История возникновения обыкновенных дробей

Бюджетное образовательное учреждение города Омска

«Средняя общеобразовательная школа № 45»

«История возникновения обыкновенных дробей»

Подготовила

Леухина Ирина Юрьевна

учитель начальных классов

Омск – 2014

История возникновения обыкновенных дробей

Есть поговорка «попал в тупик», то есть попал в такое положение, откуда нет выхода. У немцев аналогичная поговорка гласит «попасть в дроби». Она означает, что человек, попавший в «дроби», попал в очень трудное положение.

Поговорка эта напоминает о тех временах, когда дроби считались самым трудным и самым запутанным отделом математики. Тот, кто не знал дробей, не признавался сведущим в арифметике. Освоить же дроби было тяжело. Даже самые образованные люди считали действия с дробями весьма трудными [1].

Необходимость в дробных числах возникла у человека на весьма ранней стадии развития. Уже дележ добычи, состоявшей из нескольких убитых животных, между участниками охоты, когда число животных оказывалось не кратным числу охотников, могло привести первобытного человека к понятию о дробном числе. Однако настоящая необходимость в этих числах возникла при измерении непрерывной величины при помощи выбранной единицы этой величины.

Первой дробью, с которой познакомились люди, была половина. Следующей дробью была треть. И у египтян, и у вавилонян были специальные обозначения для дробей и , не совпадавшие с обозначениями для других дробей.

Египтяне все дроби старались записать как суммы долей, то есть дробей вида . Например, вместоони писали + . Единственным исключением была дробь. Иногда это бывало удобно. В папирусе Ахмеса есть задача: «Разделить 7 хлебов между 8 людьми».

Современный школьник, скорее всего, решил бы задачу так: надо разрезать каждый хлеб на 8 равных частей и каждому человеку дать по одной части от каждого хлеба. А вот как эта задача решена у Ахмеса.

Поскольку = + + , то каждому человеку нужно дать по половине, четверти и восьмушке хлеба; поэтому 4 хлеба разрезали пополам, 2 хлеба – на 4 части и 1 хлеб – на 8 долей, после чего каждому человеку даём его часть. И если нашему школьнику пришлось бы сделать 49 разрезов, то Ахмесу – всего 17, то есть египетский способ почти в три раза экономичнее.

Но складывать такие дроби было неудобно. Ведь в оба слагаемых могут входить одинаковые доли, и тогда при сложении появится дробь вида .

А таких дробей египтяне не допускали. Поэтому папирус Ахмеса начинается с таблицы, в которой все дроби такого вида от до записаны в виде сумм долей. С помощью этой таблицы выполняли деление чисел. Вот, например, как 5 делили на 21:

Умели египтяне также умножать и делить дроби. Но для умножения приходилось умножать доли на доли, а потом, быть может, снова использовать таблицу. Ещё сложнее обстояло дело с делением.

Совсем иным путём пошли вавилоняне. Они были весьма искусны в обращении с дробями и работали только с шестидесятеричными дробями, используя привычную им шестидесятеричную систему счисления. Последовательность и основательность, скоторыми жители Древнего Междуречья создавали свою числовую систему, вызывают восхищение: шестидесятеричное основание они распространили не только на целые натуральные числа, но и на дроби.

Так как знаменателями таких дробей служат числа 60, 60², 60³ и так далее, но такие дроби, как , нельзя было точно выразить через шестидесятеричные: выражали через них приближенно. Так как система счисления была позиционной, они действовали с шестидесятеричными дробями с помощью тех же таблиц, что и для натуральных чисел.

Шестидесятеричными дробями, унаследованными от Вавилона, пользовались греческие и арабские математики и астрономы. Но было неудобно работать над натуральными числами, записанными по десятичной системе, и дробями, записанными по шестидесятеричной. А работать с обыкновенными дробями было уж совсем трудно.

Поэтому голландский математик Симон Стевин предложил перейти к десятичным дробям. Сначала их писали весьма сложно, но постепенно перешли к современной записи. Сейчас ЭВМ используют двоичные дроби, которые когда - то применялись и на Руси: половина, четь, полчети, пол-полчети и так далее.

Интересная система дробей была в Древнем Риме. Она основывалась на делении на 12 долей единицы веса, которая называлась асс. Двенадцатую долю асса называли унцией. А путь, время и другие величины сравнивали с наглядной вещью – весом. Например, римлянин мог сказать, что он прошёл семь унций пути или прочёл пять унций книги. При этом, конечно, речь не шла о взвешивании пути или книги. Имелось в виду, что пройдено пути или прочтено . А для дробей, получающихся сокращением дробей со знаменателем 12 или раздроблением двенадцатых долей на более мелкие, были особые названия.

Даже сейчас иногда говорят: «Он скрупулёзно изучил этот вопрос». Это значит, что вопрос изучен до конца, что ни одной самой малой неясности не осталось. А происходит странное слово «скрупулёзно» от римского названия асса – «скрупулус». В ходу были и такие названия:

«семис» - половина асса;

«сакстанс» - шестая его доля;

«семиунция» - пол-унции, то есть асса, и т.д.

Всего применялось 18 различных названий дробей. Чтобы работать с дробями, надо было для этих дробей помнить и таблицу сложения, и таблицу умножения. Поэтому римские купцы твёрдо знали, что при сложениитриенса(одна третья асса) и секстансаполучаетсясемис,а при умножении беса(две третьих асса) на сескунцию (три вторых унции, то есть одна восьмая асса) получается унция. Для облегчения работы составлялись специальные таблицы, некоторые из которых дошли до наших времён.

Из-за того, что в двенадцатеричной системе нет дробей со знаменателями 10 или 100 римляне затруднялись делить на 10, 100 и так далее. При делении1001 асса на 100 один римский математик сначала получил 10 ассов, потом раздробил асс на унции и так далее. Но от остатка он не избавился. Чтобы не иметь дела с такими вычислениями, римляне стали использовать проценты. Они брали с должниками лихву (то есть деньги сверх того, что было дано в долг). При этом говорили: не « лихва составит 16 сотых суммы долга», а «на каждые сто сестерциев долга заплатишь сестерциев лихвы». И сказано тоже самое, и дробей использовать не пришлось. Так как слова «на сто» звучали по латыни «про центум», то сотую часть и стали называть процентом. И хотя теперь дроби, а особенно десятичные дроби, известны всем, проценты все-таки применяются и в финансовых расчётах, и в планировании, то есть в различных областях человеческой деятельности. А раньше применяли ещё и промилли – так называли тысячные доли (по – латыни «про милле» - на тысячу). В отличие от процентов, которые обозначают знаком %, промилли обозначают ‰.

В греческих сочинениях по математике дробей не встречалось. Греческие учёные считали, что математика должна заниматься только целыми числами. «Если ты захочешь делить единицу, математики высмеют тебя и не позволят это делать», - писал основатель афинской Академии Платон. Возиться с дробями они предоставляли купцам, ремесленникам, а также астрономам, землемерам, механикам и другому «черному люду». Но не все древнегреческие математики соглашались с Платоном.

С дробями свободно обращались Архимед и Герон Александрийский. Даже Пифагор, со священным трепетом относившийся к натуральным числам, создавая теорию музыкальной шкалы, связал основные музыкальные интервалы с дробями. Правда, самим понятием дроби Пифагор и его ученики не пользовались. Они позволяли себе говорить лишь об отношениях целых чисел.

Но старая пословица говорит: «Гони природу в дверь – она влетит в окно». Поэтому и в строго научные сочинения греков дроби проникали. Кроме арифметики и геометрии, в греческую науку входила музыка. Музыкой греки называли учение о гармонии. Это учение опиралось на ту часть нашей арифметики, в которой говорится об отношениях и пропорциях. Греки знали: чем длиннее натянутая струна, тем ниже получается звук, который она издаёт, а короткая струна издаёт высокий звук. Но у всякого музыкального инструмента не одна, а несколько струн. Для того чтобы все струны при игре звучали «согласно», приятно для слуха, длины звучащих частей их должны быть в определённом отношении. Поэтому учение об отношениях и дробях использовалось в греческой теории музыки.

Современную систему записи дробей с числителем и знаменателем создали в Индии. Только там писали знаменатель сверху, а числитель – снизу, и не писали дробной черты. А записывать дроби в точности, как сейчас, стали арабы.

Любопытно, что во многих европейских учебниках арифметики ХVIII века раздел с дробями помещали в конце книги. Английский просветитель Джон Керси в предисловии к 16–му изданию «Арифметики» Уингета (Лондон, 1735 год) объясняет этот обычай так: «Для удобства и в интересах тех учащихся, которые хотят ознакомиться с арифметикой лишь настолько, насколько она полезна при денежных расчётах, для торговли и других подобных приложений…теперь даётся простое и полезное изложение арифметики целых чисел раньше, чем открывается доступ к крутым путям дробей, при виде которых некоторые учащиеся приходят в такое уныние, что останавливаются и восклицают:«Nonplusultra (лат.«Ничего более сверх».), дальше мы не пойдём».

Известно, что на Руси с давних пор были известны простые дроби такого вида: половина –; треть – ; полтрети – ; четверть – ; полчетверти – ; полполчетверти – .

Это значит, что ещё у древних славян были представления о количестве частей целого и об их размере.

Можно предположить, что производить самые простые действия с дробями, подобные делению яблока на 4 части, люди научились задолго до того, как они научились записывать числа.

Более сложные арифметические действия с дробями понадобились тогда, когда появилось земледелие, и возникла необходимость делить и измерять большие участки плодородных земель [2].

Таким образом,понятие положительной обыкновенной дроби прошло длительный исторический путь развития. Его возникновение обусловлено необходимостью более точного измерения величин. История данного понятия получила своё начало в Греции, а его развитием мы обязаны Индии.

Библиографический список

Кольман, Э. История математики в древности / Э. Кольман. - М.: Физматгиз, 1961. – 236 с.

Шидова, Н. В. Из истории возникновения обыкновенных дробей / Н. В. Шидова // Математика. - 1999. - №10. – с. 15.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/87959-istorija-vozniknovenija-obyknovennyh-drobej