Обобщающий урок «Арифметическая прогрессия»

Урок подготовила

Фадеева Любовь Анатольевна

Учитель математики

МБОУ «СОШ №3» г.Острова

Урок обобщения, систематизации знаний по алгебре в 9 классе

(урок рассчитан на 2 часа)

Тема урока: «Арифметическая прогрессия»

Цель урока:

Oбеспечить повторение материала темы,

проверить усвоение определения арифметической прогрессии, знание основных формул арифметической прогрессии,

закрепитьумение применять формулы при решении различных задач.

совершенствовать умение учащихся применять полученные знания при подготовке в ГИА по математике.

Ход урока

Организационный момент

Устная работа.

Какие из приведенных ниже последовательностей являются арифметическими прогрессиями, объясните свой ответ.

Ответ: а), в), е), ж)

Являются ли следующие примеры арифметическими прогрессиями? Поясните свой ответ.

- последовательные натуральные числа,

- последовательность положительных нечетных чисел,

- последовательность отрицательных четных чисел,

- постоянная последовательность, например 5, 5, 5, 5,

Ответ: все примеры являются арифметическими прогрессиями.

На доске записаны основные формулы арифметической прогрессии, назовите, что это за формулы:

–Ответ: формула п-го члена

арифметической прогрессии.

Ответ: свойство арифметической прогрессии

Ответ: аналитическая формула арифметической прогрессии

Ответы: – формулы суммы п первых членов

арифметической прогрессии.

Выполнение упражнений.

Задания на «прямое» применение формул арифметической прогрессии:

1. Является ли арифметической прогрессией последовательность, заданная формулой:

а)х_п = 2п + 1;

б)у_п = п² – п;

в)z_n = –64?

2. Найдите разность арифметической прогрессии:

а) 17; 13; 9; …

б) (х_п), если х₁₀ = 4, х₁₂ = 14;

в) (у_п), если у_п = 3п – 0,5.

3. (а_п) – арифметическая прогрессия, вычислите:

а)а₇, если а₁ = 1, d = –2;

б)а₁₀, если а_п = 17 · п – 100;

в)а₁₂, если а₁ = 0, а₂ = 3.

4. Вычислите сумму первых n членов арифметической прогрессии:

а) Найдите сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если а₁ = 16,5; d = –1,5.

б) Найдите сумму первых сорока членов последовательности, заданной формулойа_п = 3п + 2.

в) Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии (а_п), если а₁ = 8, а₇ = 26.

Задания на нахождение различных величин арифметической прогрессии при наличии дополнительных условий и ограничений, сводящиеся к решению систем уравнений, неравенств.

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 300.

Решение: (а_п) – арифметическая прогрессия;

а_п = 4п,а_п ≤ 300;

4п ≤ 300;

п ≤ 75, значит, п = 75 – количество таких чисел.

а₁ = 4; а₇₅ = 4 · 75 = 300;

S₇₅ == 11400.

О т в е т: 11400.

Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии (c_n), если c₇=18,5 и c₁₇=-26,5

Решение: (с_п) – арифметическая прогрессия;

с₇ = 18,5; с₁₇ = –26,5.

S₂₀ = · 20; S₂₀ = · 20 = 55.

О т в е т: 55.

Решение задач на применение арифметической прогрессии:

Бригада стеклодувов изготовила в январе 80 изделий, а в каждый следующий месяц изготовляла на 17 изделий больше, чем в предыдущий. Сколько изделий изготовила мастерская в августе?

Решение: а₁=80,d=17, а₈=?

а₈=а₁+d(n-1)

a₈=80+17(8-1)

a₈=199

Ответ: 199 деталей изготовит бригада в августе.

При свободном падении тело прошло в первую секунду 5м, а в каждую следующую на 10м больше. Найдите глубину шахты, если свободно падающее тело достигло его дна через 5 с. после начала падения.

Решение. а₁=5,d=10, S₅=?

а₅=а₁+4d; а₅=45.

S₅=(a₁+a₅)·n:2;S₅=(5+45)·5:2=125;

Ответ: 125м глубина шахты.

При хранении бревен строевого леса их укладывают как показано на рисунке. Сколько брёвен находится в одной кладке, если в ее основании положено 12 бревен?

Решение.1, 2, 3, 4,…,12. Это арифметическая прогрессия, где а₁=1,d=1,а_n=12. Надо найти n.

а_n=a₁+d(n-1); 12=1+1(n-1); n=12.

S_n=(a₁+a_n)∙n:2; S_n=(1+12)·12:2; S_n=78.

Ответ: В одной кладке находится 78 бревен.

Дифференцированная самостоятельная работа.

Учащиеся сами выбирают задания определенного уровня из предложенных и работают за партами самостоятельно, при необходимости обращаясь к учителю. После выполнения всех заданий, производится самопроверка. Выставляются баллы в соответствии с выбранным уровнем.

Базовый уровень (на «3»)

Пусть (в_n) - арифметическая прогрессия;

1) в₁=11, d=3. Найдите в₁₁.

2) в₁=137, d= -7. Найдите S₁₀.

3) в₄₃= - 208, d= - 7. Найдите в₁.

4) в₁=28, в₁₅= - 21. Найдите d.

Задания на "4".

Найти разность арифметической прогрессии: а₁ = 12, а₅ = 40

Найти первый член арифметической прогрессии: а₇ = 9, d = 40

Число 29 является членом арифметической прогрессии 9, 11, 13,: Найдите номер этого члена.

Найти девятнадцатый член арифметической прогрессии. а₁₃ = 10, а₂₀ = 38

Задания на "5".

Найти а_n, если а₁ = 40, n = 20, S₂₀ = 40 арифметической прогрессии.

В арифметической прогрессии 59, 55, 51,: Найти сумму всех её положительных членов.

Составьте формулу n - го члена арифметической прогрессии. а₃ = 12, а₁₀ = 40

Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии (а_n), заданной формулой n - го члена а_n = - 2n + 8

Ответы к самостоятельной работе:

Итоги урока.

В ходе беседы с учащимися обсуждаются следующие вопросы:

- какие основные формулы необходимо знать при решении задач на арифметическую прогрессию?

- какие задания вызвали затруднения при решении?

VI. Домашнее задание: выполнить тест (тесты оформлены на отдельных листах для каждого учащегося).

Задание №1

Укажите пятый член арифметической прогрессии:
6; 7; 8; 9; 10; 11; ...
1) 11
2) 10
3) 8
4) 7
Задание №2
Укажите разность арифметической прогрессии:
6; 6,1; 6,2; ...
Запишите число:
___________________________
Задание №3
Укажите члены арифметической прогрессии, заданной формулой a_n = 4n - 1:
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) -1
2) 7
3) 11
4) 13
Задание №4
Запишите четвертый член арифметической прогрессии, если a₁ = 2, d = 3
Запишите число:
___________________________

Задание №5
Запишите шестьдесят первый член арифметической прогрессии, если а₁ = 20, d = 1,5:
Запишите число:
___________________________
Задание №6
Найдите сумму первых восьмидесяти членов арифметической прогрессии, если a₁ = 2, a₈₀ = 58 :
Запишите число:
___________________________
Задание №7
Арифметические прогрессии заданы формулами n-го члена. Укажите те из них, у которых разность d равна 4.
Выберите несколько из 4 вариантов ответа:
1) x_n = 4n - 9
2) x_n = -4n + 1
3) x_n = 2n + 4
4) x_n = 38 + 4n
Задание №8
Вопрос: В первом ряду кинозала 28 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) 28
2) 28 + n
3) 26 + 2n
4) 26n

Задание №9
Дана арифметическая прогрессия: 20; 15; 10; … . Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
Выберите один из 4 вариантов ответа:
1) -5
2) 0
3) -10
4) -1
Задание №10
Вопрос:
Дана арифметическая прогрессия: -50; -25; 0; … . Найдите первый положительный член этой прогрессии.
Запишите число:
___________________________

Ответы к тесту:

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/10417-obobschajuschij-urok-arifmeticheskaja-progres