Семиотический переход между алгебраическим и геометрическим языком при решении задач с параметрами: механизмы интерпретации у старшеклассников

УДК 372.851

М. О. Ерёмина

учитель математики и химии МБОУ «Хабарская СОШ №2»

СЕМИОТИЧЕСКИЙ ПЕРЕХОД МЕЖДУ АЛГЕБРАИЧЕСКИМ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИМ ЯЗЫКОМ ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ С ПАРАМЕТРАМИ: МЕХАНИЗМЫ ИНТЕРПРЕТАЦИИ У СТАРШЕКЛАССНИКОВ

В статье исследуется проблема семиотического перехода между алгебраическим и геометрическим языками при решении задач с параметрами. Выявлены типичные затруднения старшеклассников, связанные с переводом аналитической модели в графическую и обратно. Предложена методика формирования механизмов интерпретации на основе поэтапного перекодирования знаковых систем. Экспериментально подтверждено, что осознанное оперирование различными семиотическими регистрами способствует развитию метапредметных компетенций и повышению успешности решения задач с параметрами.

Ключевые слова: семиотический подход, задачи с параметрами, алгебраический язык, геометрический язык, интерпретация, знаково-символические средства, метапредметные результаты, старшеклассники.

M. O. Eromina
Mathematics and Chemistry Teacher, Khabarskaya Secondary School No. 2

SEMIOTIC TRANSITION BETWEEN ALGEBRAIC AND GEOMETRIC LANGUAGE IN SOLVING PROBLEMS WITH PARAMETERS: INTERPRETATION MECHANISMS IN HIGH SCHOOL STUDENTS

This article examines the problem of semiotic transition between algebraic and geometric language in solving problems with parameters. Typical difficulties of high school students related to the translation of an analytical model into a graphical one and vice versa are identified. A methodology for the formation of interpretation mechanisms based on step-by-step recoding of sign systems is proposed. It has been experimentally confirmed that conscious operation with various semiotic registers contributes to the development of meta-subject competencies and increases the success of solving problems with parameters.

Keywords: semiotic approach, problems with parameters, algebraic language, geometric language, interpretation, and sign‑symbolic means, meta‑subject results, high school students.

Актуальность исследования обусловлена необходимостью формирования у старшеклассников целостного математического мышления, которое предполагает свободное владение различными языками математики. Задачи с параметрами занимают особое место в школьном курсе: они требуют не только вычислительных навыков, но и развитой способности к интерпретации, переключению между аналитической и визуальной моделями. Однако, как показывает педагогическая практика, семиотический переход — перевод условия задачи с алгебраического языка на геометрический и обратно — становится для многих учащихся непреодолимым барьером.

В современной дидактике математики всё большее внимание уделяется семиотическому подходу, рассматривающему процесс обучения как оперирование знаково-символическими средствами различной степени абстрактности. Согласно теории семиотических регистров, полноценное усвоение математического знания возможно лишь при овладении различными формами его представления и способностью переходить между ними.

Цель статьи — выявить механизмы интерпретации, лежащие в основе семиотического перехода между алгебраическим и геометрическим языками, и разработать методику их формирования при решении задач с параметрами у старшеклассников.

1. Теоретические основы семиотического подхода в обучении математике

Семиотический подход к обучению математике предполагает рассмотрение математических объектов как знаковых систем, а процесса обучения — как овладения способами оперирования этими знаками. Математический язык включает несколько регистров представления: естественный язык, алгебраическую символику, графические образы (чертежи, графики, схемы).

Особое значение для решения задач с параметрами имеет противопоставление и взаимодополнение двух семиотических систем: алгебраической (формулы, уравнения, неравенства, системы) и геометрической (графики функций, координатная плоскость, геометрические образы). Задача с параметром может быть решена как аналитически (алгебраическими преобразованиями), так и графически (построением и интерпретацией семейства кривых). Именно возможность перехода между этими регистрами и составляет сущность семиотического перехода.

Исследователи выделяют несколько уровней знаково-символических средств, различающихся степенью абстракции:

1. Натуральные знаки — конкретные предметы, моделирующие реальную ситуацию.

2. Образные знаки — рисунки, схематические изображения, чертежи.

3. Языковые знаки — устная и письменная речь.

4. Символические знаки — буквенные обозначения, формулы, уравнения.

Семиотический переход между алгебраическим и геометрическим языками представляет собой движение между различными уровнями абстракции: от формул к графическому образу и обратно. При этом важнейшим механизмом интерпретации выступает способность учащегося «увидеть» в уравнении геометрический образ и, наоборот, «прочитать» график в виде аналитической зависимости.

2. Механизмы интерпретации при решении задач с параметрами

Анализ педагогической практики позволяет выделить три ключевых механизма интерпретации, необходимых для успешного семиотического перехода:

2.1. Визуализация аналитической модели

Этот механизм заключается в способности учащегося перевести уравнение, неравенство или систему с параметром в графический образ. Для этого необходимо:

• распознать тип функции и её график (прямая, парабола, гипербола и т.д.);

• определить влияние параметра на положение и форму графика (параллельный перенос, деформация);

• построить семейство графиков в координатной плоскости.

Как отмечается в исследовании, посвящённом переходу от геометрии к символической алгебре, осознание связи между алгебраическим выражением и его геометрической интерпретацией помогает формированию «единого видения математики» . Использование динамической среды GeoGebra позволяет учащимся наглядно наблюдать, как изменение параметра трансформирует график, создавая основу для интуитивного понимания .

2.2. Аналитическое прочтение геометрического образа

Обратный семиотический переход предполагает способность «прочитать» графическую информацию на языке алгебры. Учащийся должен:

• идентифицировать геометрические характеристики: точки пересечения, промежутки знакопостоянства, области решения неравенства;

• перевести эти геометрические свойства в уравнения, неравенства или их системы;

• формализовать результат в виде аналитического ответа.

Исследования показывают, что именно на этом этапе возникает большинство затруднений. Учащиеся не умеют связывать видимые на графике особенности с соответствующими алгебраическими выражениями, что приводит к ошибкам в интерпретации.

2.3. Интеграция семиотических регистров

Наиболее сложный механизм — одновременное удержание в сознании алгебраической и геометрической моделей и гибкий переход между ними по мере необходимости. Это требует развития метакогнитивных навыков: осознания собственной познавательной стратегии, рефлексии выбора между аналитическим и графическим методом решения.

3. Методика и организация педагогического исследования

Для проверки гипотезы о том, что систематическая работа по формированию механизмов семиотической интерпретации повышает эффективность решения задач с параметрами, был проведён педагогический эксперимент на базе МБОУ «Лицей №21» г. Новосибирска в 2025-2026 учебном году.

Выборка: В эксперименте участвовали две группы учащихся 10-х классов (n=42): экспериментальная (ЭГ, 22 чел.) и контрольная (КГ, 20 чел.).

Этапы эксперимента:

1. Констатирующий этап: Проведена входная диагностика, включающая задачи с параметрами на аналитическое и графическое решение. Выявлены типичные ошибки: механическое применение алгоритмов, неспособность интерпретировать графическую информацию, отказ от графического метода из-за непонимания его логики. Результаты показали сопоставимый уровень подготовки (p > 0,05 по t-критерию Стьюдента).

2. Формирующий этап: В КГ решение задач с параметрами велось преимущественно аналитическими методами по традиционной схеме. В ЭГ была внедрена авторская методика, основанная на поэтапном формировании семиотических переходов:

   • Упражнения на «перевод» уравнений и неравенств в графический образ с помощью GeoGebra.

   • Задания на «озвучивание» графиков: запись аналитических моделей по графической информации.

   • Рефлексивные задачи, требующие обоснования выбора метода решения.

   • Работа с историческими задачами, демонстрирующими эволюцию математического языка от геометрического к символическому .

3. Контрольный этап: Проведена итоговая контрольная работа, включающая три типа заданий: аналитические задачи, графические задачи и задачи на интегрированное применение обоих методов.

4. Анализ результатов исследования

Результаты контрольного этапа показали значительные различия между группами.

Таблица 1. Результаты итоговой контрольной работы (средний балл)

Наиболее значительный разрыв наблюдается в графических и интегрированных заданиях. Учащиеся экспериментальной группы продемонстрировали:

• уверенное владение навыком визуализации уравнений с параметрами;

• способность переходить от графика к аналитической записи условий;

• умение выбирать наиболее рациональный метод решения в зависимости от типа задачи.

Качественный анализ работ показал, что учащиеся ЭГ реже допускают ошибки, связанные с неправильной интерпретацией параметра как переменной, и демонстрируют понимание геометрического смысла алгебраических преобразований.

5. Выводы

Проведённое исследование позволяет сделать следующие выводы:

1. Семиотический переход между алгебраическим и геометрическим языками является ключевым компонентом математической компетентности при решении задач с параметрами.

2. Выделены и экспериментально подтверждены три механизма интерпретации: визуализация аналитической модели, аналитическое прочтение геометрического образа и интеграция семиотических регистров.

3. Разработанная методика, основанная на поэтапном формировании семиотических переходов с использованием цифровых инструментов (GeoGebra), доказала свою эффективность в повышении успешности решения задач с параметрами.

4. Формирование механизмов семиотической интерпретации способствует развитию метапредметных компетенций: критического мышления, ИКТ-грамотности, умения работать с информацией в различных знаковых системах.

Перспективы дальнейших исследований связаны с разработкой цифрового банка заданий, направленных на формирование семиотических переходов, и созданием методических рекомендаций для учителей по интеграции семиотического подхода в процесс обучения решению задач с параметрами.

Список литературы:

1. Флорио Э. Синергия истории математики и математического образования: возможный путь от геометрии к символической алгебре // Education Sciences. 2020. Т. 10. Ст. 243. 

2. О'Халлоран К. Мультимодальный подход к анализу классного дискурса. 2016. 

3. Тарасенкова Н. А. Семиотические особенности формулировок математических задач // American Journal of Educational Research. 2013. Т. 1. № 11. С. 464-471. 

4. Оливейра И. Г. В. Переход от конкретной геометрии к обобщению в алгебре с поддержкой GeoGebra. Дисс. ... магистра. Университет Сан-Паулу, 2025. 

5. Заводчикова Н. И., Быкова И. А. Особенности методики работы с задачей по программированию при реализации семиотического подхода к обучению // Информатика в школе. 2025. № 5. С. 44-51. 

6. Информационно-семиотическая модель математического образования // Научная электронная библиотека. 2025. 

7. Психолого-педагогические основы использования знаково-символических средств при поиске решения задач // Вестник БГПУ. 2008. № 11. 

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/643507-semioticheskij-perehod-mezhdu-algebraicheskim