Квадратные уравнения: от неполных форм до графического решения

Разработка темы:

Решение квадратных уравнений

Учитель – Тхайшаова Н.Г.

Тема: Квадратные уравнения. Способы их решения.

Цель: Научить решать квадратные уравнения различного вида разными способами.

Количество часов уроков: 2 урока (спаренные ).

План

Повторение темы «Линейные уравнения»

Новый материал. Тема: «Квадратные уравнения»

Полные квадратные уравнения;

Неполные квадратные уравнения;

Из истории квадратных уравнений;

Решение неполных квадратных уравнений;

Способ выделения квадрата двучлена при решении полных кв. уравнений;

Графический способ решения полных квадратных уравнений;

Вывод формул для решения полных кв. уравнений;

Теорема Виетта (для полных кв. уравнений приа=1 и при а≠1)

Обобщение темы.

Задания к зачету.

Викторина.

Итог урока и домашнее задание.

Ход урока.

Вспомним виды уравнений.

(я пишу уравнение, а ребята называют его вид)

5х-3=2+4х

3х²-14=8х-х²

х³+27=0

ах+в=с-х

ах²+вх=с

Сделаем вывод, что такое уравнение. Всякое равенство, содержащее неизвестную величину, обозначенную какой-либо буквой, называется уравнением.

Так что же такое решить уравнение? Решить уравнение – это значит найти все его корни или убедиться в их отсутствии.

Например: уравнение ½=0 не имеет решения.

Для решения уравнений вызываю трех учеников.

3х-2=5х+4

Ответ: х=-3

|х-1 | +2=3

решение: |х-1 |=

Следовательно, решение уравнения разбивается на решение двух систем.

а)

не является решением уравнения, т.к. 0,5<1

в)

Т.к. ¾<1, то x=¾ является решением уравнения.

Ответ: ¾

(3х+4в)+(7в+2х)=13в и указать при каких «в» корень уравнения положительное число.

х=16в, при в>0 корень уравнения х >0

Ответ: 16в, корень уравнения положительное число, при в>0.

Новый материал.

Изучение темы «Квадратные уравнения»

Что же такое квадратные уравнения? Какие они бывают? (даем опрос)

Уравнения вида ах²+вх=0 ,ах²=0,ах²+с=0 , где а, в, с – некоторые числа, отличные от нуля, называются неполными квадратными уравнениями.

Немного истории.

Рассмотрим решение неполных квадратных уравнений.

а) ,

где (- ) < 0

Пример 8х²-8=0

х²=1

х=±1

Ответ: +1

2х²=0

х²=0/2

х²=0/2

х²=0

х=0

Ответ: х=0

в)

Пример5х²-2х=0

х(ах+в)=0

х=0 или х=0,4

Ответ: 0; 0,4

Пример 1 решить уравнение

х²+ 8х - 33=0 (а≠в)²=а²+2ав+в²

х²+ 8х – 33 = (х²+ 2х × 4+16) – 16 - 33=(х+4)²- 49

(х+4)²- 49=0

(х+4)²= 49

х+4=±

х+4 = ±7

х = -4±7

итак х₁=-4+7

х₁=3

х₂=-4-7

х₂=-11

Ответ: 3; -11

Пример 2 решить уравнение

2х²- 9х+4=0

2(х²- х+2)=0 равноценно уравнению х²- х+2=0

х²- +2=(х²- 2х + ) - + 2 = (х - )²- = (х - )²-

(х - )²- = 0

х₁= + = 4

х₂= - =0,5

Ответ: 4; 0,5

Графический способ решения уравнения

Вывод формул для решения неполных квадратных уравнений.

Если в=2к, то формула (2) примет вид:

, где Д = к²- ас

Пример1 2х²-5х+2=0

х₁=2

х₂=0,5

Пример 2 х²-6х+9=0

в=6 - четное число

к=-6÷2=-3

Д=0

х= = =3

Любое квадратное уравнение (полное) можно привести к виду x²+pх+q делением обеих частей уравнения на q≠0.Такое уравнение называется приведенным квадратным уравнением. Корни приведенного квадратного уравнения можно найти по формуле

где а=1; в=р; с=q

Пример 2х²- 8х - 42=0

х²+ 4х - 21=0

Используя формулу (1) получим

х₁=3; х₂=-7

Ответ: 3; -7

Рациональные корни квадратных уравнений нетрудно находить устно, использовав теорему Виетта.

Теорема Виетта:

Теорема Виетта для приведения квадратного уравнения.

х²+px-q=0

х₁+x₂=-p

х₁*x₂=q

Свести данное уравнение

ах²+вх+с=0

у²+ву+ас=0

а²х²+вах+ас=0 умножить обе части на «а» и обозначить ах=у

у²+ву+ас=0 1)решить по теореме Виетта

2)разделить каждый корень на «а»

Примеры 2х²-3х-9=0

(2х)²-3*2х-18=0/2

2х=у

у²-3у-18=0

у₁=-3; у₂=6

х₁=- ; х₂=3

4х²-х-5=0/4

(4х)²-4х-20=0

4х=у

у²-у-20=0

у₁= 5; у₂= - 4

х₁= =1 ¼; х₂= - = - 1

а – в + с = 0; х₁ = - 1 ; х₂ = -

Ответ : 1 ¼; -1

Обобщение темы.

Сделаем обобщение пройденной на уроке темы в виде таблиц, которые занесем в карточки индивидуального пользования.

Таблица 1. Полные квадратные уравнения.

Таблица 2. Неполные квадратные уравнения.

Таблица 3. Теорема Виетта.

Задания к зачету.

Запишем уравнения для самостоятельного решения.

3х+8=18-2х

5 - |1-3х | = 4х

(2х - 4а)+(4х + 5а)=19а

х²- 11х - 60=0

х²- 6х + 9=0

2х²- 5х + 2=0

- 4х²+7х + 2=0

25=26х - х²

- 11х=11

=

0,7х²=1,3х+2

х²=2х-7

у²-10у-25=0

299х²+100х=500-101х2

3р²+3=10р

4х²=7х+7,5

(3х-1)(х+3)=х(1+6х)

5х²=0

6х²-16х=0

7х²+5=0

8х²-1=0

3х²-3х+1=0

2х²-3х-1=0

у²=52у-576

(х+1)²=7918-2х

Викторина.

Теперь, когда мы закончили изучение темы урока, проведем небольшую викторину.

(за верный ответ выдается красный жетон. Ученикам, имеющим 10 жетонов ставится «5», имеющим 8,9 жетонов – «4».)

Вопросы викторины.

Как называется уравнение? (показываю заранее подготовленные карточки).

Уравнения: а) 5х²- 6х+1=0

б) х²-7х+5=0

в) 5х²-1=0

Ответ: а) полное квадратное уравнение

б) приведенное квадратное уравнение

в) неполное квадратное уравнение

Как называется выражение и какой буквой обозначается. (показываю карточки).

Выражение: а)в²-4ас

б)к²-ас

а) Д₁ дискриминант

б) Д₁ дискриминант

Указать правильный ответ при решении уравнения.

5х²+3=0

Решений нет

±

±

Решить устно:

х²+16х+63=0

9; 7

-9; 7

-7; 9

-7; -9

Решить устно:

3х²-4х-4=0

6; -2

2; -6

- ; 2

; -2

Назвать корни квадратного уравнения:

х²-4х+3=0

3; 1

21

1; 2; 3

1; 2

Решить уравнение

3х²-7х+4=0

1 ; 1

-1 ; -1

-1 ; 1

Правильные ответы к вопросам 3-7.

3 а) ; 4 d) ; 5 c); 6 a); 7 b)

Итог урока и домашнее задание.

Запишем домашнее задание.

Вывод формул корней квадратного уравнения.

Теорема Виетта (с доказательством)

Решить уравнения:

3(х-5) - 2х=6х

- = 1

|х - 1 | +5=6х

2(х + а)-3х=5а

8х²-1=0

8х²+8=0

5х²- 4х+5=0

5х²- 4х-1=0

х²- 4х - 5=0

2х^{2 —} 3+2=0

х²-9х-10=0

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/75136-kvadratnye-uravnenijasposoby-ih-reshenija