Решение уравнений высших степеней

Елюбаева Гайша Ищановна

учитель математики

Государственное учреждение

«Айдабульская средняя школа»

село Айдабул Зерендинского района

Акмолинской области республики Казахстан

Решение уравнений высших степеней

математика

Возраст учащихся-15-16 лет

Решение уравнений высших степеней.

Общих формул нахождения корней алгебраических уравнений высших степеней нет, и поэтому об их решении говорят как об искусстве решать пример нестандартно.

Рассмотрим некоторые методы решения уравнений:

Уравнения вида а_nхⁿ+a_n-1∙x^n-1+…+a₁x+a₀=0 называется симметричными, если а_n=a₀, a_n-1=a_1;…, т.е. если равноудаленные от концов коэффициенты попарно равны.

Пример х⁴- 2х³- х²+ 1 = 0

Т.к. х=0 не является решением уравнения, то разделив обе его части на х²_,получим

Х²- 2х-1 - 2/х + 1/х²= 0

(Х²+ 1/х²) – 2 ∙ (х + 1/х) – 1 = 0

Замена: х + 1/х = а

(х + 1/х )²= а²

Х²+ 2 + 1/х ² = а²

Х²+ 1/х ² = а² – 2

а² – 2а -3 = 0

а₁=3, а₂= -1

х + 1/х = 3 2) х + 1/х = -1

х_1/2= нет решений

Ответ:

Пример х⁴- 2х³ – 6х² + 2х + 1 = 0

Ответ: 1; 2 ±

II. Уравнение вида (х+а) ∙ (х+в) ∙ (х+с) ∙ (х+d) = е сводится к квадратному, если а + в = с + d

Пример (х-4) ∙ (х-5) ∙ (х-6) ∙ (х-7) = 1680

(х-4) ∙ (х-7) ∙ (х-5) ∙ (х-6) = 1680

(Х² - 11х + 28) ∙ (Х² - 11х + 30) = 1680

Обозначим: Х² - 11х + 28 = а

а ∙ (а + 2) = 1680

а² + 2а – 1680 = 0

а₁= - 42, а₂ = 40

х² - 11х + 28 = -42 2) х² - 11х + 28 = 40

х² - 11х + 70 = 0 х² - 11х – 12 = 0

нет решений х₁ = 12 х₂= -1

Ответ: -1, 12

Пример (х + 1) ∙ (х + 2) ∙ (х + 4) ∙ (х + 5) = 40

(х + 1) ∙ (х + 5) ∙ (х + 2) ∙ (х + 4) = 40

(х² + 6х + 5) ∙ (х² + 6х + 8) = 40

Ответ: -6, 0

Пример х ∙ (х + 1) ∙ (х + 2) ∙ (х + 3) = 24

х ∙ (х + 3) ∙ (х + 1) ∙ (х + 2) = 24

(х² + 3х) ∙ (х² + 3х + 2) = 24

Ответ: -4, 1

III) Метод замены переменной

Пример х⁴ – х³ – 4х² + 2х +4 = 0

Замена: t = х -

t² - t = 0 t₁ = 0, t₂ = 0

х - = 0х - = 1

х = ± х = -1, х = 2

Ответ: ± , -1, 2

Пример х³ + 3х² + 7х + 10 = 0

Ответ: -2

4 Метод неопределенных коэффициентов.

Пример х⁴ + х³ – 8х²+ 3х + 5 = 0

Разложим многочлен х⁴ + х³ – 8х²+ 3х + 5 на два квадратных множителя:

х⁴ + х³ – 8х²+ 3х + 5 = (х² + ах + в) ∙ (х² + сх + d)

Найдем «неопределенные» целые коэффициенты а,в, с и d. Приравниваем слева и справа коэффициенты при одинаковых степенях:

Т. к. множители в последнем уравнении системы равноправны, то можно считать, что в = 1 или в = -1. При в = 1 , а + с = 1 целых решений нет.

При в = -1, , а + с = 1. Получаем, что либо а = 2, с = -1, либо а = -1, с = 2.

Третьему уравнению удовлетворяет лишь вторая пара.

Тогда х⁴ + х³ – 8х²+ 3х + 5 = (х² - х - 1) ∙ (х² + 2х - 5)

Ответ: ; ± 1

32х⁴ – 48х³ – 10х² + 21х + 5 = 0

Ответ: -1/2; -1/4; 1; 1.

В пробных сборниках по подготовке к ЕНТ также встречаются аналогичные задания.

ЕНТ 2010-2011 (х+1)(х+2)(х+3)(х+4)=120 Ответ: - 6;1.

Х⁴-5х³+6х²-5х+1=0 Ответ:2±√3

ЕНТ 2012 вар13 №20 (х+1)(х+3)(х+5)(х+7)=-15 Ответ: -4±√6;-2;-6.

ЕНТ 2010 вар4 №11 1\х(х+6) -1\(х+3)²=-9\20 Ответ: -5;-1;-3±√5.

Разнообразные приемы и методы решения уравнений способствуют повышению уровня математического развития детей и расширению их кругозора.

Литература.

Рустюмова И.П. Пособие для подготовки к ЕНТ – Алматы, 2007

Цыпкин А.Г Справочник по математике .- М, «Наука», 1984

Абылкасымова А., «Алгебра и начала анализа». Учебник для 11 класса.- Алматы, Мектеп, 2011,

Башмаков М.И. Уравнения и неравенства – М. Наука, 1971

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/95362-reshenie-uravnenij-vysshih-stepenej