Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах

ПЛАН-КОНСПЕКТ УРОКА

Подготовила: учитель математики Шемет Н.С.
МБОУ СОШ №1 п.Новозавидовский Конаковского муниципального округа

Предмет: Вероятность и статистика
Класс: 7
Тема: Описательная статистика: среднее арифметическое, медиана, размах
Тип урока: Урок систематизации и обобщения знаний

1. ЦЕЛИ УРОКА

Образовательные:

• Повторить определения основных статистических характеристик: среднее арифметическое, медиана, размах, наибольшее и наименьшее значения.

• Закрепить алгоритмы вычисления медианы для четного и нечетного количества чисел в наборе.

• Отработать применение двух линейных свойств среднего арифметического (при изменении данных сложением и умножением).

Развивающие:

• Развивать навыки анализа данных: учить различать ситуации, когда среднее арифметическое искажает картину из-за «выбросов».

• Формировать умение оценивать стабильность рядов данных с помощью размаха.

Воспитательные:

• Продемонстрировать практическую значимость статистики в реальных жизненных ситуациях (анализ социальных сетей, спорт, финансы).

2. МАТЕРИАЛЫ И ОБОРУДОВАНИЕ

• Доска, маркеры/мел, проектор, ноутбук

• Раздаточный материал (карточки с задачами).

3. ХОД УРОКА

Этап I. Организационный момент и мотивация (5 мин)

Учитель: «Представьте, что вы выбираете блогера, у которого хотите заказать рекламу.

• У первого блогера просмотры стабильные: 10 тыс., 11 тыс., 9 тыс.

• У второго блогера: 1 тыс., 1 тыс. и одно видео “залетело” на 28 тыс.

Если посчитать среднее арифметическое, у обоих оно равно 10 тысячам. Но одинакова ли их популярность на самом деле? Сегодня мы вспомним инструменты, которые помогают видеть за сухими цифрами реальную картину».

Этап II. Актуализация знаний и изучение свойств (25 мин)

В главе Описательная статистика речь шла о том, как одним-двумя числами описать важные свойства большого массива данных.

1. Среднее арифметическое

Определение: Средним арифметическим числового массива называется отношение суммы всех чисел массива к их количеству.

Пример: Школьник подтягивался 4 дня: 5, 7, 5, 11 раз.

• Среднее:(5+7+5+11):4=28:4=7.

Свойства среднего арифметического:
Учитель акцентирует внимание на том, что при закономерном изменении всех данных не обязательно пересчитывать сумму.

• Свойство 1 (Сложение):Если каждое число набора увеличить (уменьшить) на одно и то же число a, то среднее арифметическое набора увеличится (уменьшится) на это же числоa.

  • Пример: Если школьник каждый день будет подтягиваться на 2 раза больше, его новое среднее станет7+2=9.

• Свойство 2 (Умножение):Если каждое число набора умножить на одно и то же числоb, то среднее арифметическое набора также умножится на число b.

  • Пример: Если результаты школьника увеличить в 3 раза (например, перевести в баллы), то среднее арифметическое тоже вырастет в 3 раза: 7⋅3=21.

2. Медиана

Проблема: Если в данных есть резкие скачки («выбросы»), среднее значение может «обманывать». В таких случаях используют медиану.

Определение: Медианой числового массива называют такое число m, что хотя бы половина чисел массива не больше числа m и хотя бы половина чисел массива не меньше числа m.

Алгоритм нахождения медианы числового массива:

1. Упорядочить массив (получить вариационный ряд).

2. Если чисел нечётное количество: берем число, стоящее ровно посередине.

3. Если чисел чётное количество: медианой считают среднее арифметическое двух чисел, стоящих посередине.

Пример (чётное количество): Цены на пирожки: 40, 30, 100, 35, 40, 30.

1. Упорядочиваем: 30, 30, 35, 40, 40, 100.

2. Находим центр: числа 35 и 40.

3. Медиана: (35+40):2=37,5.
   (Важно: число 100 — выброс — сильно влияет на среднее, но не влияет на медиану).

3. Размах, наибольшее и наименьшее значения

Определение: Размах числового массива — это разность между наибольшим и наименьшим значениями. Характеризует стабильность (разброс) данных.

Пример: Глубина реки в разных точках (м): 2, 3, 2, 8, 2.

• Наименьшее (min): 2.

• Наибольшее (max): 8.

• Размах:8−2=6.

Этап III. Самостоятельная работа (10 мин)

Учащиеся выполняют задания по вариантам (см. Приложение).

Этап IV. Домашнее задание (1мин) №65

Этап V. Рефлексия (4 мин)

Вопросы классу:

1. Как быстро узнать новое среднее арифметическое, если всем сотрудникам подняли зарплату в 2 раза? (Умножить старое среднее арифметическое на 2).

2. Какую характеристику лучше использовать для оценки «типичного» результата, если в наборе есть аномально большие значения? (Медиану).

ПРИЛОЖЕНИЕ: Раздаточный материал

ВАРИАНТ 1

№ 1. «Урожай»
Дачники собрали клубнику с пяти грядок (в кг):4, 6, 5, 12, 3.
а) Найдите среднее арифметическое урожая.
б) Найдите медиану (не забудьте сначала упорядочить числа!).
в) Найдите размах.

№2. «Температура»
Утром температура воздуха измерялась каждый час: +10, +12, +12, +14.
Чему равна медиана этого набора чисел?

№3. «Свойства среднего»
Средний рост сказочных гномов составляет50 см. Гномы выпили волшебное зелье, и рост каждого увеличился в 2 раза.
Чему равен новый средний рост гномов?

ВАРИАНТ 2

№1. «Сообщения»
Количество сообщений, отправленных Петей за 5 дней: 20, 5, 15, 5, 5.
а) Найдите среднее арифметическое.
б) Найдите медиану(не забудьте сначала упорядочить числа!).
в) Найдите размах.

№2. «Прыжки»
Результаты прыжков спортсмена: 4 м, 5 м, 3 м, 6 м.
Найдите медиану результатов.

№ 3. «Свойства среднего»
Средний балл класса за тест был равен15. Учитель решил добавить каждому ученику по 2 бонусных балла за старание.
Чему равен новый средний балл класса?

ОТВЕТЫ (ДЛЯ УЧИТЕЛЯ)

Вариант 1:

1. а)(4+6+5+12+3):5=30:5=6.
   б) Ряд: 3, 4, 5, 6, 12. Медиана = 5.
   в) 12−3=9.

2. Ряд: 10, 12, 12, 14. Медиана = 12.

3. 50⋅2=100см. (Свойство: умножение).

Вариант 2:

1. а)(20+5+15+5+5):5=50:5=10.
   б) Ряд: 5, 5, 5, 15, 20. Медиана = 5.
   в) 20−5=15.

2. Ряд: 3, 4, 5, 6. Медиана = (4+5):2=4,5.

3. 15+2=17. (Свойство: сложение).