.

Урок окончен. До свидания.

Приложение 1

Приложение 2

Оценочный лист

_________________________ (фамилия имя)

Приложение 3.

1 вариант.

2 вариант.

Приложение 4.

Эталоны решения задач самостоятельной работы

1 вариант.

Задача про радиоактивный распад (на примере цезия‑137 после аварии на Чернобыльской АЭС). (изображение 11)

После аварии на Чернобыльской АЭС некоторые участки оказались загрязнены изотопом цезия‑137. Период полураспада цезия‑137 составляет 30 лет. На одном из участков концентрация цезия‑137 превышала допустимую норму в 1000 раз. Через сколько лет (точнее, через сколько периодов полураспада) уровень загрязнения снизится до нормы? Ответ округлите до целого числа.

Решение.

Закон радиоактивного распада
Масса радиоактивного вещества через время t описывается формулой:

m(t)=m₀ ⋅2^−t/T,

где:

m₀ — начальная масса (концентрация) вещества,

T — период полураспада (30 лет для цезия‑137),

t — время, прошедшее с момента загрязнения.

Когда загрязнение станет допустимым?
1. Нам нужно найти время t, когда m(t)=m₀/1000​ (концентрация упадёт в 1000 раз).

Подставляем в формулу:m₀/1000 = m₀⋅2^−t/30.

Упрощаем уравнение: 1/1000 = 2^−t/30

1000 = 2^t/30

По определению логарифма:

t/30 = log₂1000

t = 30*log₂1000.

Вычисляем log₂1000, используем формулу перехода к другому основанию:log₂1000=ln1000 / ln2 ≈ 6,9078 / 0,6931 ≈9,9658.

(Можно также запомнить, что 2¹⁰=1024≈1000, поэтому log₂1000≈10.)

Находим t: t≈30⋅9,9658≈298,97 лет.

2.Число периодов полураспада
Чтобы узнать, сколько это периодов полураспада (T=30 лет), делим t на T:

t /T = 30*298,97 ≈ 9,9658.

Округляем до целого: 10 периодов полураспада.

Ответ: Участки местности вновь можно считать удовлетворяющими норме через 10 периодов полураспада (около 299 лет).

2 вариант. Уровень шума

Уровень шума от дорожного движения — 80 дБ, а от шёпота — 30 дБ. Во сколько раз интенсивность первого звука превышает интенсивность второго? (Связь уровня звука в децибелах (дБ) с интенсивностью звука: L=10⋅log₁₀(I /I₀), где: L — уровень звука в дБ;

I — интенсивность звука (в Вт/м²);

I₀ — пороговая интенсивность звука (опорная величина, 10−12 Вт/м²), которую человеческое ухо едва воспринимает.)

Решение:

1. Запишем формулы для обоих уровней звука

Для дорожного движения (L₁=80 дБ):

80=10⋅log₁₀(I₁/I₀).

Дляшёпота (L₂=30 дБ):

30=10⋅log₁₀(I₂/I₀).

2. Выразим логарифмы

Разделим обе части каждого уравнения на 10:

log₁₀( I₁/I₀)=8, log₁₀( I₂/I₀)=3.

3. Найдём отношение интенсивностей

Нам нужно найти I₁/I₂​​.

Для этого вычтем второе уравнение из первого:

log₁₀( I₁/I₀) − log₁₀( I₂/I₀) = 8−3 =5.

Используем свойство логарифмов:  loga−logb=log(a/b):

log₁₀(( I₁/I₀) : ( I₂/I₀)) = log₁₀( I₁/ I₂) = 5

4. Уберём логарифм. По определению логарифма:

I₁/I₂ =10⁵=100.000.

Ответ: Интенсивность звука от дорожного движения превышает интенсивность шёпота в 100.000 раз.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/635355-prakticheskoe-primenenie-logarifmov