Числа, проценты, степени и корни ЕГЭ 2027: фундамент, на котором держится математика

Есть темы, которые редко воспринимаются как самые сложные в ЕГЭ. Проценты. Дроби. Степени. Корни. Обычные вычисления. Но именно на этих элементах часто возникают ошибки, которые потом мешают решать более сложные задания.

Ученик знает, как решать уравнение, но ошибается при работе с дробями.

Помнит свойства степеней, но путает знаки. Понимает задачу на проценты, но неправильно определяет, от какого числа считать процент.

Поэтому подготовку к ЕГЭ по математике важно начинать не только с «сложных» тем. Сначала нужно сделать так, чтобы базовые математические действия выполнялись точно, быстро и без лишних сомнений.

1. Почему вычислительная база так важна

Представьте задачу, которую в принципе можно решить за несколько действий.

Но внутри решения появляются:

• дроби;

• отрицательные числа;

• степени;

• корни;

• проценты.

Если каждое такое действие вызывает остановку и сомнение, решение становится длиннее.

Чем сложнее задача, тем выше вероятность ошибки.

Поэтому хороший математический навык выглядит так: увидел выражение → понял, какое свойство применить → преобразовал → продолжил решение.

Не нужно тратить половину времени на элементарное преобразование.

2. Начните с рациональных чисел

К этой группе относятся целые числа, обыкновенные дроби, десятичные дроби и отрицательные значения.

Нужно уверенно уметь:

• сравнивать числа;

• складывать и вычитать дроби;

• умножать и делить дроби;

• работать со знаками;

• переводить дроби в десятичную запись и обратно;

• выполнять действия со смешанными числами;

• оценивать приблизительный результат.

Особенно важно последнее.

Если вы получили результат, который совершенно не соответствует ожидаемому масштабу, это повод проверить вычисления.

3. Отрицательные числа: сначала знак, потом действие

Например:

−7 + 12 = 5

Но:

−7 − 12 = −19.

Ошибки появляются, когда ученик одновременно пытается думать и о знаке, и об арифметическом действии.

Полезно разделять эти два вопроса:

• Какой знак получится?
• Какое абсолютное значение получится?

Так меньше вероятность потерять минус.

4. Дроби нельзя считать «на глаз»

При сложении и вычитании дробей сначала нужно привести их к общему знаменателю.

Например:

1/3 + 1/6 = 2/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2.

При умножении правило другое:

a/b · c/d = ac/bd.

При делении:

a/b : c/d = a/b · d/c.

Эти действия должны выполняться практически автоматически. Пока на них приходится долго думать, переходить к более сложным алгебраическим преобразованиям рано.

5. Проценты: главная проблема — не формула

Процент — это одна сотая часть величины:

1% = 1/100.

Поэтому:

20% = 0,2

35% = 0,35

125% = 1,25.

Но главная трудность в задачах на проценты заключается не в переводе процента в десятичную дробь.

Она заключается в вопросе:

От какого числа считается процент?

6. Найти процент от числа

Если нужно найти 15% от 240:

240 · 0,15 = 36.

Здесь 240 — исходная величина.

Но в реальной задаче формулировка может быть длиннее.

Например:

После скидки цена товара уменьшилась на 15%.

Здесь уже важно понять, что 15% считаются от первоначальной цены.

7. Увеличение и уменьшение на процент

Если величину увеличили на 20%, она стала:

100% + 20% = 120%

или:

1,2 от первоначального значения.

Если уменьшили на 20%:

100% − 20% = 80%

или:

0,8 от первоначального значения.

Это позволяет быстро записывать изменения:

увеличение на p% → умножение на 1 + p/100

уменьшение на p% → умножение на 1 − p/100.

8. Почему нельзя просто «прибавить и вычесть проценты»

Представим, что цену сначала увеличили на 20%, а потом уменьшили на 20%.

Кажется, что изменения должны взаимно уничтожиться.

Но это не так.

Если первоначальная цена равна 100:

после увеличения:

100 · 1,2 = 120

после уменьшения:

120 · 0,8 = 96.

Итоговая цена — 96, а не 100.

Почему?

Потому что второй процент считался уже от другой величины.

Это один из принципиальных моментов, который нужно понимать, а не просто запоминать.

9. Процентное изменение и процентный пункт — разные вещи

В некоторых задачах встречаются показатели в процентах.

Например, было 40%, стало 50%.

Абсолютное изменение составляет:

10 процентных пунктов.

Но относительное увеличение составляет:

10 / 40 · 100% = 25%.

Поэтому внимательно читайте формулировку.

«На сколько процентных пунктов?» и «На сколько процентов?» — это разные вопросы.

10. Степени: важно понимать свойства

Степень показывает повторное умножение числа на себя.

Например:

2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

Но в ЕГЭ гораздо важнее не вычислять каждую степень вручную, а уверенно применять свойства.

Например:

aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ

aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ, при допустимых значениях,

(aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ.

Также нужно понимать отрицательные и нулевые показатели.

11. Нулевая степень

Для ненулевого числа:

a⁰ = 1.

Это простое правило, но его легко забыть в длинном выражении.

Главное — помнить условие: основание не должно быть равно нулю.

12. Отрицательная степень

Для ненулевого a: a⁻ⁿ = 1/aⁿ.

Например: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.

Отрицательная степень не означает отрицательное число. Она означает, что степень переходит в знаменатель. Это принципиальное различие.

13. Степени с дробными показателями

Здесь появляется связь между степенями и корнями.

Например: a¹/² = √a а более общий случай: aᵐ/ⁿ = ⁿ√(aᵐ) при соблюдении необходимых условий.

Для подготовки важно не просто выучить эту запись, а понимать, что корень и степень с дробным показателем связаны между собой.

14. Корни: сначала понимание, потом преобразования

Квадратный корень из числа a — это не просто «число, которое нужно найти».

Для неотрицательного a:

√a ≥ 0

и:

(√a)² = a.

Например:

√49 = 7.

Не −7.

Почему?

Потому что знак квадратного корня обозначает именно неотрицательное значение.

15. Очень важная ошибка: √(a²) ≠ всегда a

Правильное равенство:

√(a²) = |a|.

Если a = −5, то:

√(−5)² = √25 = 5.

Поэтому просто написать a нельзя, если знак a неизвестен.

Это одна из классических ошибок при преобразовании выражений.

16. Как работать с корнями

Полезно знать основные свойства, но применять их нужно только там, где они допустимы.

Например:

√(ab) = √a · √b

для неотрицательных a и b.

Это позволяет выносить из-под корня полный квадрат.

Например:

√72 = √(36 · 2) = 6√2.

Такое преобразование часто делает выражение значительно проще.

17. Не смешивайте правила корней и суммы

Очень опасная ошибка:

√(a + b) = √a + √b.

Так делать нельзя в общем случае.

Например:

√(9 + 16) = √25 = 5

а:

√9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Результаты разные.

Поэтому свойства корней нельзя расширять на операции, для которых они не работают.

18. Сравнение степеней и корней

Не всегда нужно вычислять всё до конца.

Иногда достаточно привести выражения к общей форме.

Например, чтобы сравнить:

2³ и 4²,

можно представить:

4² = (2²)² = 2⁴.

После этого сравнение становится очевидным:

2³ < 2⁴.

Такой подход быстрее и надёжнее, чем вычислять большие числа.

19. Научитесь оценивать результат

Это один из самых недооценённых навыков.

Допустим, нужно найти:

√50.

Точно считать необязательно.

Мы знаем:

7² = 49

и

8² = 64.

Значит:

7 < √50 < 8.

Если калькулятор или дальнейшие вычисления дают число 12, вы сразу понимаете, что где-то возникла ошибка.

Оценка результата — простой способ самопроверки.

20. Стандартный алгоритм работы с выражением

Если перед вами сложное числовое выражение, не начинайте хаотично считать.

Используйте последовательность:

1. Посмотрите на скобки.
2. Определите степени и корни.
3. Выполните необходимые преобразования.
4. Приведите дроби к удобному виду.
5. Выполните умножение и деление.
6. Затем сложение и вычитание.
7. Проверьте знак и примерный масштаб результата.

Такой порядок особенно полезен в длинных выражениях.

21. Типичная ошибка — слишком раннее округление

Допустим, в процессе решения получилось:

√2 ≈ 1,414213...

Если округлить значение слишком рано, последующий результат может немного измениться.

Поэтому, когда это возможно, лучше сохранять точные выражения и округлять только там, где этого требует условие.

22. Что нужно уметь с процентами на практике

Не ограничивайтесь задачами вида:

«Найдите 15% от 200».

Нужно тренироваться на разных ситуациях:

• скидка;

• наценка;

• изменение цены;

• рост показателя;

• снижение показателя;

• доля от общего количества;

• восстановление первоначального значения;

• сравнение двух величин;

• последовательные изменения.

Особенно полезны задачи, где неизвестно исходное число.

Например:

После уменьшения на 20% цена стала 800 рублей. Какой была первоначальная цена?

Здесь нельзя просто найти 20% от 800.

Нужно понять: 800 = 80% первоначальной цены.

Значит: первоначальная цена = 800 / 0,8 = 1000.

Именно такие задачи проверяют понимание процента, а не механическое умножение.

23. Связывайте проценты с уравнениями

Это важный переход к следующему этапу подготовки.

Если неизвестное число обозначить x, то задача на процент часто превращается в обычное уравнение.

Например:

После скидки 15% цена составила 1700 рублей.

Записываем: 0,85x = 1700.

Отсюда: x = 2000.

Получается важная связь: проценты → математическая модель → уравнение.

Поэтому хорошо освоенные проценты значительно облегчают последующую подготовку к уравнениям.

24. Что чаще всего мешает на этом блоке

Ошибка 1. Потерянный минус

Особенно в длинных выражениях.

Ошибка 2. Неправильная работа с дробями

Например, неверное сложение числителей при разных знаменателях.

Ошибка 3. Непонимание, от чего считается процент

Это особенно часто встречается в задачах с последовательными изменениями.

Ошибка 4. Неправильное применение свойств степеней

Например, путаница между:

aᵐ · aⁿ

и

(aᵐ)ⁿ.

Ошибка 5. Ошибка со знаком корня

Например:

√(a²) = a

вместо:

√(a²) = |a|.

Ошибка 6. Неверное свойство корня

Попытка разложить корень из суммы на сумму корней.

Ошибка 7. Слишком раннее округление

Ошибка 8. Отсутствие проверки

Полученный результат просто записывается без оценки его разумности.

25. Как тренировать этот блок

Не нужно несколько дней подряд решать только огромные выражения.

Лучше использовать короткие серии.

Этап 1. Точность

Решайте небольшие задания на:

• дроби;

• отрицательные числа;

• проценты;

• степени;

• корни.

Цель — убрать технические ошибки.

Этап 2. Скорость

Повторяйте аналогичные задания, постепенно сокращая время.

Этап 3. Смешанные задания

Соединяйте несколько навыков.

Например: дроби + степени + корни.

Или: проценты + уравнение.

Этап 4. Задачи в контексте ЕГЭ

Переходите от отдельных вычислений к полноценным задачам, где сначала нужно понять условие.

26. Как понять, что тема действительно освоена

Не по тому, что вы один раз решили десять примеров без ошибки.

Хороший показатель — если вы можете:

• быстро распознать нужное свойство;

• выполнить преобразование без лишних действий;

• объяснить, почему оно допустимо;

• заметить собственную ошибку;

• оценить примерный ответ;

• решить похожую задачу в другой формулировке.

То есть знание должно работать не только в знакомом примере.

27. Мини-чек-лист перед переходом к следующим темам

• Проверьте себя.
• Уверенно работаю с дробями.
• Не путаю знаки при действиях с отрицательными числами.
• Понимаю, от какого числа считается процент.
• Умею находить процент от величины.
• Умею восстанавливать первоначальную величину.
• Понимаю последовательные процентные изменения.
• Знаю основные свойства степеней.
• Понимаю отрицательные и нулевые показатели.
• Умею работать с корнями.
• Не путаю √(a²) и a.
• Не применяю свойства корней там, где они не работают.
• Умею примерно оценить полученный результат.
• Не округляю без необходимости на промежуточных этапах.

Итог

Числа, проценты, степени и корни могут показаться слишком простыми темами для серьёзной подготовки к ЕГЭ. Но именно они создают математическую «технику», без которой сложные задания начинают разваливаться уже на первых преобразованиях. Поэтому цель этого блока — не просто запомнить несколько формул.

Нужно добиться другого состояния:

• увидел дробь — спокойно преобразовал;
• увидел процент — понял, от чего он считается;
• увидел степень — выбрал нужное свойство;
• увидел корень — проверил область допустимых преобразований;
• получил ответ — оценил, имеет ли он смысл.

Когда эти действия становятся привычными, можно переходить к следующему крупному блоку — уравнениям и неравенствам ЕГЭ, где уже потребуется не только вычислительная техника, но и умение выбирать способ решения.