Курс по выбору по математике для 5 класса «Как играть, чтобы не проигрывать»

МАОУ « Лицей № 8» г. Пермь

КУРС ПО ВЫБОРУ ПО МАТЕМАТИКЕ

ДЛЯ 5 КЛАССА

«КАК ИГРАТЬ, ЧТОБЫ НЕ ПРОИГРЫВАТЬ»

Учитель математики: Самбурская

Татьяна Юрьевна

Пермь, 2015

Одной из главных целей работы школы является развитие творческого потенциала школьников, их способностей к плодотворной умственной деятельности.

Поэтому одной из важнейших задач данного курса является индивидуальная работа с одаренными школьниками, направленная на развитие их мыслительных способностей, настойчивости в выполнении заданий, творческого подхода и навыков в решении нестандартных задач.

Необходимо расширять кругозор школьников, для этого в программу курса включены темы, которые не входят в базовую школьную программу или не получают там должного внимания. Эти темы с одной стороны, должны быть доступны обучаемым, с другой стороны, – позволять им успешно выступать на олимпиадах.

Школьнику нужна мотивация его деятельности, участие в различных конкурсах и олимпиадах, и особенно победа в них, побуждает учащихся продолжать изучение данного предмета, дух соревнования поддерживает интерес.

С другой стороны, отсутствие «наказания» в виде оценок позволяет ребенку чувствовать себя свободнее, чем на традиционных уроках, формирует умение высказывать гипотезы, опровергать или доказывать их, искать ошибки и неточности в рассуждениях.

Курс рассчитан на 8 часов.

Содержание курса разбито на 4 модуля, каждый из которых содержит изучение теории и применение ее при решении задач.

ТЕМА 1. ЧЕТНОСТЬ (2ч)

Цели:

на основе простейших вычислительных навыков развивать умение рассуждать;

сформировать понимание различия между примером и доказательством;

развивать навыки поиска одинаковой идеи решения в задачах с различными условиями.

Содержание:

свойства четности (аксиоматически)

решение задач на чередование;

разбиение на пары;

игры-шутки (где результат зависит только от начальных условий).

В результате учащиеся должны изучить свойства делимости на 2, решать простейшие задачи на чередование, понять, что только четное число предметов можно разбить на пары, научиться понимать разницу между примером и доказательством.

ТЕМА 2. РАСКРАСКИ (2 ч)

Цели:

развивать творческий потенциал школьников;

учить высказывать гипотезы, опровергать их или доказывать.

Содержание:

знакомство с идеей раскрашивания (нумерования) некоторых объектов для выявления их свойств и закономерностей;

решение задач с помощью идеи раскрашивания.

В результате деятельности учащиеся должны познакомиться с некоторыми стандартными способами раскрасок и преобрести опыт применения этой идеи в различных ситуациях.

ТЕМА 3. КОНСТРУКТИВНЫЕ ЗАДАЧИ (2ч)

Цели:

показать на примерах, что часто решение проблемы возникает в процессе деятельности;

познакомить с понятием «контрпример».

Содержание:

равновеликие и равносоставленные фигуры;

геометрические головоломки;

задачи на построение примера;

задачи на переливания.

В результате учащиеся должны привыкнуть к мысли, что существует много правил решения одной и той же задачи, познакомиться с примерами разумной записи решений задач на переливания, приобрести опыт мыслительного и образного коструирования.

ТЕМА 4. ПРОЦЕНТЫ (2ч)

Цели:

познакомить учащихся с задачами повышенной сложности на нахождение процентов и дробей от числа;

показать, что такие задачи часто приходиться решать в обычной жизни.

Содержание:

задачи на проценты;

задачи на составление уравнений.

В результате учащиеся должны составить представление о процентах как об одном из видов дробей, научиться находить часть и проценты от числа, закрепить навыки составления уравнений по условию задач, познакомиться с понятием «банковские проценты».

ЛИТЕРАТУРА:

Бабинская И. Л. Задачи математических олимпиад. – М.: Наука, 1975.

Балаян Э. Н. Готовимся к олимпиадам по математике, 5 – 6 классы. – Ростов-на-Дону, Феникс, 2011.

Генин С. А., Итенберг И. В., Фомин Д. В. Ленинградские математические кружки. – Киров: «АСА», 1994.

Коннова Е. Г. Математика. Поступаем в вуз по результатам олимпиад. – «Легион-М», 2009.

Занятие 1. Четные и нечетные числа. Признак делимости на 2.

Свойства четности.

Известно, что целые числа бывают четные и нечетные. Четные числа можно записать в виде 2k, где k – целое число, а нечетные – в виде 2k + 1.

Легко доказать (показать на примерах) такие свойства четности для целых чисел.

Сумма четных чисел четна. (8 + 12 = 20)

Сумма 2-х нечетных чисел четна. (13 + 27 = 40)

Сумма четного и нечетного чисел нечетна. (26 + 11 = 37)

Произведение любого числа на четное – четно. (12·4 = 48, 13·4 =52)

Если произведение нечетно, то все сомножители нечетны. (105= 7·3·5)

Сумма четного количества нечетных чисел четна. (3 + 7 +11 +13 = 34)

Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна. (3+9+11+17+5=35)

Разность и сумма двух данных чисел – числа одной четности.

(28 – 14 = 14, 28 + 14 = 42; 33 – 9 = 24, 33 + 9 = 42; 22 – 3 = 19, 22 + 3 = 25; 37 – 4 = 33, 37 + 4 = 41)

Если объекты можно разбить на пары, то их количество четно. (8 объектов по парам – четыре пары)

Пример 1.

Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или7 рублей стоить в сумме 53 рубля?

Решение.

Сумма четного количества нечетных чисел четна. У нас есть 10 игрушек, цена каждой игрушки – нечетное число, значит, их сумма должна быть четна. Но 53 – число нечетное, поэтому получить его в виде суммы 10 нечетных чисел нельзя.

Пример 2.

Можно ли 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими?

Решение.

При решении этой задачи используется такое соображение: если мы рассматриваем объекты типа веревки – провода, дороги, рукопожатия, знакомства и т.д., то при любом количестве объектов число концов должно быть четным. Предположим. Что мы соединили 7 телефонов между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими. Посчитаем количество концов проводов, соединяющих эти телефоны. Понятно. Что их число должно быть четным. От каждого из 7 телефонов отходит 3 конца, всего 7·3 = 21 конец, число нечетное, значит, нельзя7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими.

Пример 3.

В секции бокса мальчиков в 14 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20 человек. Смогут ли они разбиться на пары?

Решение.

Пусть девочек в этой секции х, тогда мальчиков 14х, всего 15х. Но 15х ≤ 20, значит, х = 1. Мальчиков – 14, девочек – 1, 15 человек нельзя разбить на пары.

Ответ: Не смогут.

Домашнее задание.

У Маши было 5 плиток шоколада. Может ли Маша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

Гриша посчитал сумму 1 + 3 + 5 + …+ 997 + 999 и получил результат 247013. Какая четность данной суммы? Верный ли ответ получил Гриша? Попробуйте выполнить сложение устно.

Вычислите: 99 – 97 + 95 – 93 + …+ 7 – 5 + 3 – 1.

Ответы.

Нет, т.к. если сложить 5 нечетных чисел, получим нечетный результат. А 100 четно.

В этой сумме 500 нечетных чисел ( среди чисел от 1 до 1000 ровно половина – нечетные), значит, сумма четна. Гриша получил нечетный ответ, значит онневерный.

Найдем сумму двумя способами.

1) Разобъем числа от 1 до 999 на пары: 1 и 999, 3 и 997, 5 и 995, …, 499 и 501. Всего получилось 500 : 2 =250 пар. В каждой паре сумма чисел одинакова. (Рассмотрим две соседние пары – первое число увеличивается на 2, второе уменьшается на 2, значит, сумма не изменится.) (1 + 999) · 500 : 2 = 250000.

2) Сложим две такие суммы, одна из которых написана в обратном порядке:

1 + 2 + 3 + + 999

999 + 998 + 997 +…+ 1

1000 + 1000 + 1000 +…+1000 = 1000·500 = 500000.

Одна такая сумма будет 500000 : 2= 250000.

Ответ: 250000.

99 – 97 + 95 – 93 +…+ 7 – 5 + 3 – 1 = (99 – 97) + (95 – 93) + … + (7 – 5) + (3 – 1) = 2 + 2 + … + 2 =2·25 = 50.

От нуля до 99 нечетных чисел 50, значит, пар с одинаковой разностью 25.

Ответ: 50.

Занятие 2. Решение задач.

Пример 1.

Пять девятиногов с планеты Шуруру решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих ног, чтобы все ноги принимали участие и в каждом поединке встречалось ровно две ноги?

Решение.

Девятиногине смогут провести поединки для всех ног одновременно, так как в каждом поединке принимает участие 2 ноги, а всего ног 5·9 = 45.

Пример 2.

Лена и Маша играют в следующую игру: каждая из них записывает на бумажке по одному натуральному числу. Потом эти числа перемножаются, и если в результате получается четное число, то выигрывает Лена, а если нечетное – то Маша. Может ли одна из девочек всегда выигрывать, как бы ни играла другая?

Решение.

Лена всегда сможет выиграть, если напишет четное число. Результат тогда всегда будет четный.

Пример 3.

У каждого марсианина по 3 руки. Могут ли 13 марсиан взяться за руки так, чтобы не оставалось свободных рук?

Решение.

Нет. В каждом рукопожатии используют две руки, значит, общее число рук должно быть четным, но у 13 марсиан 3·13 = 39 рук – число нечетное.

Пример 4.

Класс шел парами. Один из учеников глянул вперед и насчитал 8 пар, затем обернулся назад и насчитал 4 пары. Сколько всего участников шло в колонне?

Решение.

4 + 8 + 1 = 13 (пар); 13·2 = 26(участников).

Ответ:26.

Пример 5.

Разделить числа 1; 2; 7; 13; 18; 25; 31; 43 на две группы так, чтобы сумма чисел одной группы был равна сумме чисел другой группы.

Решение.

Поскольку сумма данных чисел равна 140,то сумма чисел в каждой группе равна 70. Имеем: 1 + 13+ 25 + 31 = 2 + 7 + 18+ 43.

Пример 6.

Сумма 2010 натуральных чисел – число нечетное. Четным или нечетным будет произведение этих чисел?

Решение.

Поскольку сумма 2010 – число нечетное, то число нечетных слагаемых – нечетно. Тогда среди 2010 чисел есть, по крайней мере, одно четное число. Следовательно, произведение 2010 чисел будет четным числом.

Пример 7.

Четное или нечетное число 1 + 2 + 3 +…+ 99 + 100?

Решение.

(1 + 100) + (2 + 99) +…= 101·50 = 5050.

Ответ:5050.

Домашнее задание.

С помощью четырех четверок и знаков действий запишите все натуральные числа от 1 до 10.

Решение.

(4 + 4) : (4 + 4) = 1; 4 : 4 + 4 : 4 = 2; 4·4 : 4 – 1 =3;

4·(4 – 4) + 4 = 4; (4 + 4·4) : 4 = 5; 4 + (4 + 4) : 4 = 6;

4 + 4 – 4 : 4 = 7; 4 +4 + 4 – 4 = 8; 4 + 4 + 4 : 4 = 9;

(44 – 4) : 4 = 10.

Занятие 3. Раскраски.

На олимпиадах часто встречаются задачи, объединенные одной и той же идеей – раскрасить в несколько цветов таблицу так, чтобы было видно, что какое-то условие задачи не может выполняться.

Пример 1.

Гостиница имеет форму квадрата 3х3, каждая клетка 1х1 – комната. Все 9 постояльцев недовольны своей комнатой и считают, что любая комната через стенку лучше, чем та, в которой они живут. Может ли хозяйка переселить их так, чтобы каждый постоялец переехал в соседнюю комнату?

Решение.

Раскрасим комнаты в шахматном порядке. Соседние комнаты при этом

окрасятся в разный цвет. При переезде цвет комнаты меняется, тогда те постояльцы, которые живут в пяти белых комнатах, должны переехать в черные комнаты, а их всего 4. Значит, такой обмен невозможен.

Пример 2.

Можно ли разрезать прямоугольник 10х6 на прямоугольники 1х4?

Решение.

Раскрасим клетки прямоугольника в диагональном порядке в четыре цвета. При такой раскраске при любом расположении прямоугольника 1х4 он закрывает по одной клетке разного цвета, значит, если бы мы смогли разрезать прямоугольник на фигурки 1х4, то квадратиков каждого цвета было бы равное количество. У нас цвета 1 и 3 – по 15 клеток, цвета 2 – 16 клеток и цвета 4 – 14 клеток. Значит, данный прямоугольник разрезать нельзя.

Пример 3.

От шахматной доски 8х8 отрезали: а) клеткуа1; б) клетки а1 и h1; в) клетки а1 и h8. Можно ли остаток доски разрезать на «доминошки» 2х1?

Решение.

а)нет, т.к. осталось нечетное число клеток, а «доминошка» занимает 2 клетки;

б) да, легко можно найти один из вариантов;

в)нет, нельзя. Раскрасим клетки в шахматном порядке. Клетки а1 и h8 одного цвета – черные. Осталось 32 белых и 30 черных клеток, а покрыть «доминошками», каждая из которых занимает 1 белую и 1черную клетку, возможно только равное число белых и черных клеток.

Домашнее задание.

В дачном поселке 25 участков, расположенных в виде квадрата 5х5. Каждому из дачников, владеющих этими участками, нравится участок соседа (соседи – те, кто имеет общий забор). Могут ли они поменяться участками так, чтобы все 25 дачников получили нравящиеся им участки?

Ответ:нельзя.

Решение аналогично решению примера 1 про гостиницу

Четыре утенка и пять гусят весят 4 кг 100г, а пять утят и четыре гусенка весят 4кг. Сколько весит 1 утенок?

Решение.

4у + 5г = 4100,

5у + 4г =4000.

Вес 9 утят и 9 гусят будет равен 4100 + 4000 = 8100 (г), значит, вес 1 утенка и 1 гусенка равен 8100 : 9 = 900 (г), тогда вес 4 утят и 4 гусят будет 900·4 = 3600 (г). Сравнение полученного результата со вторым условием показывает, что 1 утенок весит 4000 – 3600 = 400 (г).

Ответ:400г.

В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?

Решение.

17 + 6 + 13 = 36. По условию каждый спортсмен в этой сумме сосчитан дважды, значит, всего спортсменов 36 : 2 = 18.

Ответ:18 спортсменов.

Занятие 4. Решение задач.

Пример 1.

Из доски 8х8 вырезали угловую клетку. Можно ли получившийся остаток разрезать на прямоугольники 3х1?

Решение.

Раскрасим клетки доски в диагональном порядке в три цвета. При такой раскраске при любом расположении фигурки 3х1 она закрывает по одной клетке разного цвета, значит, если бы мы смогли разрезать прямоугольник на фигурки 3х1, то квадратиков каждого цвета было бы равное количество, а у нас цвета 1 – 21 клетка, цвета 2 – 22 клетки. Значит, нельзя разрезать.

Ответ:Нельзя.

Пример 2.

Может ли Карлсон на спор с Малышом обойти шахматным конем всю шахматную доску 7х7 клеток так, чтобы конь побывал на каждой клетке по одному разу и вернулся на начальную клетку?

Решение.

Пусть конь стоит на черном поле. После очередного хода он окажется на белом поле, т. е. при движении коня цвет поля чередуется. Если конь обойдет все клетки доски по одному разу, он сделает 48 ходов и окажется на клетке того же цвета, что и клетка, с которой он вышел. С нее на начальную клетку, которая того же цвета, он за оставшийся ход не попадет.

Ответ:Не может.

Пример 3.

Какое наибольшее количество королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение.

Разобъем доску на 16 клеток 2х2. Предположим, что можно поставить 17 или больше королей, тогда хотя бы в одной клетке 2х2 будут 2 короля, которые бьют друг друга. Пример, как поставить16 королей, ─ на рисунке.

Домашнее задание.

Как мудрецы разделили шахматную доску с алмазами на 4 одинаковые части с одним алмазом в каждом?

Решение.

Занятие 5. Конструктивные задачи.

Многие олимпиадные задачи начинаются со слов: «Можно ли…». При этом существует две возможности:

─ ответ в задаче – нельзя, и тогда нужно доказать, что нельзя;

─ ответ – можно, и тогда нужно построить пример и показать, что он удовлетворяет условию задачи.

Точно так же часто ответом на вопрос: «Всегда ли…» или «Всякий ли…» является конкретный пример, когда это условие не выполняется.

Типичный пример таких задач – задачи на переливания. Они традиционно вызывают интерес у младших школьников и трудности с записью решения. Рациональная запись решения возможна в виде схемы или таблицы.

Пример 1.

Можно ли, имея лишь два сосуда 3 и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

Решение.

Пусть «н» обозначает «налить из водопровода доверху», «п» ─ «перелить из сосуда 3 л в сосуд 5 л», «в» ─ «вылить все из сосуда».

В результате в сосуде вместимостью 5 л оказалось 4 л воды.

Можно и не писать действия, достаточно следить за объемом воды в каждом сосуде. Можно, наоборот, описывать процесс переливания не в таблице, а словами.

Пример 2.

Можно ли в таблице 3х3, следуя шахматным правилам, конем

а) попасть из угловой клетки в диагонально противоположную;

б) обойти все клетки доски?

Решение.

а)Да, например:

б)Нет, конь никогда не попадет в центральную клетку, достаточно нарисовать его маршрут, начиная с любой клетки, кроме центральной. С нее он вообще не может сделать ход, значит, не сможет попасть на центральную ни с какой другой клетки.

Пример 3.

Имеются три бочонка вместимостью 6 ведер, 3 ведра и 7 ведер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведер воды. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить воду поровну.

Решение 1.

Решение 2.

Пример 4.

Двое должны разделить поровну 8 ведер воды, находящейся в восьмиведерном бочонке. Но у них есть еще только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить эту воду, пользуясь только этими тремя бочонками?

Решение 1.

Решение 2.

Домашнее задание.

Как, имея 2 сосуда емкостью 5 и 9 л, набрать из водоема ровно 3 л воды?

Решение.

Пусть «н» обозначает «налить из водопровода доверху», «п» ─ «перелить из сосуда в сосуд», «в» ─ «вылить все из сосуда».

Можно ли числа от 1 до 32 разбить на несколько групп так, чтобы произведения внутри каждой группы были равны?

Решение.

Нет, например, потому, что среди этих чисел есть число 29, которое простое. Среди других групп точно множителя 29 не будет.

Занятие 6. Решение конструктивных задач.

Еще один раздел конструктивных задач – это задачи на взвешивание. Обычно подразумеваются весы без стрелок, на которых можно только сравнивать грузы на двух чашках. При решении задач на взвешивание нужно рассмотреть все возможные варианты.

Пример 1.

Имеется 552гири весом 1 г, 2 г, 3 г, …,552г. Разложите их на три равные по весу кучки.

Решение.

Разложим гири в порядке возрастания их веса таким образом:

(1 + 552 = 553; 6 + 547 = 553, и т. д.

2 + 551 = 553; 5 + 548 = 553, и т. д.

3 + 550 = 553; 4 + 549 = 553, и т. д.)

Тогда суммы гирь каждой кучки в любых двух соседних столбцах равны. 552 делится на 6, поэтому мы разделим гири на три равные по весу кучки.

Пример 2.

Имеется 4,5 кг конфет. Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах взвесить 1 кг конфет с помощью одной гири 100 г?

Решение.

I взвешивание: на одной чашке 2 кг 300 г конфет, а на другой – 2 кг 200г и гиря 100г.

II взвешивание: на одной чашке 1 кг 200г конфет, а на другой – 1 кг 100г и гиря 100 г.

III взвешивание: из конфет массой 1 кг 100г отвесить 100 г конфет с помощью гири 100г.

Пример 3.

Как определить из 8 монет одну фальшивую, если она тяжелее настоящей, за два взвешивания?

Решение.

Разделим 8 монет на 3 кучки по 3, 3 и 2 монеты. Взвесим кучки по 3 монеты. Если они равны по весу, то фальшивая – в кучке с двумя монетами; сравнив их на весах, найдем более тяжелую, она – фальшивая. Если при первом взвешивании одна из кучек тяжелее, фальшивая монета – в ней. Положим на чашки весов две монеты из этой кучки, если они равны, фальшивая – третья, иначе – более тяжелая.

Пример 4.

Имеется 1999 кучек камней по 10 камней в каждой. Играют двое. За один ход разрешается брать несколько камней (можно и все ) из какой-нибудь одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Решение.

Выигрывает первый. Для удобства предположим, что все кучки стоят в ряд. Первым ходом первый игрок забирает кучку, стоящую посередине, далее он ходит симметрично второму относительно середины. Таким образом, последний ход принадлежит всегда первому.

Домашнее задание.

Как от куска шнура длиной 4 метра отрезать кусок длиной 3 метра без линейки?

Решение.

Сложить пополам, еще раз пополам и отрезать одну часть.

Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то двое мужчин сидят напротив друг друга.

Решение.

Если бы напротив всех мужчин сидели женщины, то женщин было бы не меньше, чем мужчин. Но тогда женщин не менее половины всех сидящих за столом. Получается, что мужчин в этом случае не может быть более половины, что противоречит условию. Значит, какие-то двое мужчин сидят напротив друг друга.

Занятие 7. Задачи на проценты и части.

Задачи «на проценты», пожалуй, единственный «подарок» математикам от бухгалтеров. Поэтому для успешного решения таких задач нужно помнить некоторые простые правила.

Чтобы найти часть от числа, нужно эту часть (дробь) умножить на число.

Вся величина, от которой берутся проценты, составляет 100%.

Чтобы избавиться от процентов, нужно перевести их в части, разделив на 100. Например, 20 % = 0,2; 75 % = 0,75; 150 %= 1,5 и т. д.

Чтобы узнать, на сколько процентов изменилась какая-то величина, нужно из конечного значения вычесть начальное и результат разделить на начальное значение. То, что получится, нужно умножить на 100 %.

Чтобы узнать процентное содержание вещества в растворе, нужно массу вещества разделить на массу раствора и результат умножить на 100 %.

Пример 1.

Товар подорожал на 30 %, а затем подешевел на 30 %. Как изменилась цена этого товара?

Решение.

Товар подорожал на 30 %, то есть стал стоить 130%, что составляет 130 : 100 = 1,3 от первоначальной цены. Затем он подешевел на 30 %, то есть стал стоить 100 % ─ 30% = 70%, что составляет 70 : 100 = 0,7 от новой цены. Пусть первоначальная цена была х. После подорожания товар стал стоить 1,3х, а после удешевления 0,7·1,3х = 0,91х. Найдем разницу между начальной и конечной ценой х – 0,91х = 0,09х, что составляет 0,09·100% = 9% от начальной цены.

Ответ:товар подешевел на 9%.

Пример 2.

На первом заседании парламента присутствовало 40% от списочного состава депутатов, на втором заседании – 55%. Сколько процентов депутатов присутствовало на обоих заседаниях?

Решение.

В этой задаче нельзя дать определенный ответ. Если все присутствующие на первом заседании были и на втором, то на двух заседаниях было 40% депутатов. Если же никто из посетивших первое заседание не пришел на второе, то на двух заседаниях было 0% депутатов. Понятно, что пересечением этих групп может быть любое целое число в промежутке от 0% до 40%.

Пример 3.

Сколько нужно взять сливок жирностью 36% и жирностью 18%, чтобы получить 90 кг сливок с содержанием 30% жира?

Решение.

Пусть нужно взять х кг сливок жирностью 36%, жира в них содержится 0,36х кг. Сливок жирностью 18% нужно взять у кг, в них содержится 0,18у кг жира. Всего сливок х + у = 90 кг, жира в них будет 0,36х + 0,18у = 0,3·90 кг. Решая полученную систему из двух уравнений, найдем х= 60 кг, у = 30 кг.

Или составим таблицу

х + у = 90;

0,36х + 0,18у = 0,3·90

Ответ:нужно взять 60 кг сливок жирностью 36% и 30 кг сливок жирностью 18%.

Пример 4.

Товар подорожал на 10%, а затем еще на 20%. Как изменилась цена этого товара?

Решение.

Новая цена равна 1,1·1,2 = 1,32 от старой цены. Увеличение цены составит (1,32 – 1)·100% = 32%.

Ответ:увеличилась на 32%.

Пример 5.

В растворе содержится 15 г сахара, 20 г соли и 165 г воды. Определите, каково процентное содержание соли и сахара в растворе.

Решение.

Процентное содержание соли в растворе:

% = 10%,

сахара: % = 7,5%.

Ответ:10% и 7,5%.

Домашнее задание.

В бутылку с 20 г 72%-ой уксусной эссенции добавили 140 г воды. Каково процентное содержание уксусной кислоты в получившемся растворе?

Решение.

В начальном растворе было 20·0,72 = 14,4 г уксусной кислоты, столько же осталось и в конечном. Раствора стало в итоге 20 + 140 = 160 г. Процентное содержание уксусной кислоты в получившемся растворе 14,4 : 160 = 0,09 = 9%.

Ответ:9%.

Магазин продал одному покупателю 25% полотна, второму – 30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось?

Решение.

Пусть было 100% полотна. Переформулируем условие так: после первой продажи осталось100 – 25 = 75% = 0,75 полотна, после второй─ 100 – 30 = 70% = 0,7 остатка, после третьей ─ 100 – 40 =60% = 0,6 нового остатка. Значит, осталось 100·0,75·0,7·0,6 = 0,315 = 31,5%.

Ответ:31,5%.

В одном городе Канады 70% жителей знают французский и 80%─ английский язык. Сколько процентов жителей знают оба языка?

Решение.

Общее 50%

Общее от 50% до 70%

Общее 70%

Занятие 8. Решение задач на проценты.

Пример 1.

Петя купил 2 книги. Первая на 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Решение.

Пусть первая книга стоит х, тогда вторая – 1,5х. Первая книга дешевле второй (1,5х – х) : 1,5х= 0,(3) = 33 %.

Ответ:на 33 %.

Пример 2.

Половина от половины числа равна половине. Какое это число?

Решение.

=, А = 2

Ответ:А = 2.

Пример 3.

Сколько 90%-ой и 60%-ой серной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-ой серной кислоты?

Решение.

Если 90%-ного раствора взять за х кг, то 60%-ного раствора взяли (5,4 – х) кг. Чистой скрной кислоты в первом ратворе содержится 0,9х кг, во втором – 0,6(5,4 – х) кг. В смеси чистой серной кислоты 0,8·5,4 = 4,32 кг. 0,9х + 0,6(5,4 – х) = 4,32.

Ответ:3,6 кг и 1,8 кг.

Пример 4.

Толя купил 4 книги. Все книги без первой стоят 48 руб., без второй – 46 руб., без третьей – 42 руб., без четвертой – 38 руб. Сколько стоит каждая книга?

Решение.

Если мы сложим стоимость всех книг без первой, без второй, без третьей, без четвертой, то цена каждой книги в сумме войдет 3 раза. Стоимость всех книг получится 58 рублей. Отсюда легко найти цену первой книги (58 – 48 = 10 рублей) и всех остальных.

Ответ:10, 12, 16 и 20 рублей.

Пример 5.

В сплаве весом 270 г содержится 5% золота. Сколько граммов золота нужно добавить, чтобы после переплавки получился сплав с 10%-м содержанием золота?

Решение.

До переплавки было 270·(1 – 0,05) = 256,5 г добавок. После добавления золота добавок осталось столько же, но они стали составлять 100 – 10 = 90% от веса нового сплава. Найдем этот вес: 256,5·100:90 = 285 г. Разность 285 – ─ 270 = 15 г и есть вес добавленного золота.

Ответ:15 г.

Пример 6.

На полке стояли вазы. Сначала разбили восьмую часть всех ваз без двух, а потом 40% оставшихся ваз. После этого на полке осталось 18 ваз. Сколько ваз было на полке первоначально?

Решение.

Разберем решение «с конца», без составления уравнения.

Оставшиеся окончательно 18 ваз составляют 60% оставшихся в первый раз, значит, тогда осталось 18:60·100 = 30 ваз. В свою очередь, эти 30 ваз без двух (т.е. 28) составляют 7/8 от начального числа ваз (без 2). На полке было 28:7·8 + 2 = 34 вазы.

Замечание.Возможно понять условие так – разбили восьмую часть без двух. Тогда ответ получится 32. Если условие можно понять двояко, нужно либо решать оба варианта, либо задать уточняющий вопрос.

Ответ:34 вазы.

Пример 7.

Двое рабочих изготовили 330 одинаковых деталей. Одному из них до выполнения нормы нужно сделать еще 6% деталей, а другой перевыполнил норму на 26%. Сколько деталей изготовил каждый?

Решение.

Если норма – у деталей, то один рабочий сделал 100 – 6 = 94% нормы, или 0,94у деталей, второй рабочий – 100 + 26 = 126% нормы, или 1,26у, отсюда 0,94у+ 1,26у = 330, у = 150. Один рабочий сделал 0,94у = 141 деталь, второй рабочий – 1,26у = 189 деталей.

Ответ:141 и 189 деталей.

Дополнительные задачи.

В прямоугольнике размерами 50х12 дм большую сторону уменьшили на 50%, а меньшую увеличили на 150%. Как изменилась площадь прямоугольника?

Решение.

50·12 = 600 (дм²) – площадь прямоугольника,

25·30 = 750 (дм²) – площадь нового прямоугольника,

600 дм² ─100%

750 дм ²─ ?%, тогда ,

125 – 100 = 25 (%)

Ответ:увеличилась на 25%.

До конца суток осталось 5/3 того времени, что уже прошло от начало суток. Который теперь час?

Решение.

5/3·х= 24 – х, откуда х = 9

Ответ:сейчас 9 часов.

Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 20 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 2% ?

Решение.

В 20 кг морской воды содержится 20·0,05 = 1 кг соли. Прибавим к 20 кг морской воды х кг пресной, в которой содержится 2 кг соли. Согласно условию имеем уравнение , откуда х = 80.

Ответ:80 кг.

Зарплату учителям повысили на 45%. А через год еще на 20%. На сколько процентов увеличилась зарплата учителя?

Решение.

15% = 0,15; 20% = 0,2. Новая зарплата равна 1,15·1,2 = 1,38 от прежней. Увеличение зарплаты составит: (1,38 – 1)·100% = 38%.

Ответ:на 38%.

Сумма двух чисел равна 51. Найти эти числа, если 30% одного равны 60% другого.

Решение.

х+у + 51; 0,3х = 0,6у, тогда х = 2у и 2у + у = 51, у =17; х = 34.

Ответ:17 и 34.

Чтобы испечь хлеб, муку замешивают с равным ей по массе количеством воды. В печи тесто теряет 30% своей массы. Сколько нужно взять муки, чтобы испечь 7 т хлеба?

Решение.

100% - 30% = 70% = 0.7; 2х·0,7 = 7, откуда х = 5.

Ответ:5 т.

Каменный уголь содержит 1% воды. Через некоторое время он пропитывается водой так, что содержит уже 10% воды. На сколько тонн при этом увеличится масса добытого угля в 100 т?

Решение.

1% = 0,01.

100 т ·0,01 = 1 т – количество воды в добытом угле.

100 т – 1 т = 99 т – чистого угля.

99 т – 100%

хт – 110%, откуда х = 99·110:100 = 108,9 т.

108,9 – 100 = 8,9 т – увеличится масса добытого угля.

Ответ: на 8,9 т.

Который сейчас час, если истекшая часть суток равна 25% остающейся?

Решение.

Пустьх ч – оставшаяся часть суток, тогда истекшая часть будет (24 – х) ч, что по условию равно 25% = 0,25х ч. Имеем уравнение 24 – х = 0,25х, откуда х = 19,2 (ч) = 19 ч 12 мин. Значит, теперь 24 ч – 19 ч 12 мин = 4 ч 48 мин.

Ответ:4 ч 48мин.

Сплавили 3 кг серебра 650-й пробы и 2 кг 720-й пробы. Какой пробы получился сплав?

Решение.

Ответ:получился сплав 678 пробы.

Какова крепость (концентрация) раствора соли, если к 720 г воды добавлено и растворено в ней 80 г соли?

Решение.

720 + 80 = 800 (г) – получено смеси;

80:800 = 0,1 = 10% - концентрация смеси.

Ответ:концентрация раствора 10%.

Разделить число 15000 на две части так, чтобы 5% первой части и 7% второй составили бы вместе столько же, сколько 6,5% всего числа.

Решение.

Пусть первая часть числа х, тогда вторая часть равна (15000 – х). Согласно условию имеем уравнение

0,05х + 0,07·(15000 – х) = 0,065·15 000, откуда находим х = 3 750 – I часть, тогда 15 000 – 3750 = 11 250 – II часть.

Ответ:3 750 и 11 250.

Стоимость изделия удалось снизить на 10%, а через месяц еще на 15% с новой стоимости. На сколько процентов снизилась стоимость изделия в результате двух снижений?

Решение.

100 – 10 = 90 (%) = 0,9; 15% = 0,15, 100 – 15 = 85 (%) = 0,85

0,9·0,85 = 0,765 или 76,5%,

100 – 76,5 = 23,5(%).

Ответ:на 23,5%.

Цены снижены на 20%. На сколько процентов больше можно купить товаров на ту же заработанную плату?

Решение.

(20·100):80 = 25 (%).

Ответ:на 25%.

На сколько процентов увеличится объем куба, если длину каждого ребра увеличить на 10% ?

Решение.

Еслих – ребро куба, то его объем х³. При увеличении каждого ребра на 10% его длина станет х + 0,1х = 1,1х, а его объем станет (1,1х)³ = 1,331х³. Значит, объем куба увеличится на 1,331·100 – 100 = 33,1 (%).

Ответ:на 33,1 %.

В 5А классе число отсутствующих учеников составило 1/9 часть от числа присутствующих. Сколько процентов класса отсутствовало?

Решение.

х – присутствующие. 1/9 х – отсутствующие, 1 – всего.

х+ 1/9 х= 1. х = 9/10. Тогда отсутствовала 1/10 часть класса, т.е. 10%.

Ответ:10%.

Занятие 1. Четные и нечетные числа. Признак делимости на 2.

Свойства четности.

Известно, что целые числа бывают четные и нечетные. Четные числа можно записать в виде 2k, где k – целое число, а нечетные – в виде 2k + 1.

Легко доказать (показать на примерах) такие свойства четности для целых чисел.

1.Сумма четных чисел четна. (8 + 12 = 20)

2.Сумма 2-х нечетных чисел четна. (13 + 27 = 40)

Сумма четного и нечетного чисел нечетна. (26 + 11 = 37)

Произведение любого числа на четное – четно. (12·4 = 48, 13·4 =52)

Если произведение нечетно, то все сомножители нечетны. (105= 7·3·5)

Сумма четного количества нечетных чисел четна. (3 + 7 +11 +13 = 34)

Сумма нечетного количества нечетных чисел нечетна. (3+9+11+17+5=35)

Разность и сумма двух данных чисел – числа одной четности.

(28 – 14 = 14, 28 + 14 = 42; 33 – 9 = 24, 33 + 9 = 42; 22 – 3 = 19, 22 + 3 = 25; 37 – 4 = 33, 37 + 4 = 41)

Если объекты можно разбить на пары, то их количество четно. (8 объектов по парам – четыре пары)

Пример 1.

Могут ли десять игрушек ценой в 3, 5 или 7 рублей стоить в сумме 53 рубля?

Пример 2.

Можно ли 7 телефонов соединить между собой попарно так, чтобы каждый был соединен ровно с тремя другими?

Пример 3.

В секции бокса мальчиков в 14 раз больше, чем девочек, при этом всего в секции не более 20 человек. Смогут ли они разбиться на пары?

Домашнее задание.

1. У Маши было 5 плиток шоколада. Может ли Маша, поделив каждую плитку на 9, 15 или 25 кусочков, получить всего 100 кусков шоколада?

2. Гриша посчитал сумму 1 + 3 + 5 + …+ 997 + 999 и получил результат 247013. Какая четность данной суммы? Верный ли ответ получил Гриша? Попробуйте выполнить сложение устно.

Вычислите: 99 – 97 + 95 – 93 + …+ 7 – 5 + 3 – 1.

Занятие 2. Решение задач.

Пример 1.

Пять девятиногов с планеты Шуруру решили устроить турнир по армреслингу. Смогут ли они одновременно провести поединки для всех своих ног, чтобы все ноги принимали участие и в каждом поединке встречалось ровно две ноги?

Пример 2.

Лена и Маша играют в следующую игру: каждая из них записывает на бумажке по одному натуральному числу. Потом эти числа перемножаются, и если в результате получается четное число, то выигрывает Лена, а если нечетное – то Маша. Может ли одна из девочек всегда выигрывать, как бы ни играла другая?.

Пример 3.

У каждого марсианина по 3 руки. Могут ли 13 марсиан взяться за руки так, чтобы не оставалось свободных рук?

Пример 4.

Класс шел парами. Один из учеников глянул вперед и насчитал 8 пар, затем обернулся назад и насчитал 4 пары. Сколько всего участников шло в колонне?

Пример 5.

Разделить числа 1; 2; 7; 13; 18; 25; 31; 43 на две группы так, чтобы сумма чисел одной группы был равна сумме чисел другой группы.

Пример 6.

Сумма 2010 натуральных чисел – число нечетное. Четным или нечетным будет произведение этих чисел?

Пример 7.

Четное или нечетное число 1 + 2 + 3 +…+ 99 + 100?

Домашнее задание.

С помощью четырех четверок и знаков действий запишите все натуральные числа от 1 до 10.

Занятие 3. Раскраски.

На олимпиадах часто встречаются задачи, объединенные одной и той же идеей – раскрасить в несколько цветов таблицу так, чтобы было видно, что какое-то условие задачи не может выполняться.

Пример 1.

Гостиница имеет форму квадрата 3х3, каждая клетка 1х1 – комната. Все 9 постояльцев недовольны своей комнатой и считают, что любая комната через стенку лучше, чем та, в которой они живут. Может ли хозяйка переселить их так, чтобы каждый постоялец переехал в соседнюю комнату?

Пример 2.

Можно ли разрезать прямоугольник 10х6 на прямоугольники 1х4?

Пример 3.

От шахматной доски 8х8 отрезали: а) клеткуа1; б) клетки а1 и h1; в) клетки а1 и h8. Можно ли остаток доски разрезать на «доминошки» 2х1?

Домашнее задание.

1. В дачном поселке 25 участков, расположенных в виде квадрата 5х5. Каждому из дачников, владеющих этими участками, нравится участок соседа (соседи – те, кто имеет общий забор). Могут ли они поменяться участками так, чтобы все 25 дачников получили нравящиеся им участки?

2. Четыре утенка и пять гусят весят 4 кг 100г, а пять утят и четыре гусенка весят 4кг. Сколько весит 1 утенок?

3. В классе 17 пловцов, 6 борцов и 13 шахматистов. Известно, что каждый спортсмен занимается двумя видами спорта. Сколько в классе спортсменов?

Занятие 4. Решение задач.

Пример 1.

Из доски 8х8 вырезали угловую клетку. Можно ли получившийся остаток разрезать на прямоугольники 3х1?

Пример 2.

Может ли Карлсон на спор с Малышом обойти шахматным конем всю шахматную доску 7х7 клеток так, чтобы конь побывал на каждой клетке по одному разу и вернулся на начальную клетку?

Пример 3.

Какое наибольшее количество королей можно поставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Домашнее задание.

Как мудрецы разделили шахматную доску с алмазами на 4 одинаковые части с одним алмазом в каждом?

Занятие 5. Конструктивные задачи.

Пример 1.

Можно ли, имея лишь два сосуда 3 и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?

Пример 2.

Можно ли в таблице 3х3, следуя шахматным правилам, конем

а) попасть из угловой клетки в диагонально противоположную;

б) обойти все клетки доски?

Пример 3.

Имеются три бочонка вместимостью 6 ведер, 3 ведра и 7 ведер. В первом и третьем содержится соответственно 4 и 6 ведер воды. Требуется, пользуясь только этими тремя бочонками, разделить воду поровну.

Пример 4.

Двое должны разделить поровну 8 ведер воды, находящейся в восьмиведерном бочонке. Но у них есть еще только два пустых бочонка, в один из которых входит 5 ведер, а в другой – 3 ведра. Спрашивается, как они могут разделить эту воду, пользуясь только этими тремя бочонками?

Домашнее задание.

Как, имея 2 сосуда емкостью 5 и 9 л, набрать из водоема ровно 3 л воды?

Можно ли числа от 1 до 32 разбить на несколько групп так, чтобы произведения внутри каждой группы были равны?

Занятие 6. Решение конструктивных задач.

Пример 1.

Имеется 552гири весом 1 г, 2 г, 3 г, …,552г. Разложите их на три равные по весу кучки.

Пример 2.

Имеется 4,5 кг конфет. Как с помощью трех взвешиваний на чашечных весах взвесить 1 кг конфет с помощью одной гири 100 г?

Пример 3.

Как определить из 8 монет одну фальшивую, если она тяжелее настоящей, за два взвешивания?

Пример 4.

Имеется 1999 кучек камней по 10 камней в каждой. Играют двое. За один ход разрешается брать несколько камней (можно и все ) из какой-нибудь одной кучки. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре?

Домашнее задание.

Как от куска шнура длиной 4 метра отрезать кусок длиной 3 метра без линейки?

Сто человек сидят за круглым столом, причем более половины из них – мужчины. Докажите, что какие-то двое мужчин сидят напротив друг друга.

Занятие 7. Задачи на проценты и части.

1) Чтобы найти часть от числа, нужно эту часть (дробь) умножить на число.

2) Вся величина, от которой берутся проценты, составляет 100%.

3) Чтобы избавиться от процентов, нужно перевести их в части, разделив на 100. Например, 20 % = 0,2; 75 % = 0,75; 150 %= 1,5 и т. д.

4)Чтобы узнать, на сколько процентов изменилась какая-то величина, нужно из конечного значения вычесть начальное и результат разделить на начальное значение. То, что получится, нужно умножить на 100 %.

5) Чтобы узнать процентное содержание вещества в растворе, нужно массу вещества разделить на массу раствора и результат умножить на 100 %.

Пример 1.

Товар подорожал на 30 %, а затем подешевел на 30 %. Как изменилась цена этого товара?

Пример 2.

На первом заседании парламента присутствовало 40% от списочного состава депутатов, на втором заседании – 55%. Сколько процентов депутатов присутствовало на обоих заседаниях?

Пример 3.

Сколько нужно взять сливок жирностью 36% и жирностью 18%, чтобы получить 90 кг сливок с содержанием 30% жира?

Пример 4.

Товар подорожал на 10%, а затем еще на 20%. Как изменилась цена этого товара?

Пример 5.

В растворе содержится 15 г сахара, 20 г соли и 165 г воды. Определите, каково процентное содержание соли и сахара в растворе.

Домашнее задание.

В бутылку с 20 г 72%-ой уксусной эссенции добавили 140 г воды. Каково процентное содержание уксусной кислоты в получившемся растворе?

Магазин продал одному покупателю 25% полотна, второму – 30% остатка, а третьему – 40% нового остатка. Сколько процентов полотна осталось?

В одном городе Канады 70% жителей знают французский и 80%─ английский язык. Сколько процентов жителей знают оба языка?

Занятие 8. Решение задач на проценты.

Пример 1.

Петя купил 2 книги. Первая на 50% дороже второй. На сколько процентов вторая книга дешевле первой?

Пример 2.

Половина от половины числа равна половине. Какое это число?

Пример 3.

Сколько 90%-ой и 60%-ой серной кислоты надо взять, чтобы получить 5,4 кг 80%-ой серной кислоты?

Пример 4.

Толя купил 4 книги. Все книги без первой стоят 48 руб., без второй – 46 руб., без третьей – 42 руб., без четвертой – 38 руб. Сколько стоит каждая книга?

Пример 5.

В сплаве весом 270 г содержится 5% золота. Сколько граммов золота нужно добавить, чтобы после переплавки получился сплав с 10%-м содержанием золота?

Пример 6.

На полке стояли вазы. Сначала разбили восьмую часть всех ваз без двух, а потом 40% оставшихся ваз. После этого на полке осталось 18 ваз. Сколько ваз было на полке первоначально?

Пример 7.

Двое рабочих изготовили 330 одинаковых деталей. Одному из них до выполнения нормы нужно сделать еще 6% деталей, а другой перевыполнил норму на 26%. Сколько деталей изготовил каждый?

Дополнительные задачи.

В прямоугольнике размерами 50х12 дм большую сторону уменьшили на 50%, а меньшую увеличили на 150%. Как изменилась площадь прямоугольника?

До конца суток осталось 5/3 того времени, что уже прошло от начало суток. Который теперь час?

Морская вода содержит 5% соли. Сколько кг пресной воды надо добавить к 20 кг морской воды, чтобы содержание соли в последней составило 2% ?

Зарплату учителям повысили на 45%. А через год еще на 20%. На сколько процентов увеличилась зарплата учителя?

Сумма двух чисел равна 51. Найти эти числа, если 30% одного равны 60% другого.

Чтобы испечь хлеб, муку замешивают с равным ей по массе количеством воды. В печи тесто теряет 30% своей массы. Сколько нужно взять муки, чтобы испечь 7 т хлеба?

Каменный уголь содержит 1% воды. Через некоторое время он пропитывается водой так, что содержит уже 10% воды. На сколько тонн при этом увеличится масса добытого угля в 100 т?

Который сейчас час, если истекшая часть суток равна 25% остающейся?

Сплавили 3 кг серебра 650-й пробы и 2 кг 720-й пробы. Какой пробы получился сплав?

Какова крепость (концентрация) раствора соли, если к 720 г воды добавлено и растворено в ней 80 г соли?

Разделить число 15000 на две части так, чтобы 5% первой части и 7% второй составили бы вместе столько же, сколько 6,5% всего числа.

Стоимость изделия удалось снизить на 10%, а через месяц еще на 15% с новой стоимости. На сколько процентов снизилась стоимость изделия в результате двух снижений?

Цены снижены на 20%. На сколько процентов больше можно купить товаров на ту же заработанную плату?

На сколько процентов увеличится объем куба, если длину каждого ребра увеличить на 10% ?

В 5А классе число отсутствующих учеников составило 1/9 часть от числа присутствующих. Сколько процентов класса отсутствовало?

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/104830-kurs-po-vyboru-po-matematike-dlja-5-klassa-ka