Методика организации и проведения обучающих семинаров по математике

ПРОЕКТ

ТЕМА: «Методика организации и проведения обучающих семинаров по математике»

Содержание:

1. Введение 3

2. Методика проведения уроков – семинаров 5

3. Конспект урока – семинара по теме: «Обратные тригонометрические функции и их свойства в задачах» 7

4. Заключение 22

5. Литература 24

6. Приложение 25

1.Введение

Цель: Систематизировать знания учащихся по математике, повысить их математическую культуру.

Задачи:

1) Провести классификацию семинаров.

2) Раскрыть этапы семинара.

3) Разработать обучающий семинар по теме: «Обратные тригонометрические функции».

Семинары характеризуются, прежде всего, двумя взаимосвязанными признаками: самостоятельным изучением учащимся программного материала и обсуждением на уроке, результатов их познавательной деятельности. На них ребята учатся выступать с самостоятельными сообщениями, дискутировать, отстаивать свои суждения.

Семинары способствуют развитию познавательных и исследовательских умений учащихся, повышению культуры общения.

Главными источниками знаний на уроках-семинарах являются учебники, учебная, научная, справочная литература. Систематическая работа учащегося с источниками знаний приучает школьников к самостоятельному добыванию необходимой информации, письменно оформлять свои мысли, суждения, развивать потребность в знаниях и самообразовании.

Различают уроки-семинары по учебным задачам, источникам получения знаний, формам их проведения.

Основные случаи, когда предпочтительнее организовывать уроки в форме семинаров:

при изучении нового материала, если он доступен для самостоятельной проработки учащимися;

после проведения вводных, установочных и текущих лекций;

при обобщении и систематизации знаний и умений учащихся по изучаемой теме;

при проведении уроков, посвященных различным методам решения задач, выполнения заданий и упражнений.

Чаще всего проводятся семинары-доклады, рефераты, творческие и письменные работы, семинар-решение задач, семинар-диспут, семинар-конференция и т.д.

2. Методика проведения уроков - семинаров

Семинар проводится со всем составом учащихся. Учитель заранее определяет тему, цель и задачи семинара, планирует его проведение, формулирует основные и дополнительные вопросы по теме, распределяет задания между учащимися с учётом их индивидуальных возможностей, подбирает литературу, проводит групповые и индивидуальные консультации, проверяет конспекты. Учащиеся оформляют результаты самостоятельной работы в виде плана, таблиц, схем, графиков и т.д. Семинарское занятие начинается вступительным словом учителя, в котором он напоминает задачу семинара, рекомендует, что нужно записать в тетрадь, даёт другие советы.

Особенностью любого семинарского занятия в школе является то, что на них отсутствует опрос учащихся, как самостоятельная часть урока. Контроль на этих уроках сливается с обучением и осуществляется этот контроль через систематические наблюдения учителя за ходом работы учеников. В конце каждого урока учащиеся самостоятельно выполняют задания, работа проверяется учителем. Часть учеников учитель опрашивает устно. И в этом, и в другом случае учащимся выставляются оценки. Это текущий контроль. Проведение семинаров может быть составной частью лекционно-семинарской системы обучения, которая используется в общеобразовательной школе, сочетаясь с формами обучения классно-урочной системы.

При этой системе обучения учитель подает учащимся материал большими блоками, в каждый из которых входит одна крупная или несколько мелких тем. Это позволяет учащимся познать причинно-следственные связи во всем комплексе явлений по данной теме. Учащиеся постигают логику раскрытия темы и записывают в тетради основные мысли, формулы и расчеты.

Следующие уроки отводятся на занятия, на которых учащиеся самостоятельно прорабатывают тему. Задания даются учащимся дифференцированно по трем вариантам. Учащиеся знакомятся со всеми тремя вариантами и сами выбирают тот, с которым, по их мнению, они справятся в отведенное время. Учитель оказывает помощь учащимся во время работы. Последний по теме урок является зачетным.

Рассмотрим организацию таких уроков на примере обобщающего семинара по теме «Обратные тригонометрические функции и их свойства в задачах».

3. Конспект урока – семинара по теме:«Обратные тригонометрические функции и их свойства в задачах»

Цель: углубление и расширение знаний по теме «Обратные тригонометрические функции».

Подготовительная работа:

1. Ознакомить учащихся с обсуждаемыми вопросами:

а) Определение, свойства и графики обратных тригонометрических функций.

б) Основные тождества для обратных тригонометрических функций.

в) Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.

г) Тождественные преобразования выражений, содержащих обратные тригонометрические функции.

2. Тематика сообщений учащихся (по желанию):

а) Оформить в виде таблицы основные свойства и построить графики для функций обратных функциям

y = tgx,x ϵ (- π/2 ; π/2)

и

y = ctg x,x ϵ (0 ; π);

б) Доказать тождества

arcsinx + arccos x = π/2,

arctgx + arcctgx = π/2

и другие из таблицы 3.

3. Разбить класс на три группы и раздать для самостоятельного решения упражнения (III этап семинара):

а) построить графики;

б) решить уравнения;

в) решить неравенства.

I этап семинара: теоретический блок

Данный этап необходим для того, чтобы учащиеся вспомнили основные определения, фиксируя внимание на особых свойствах.

Функции y=arcsinx, y=arccos x определены для всех тех х, которые удовлетворяют условию [x] ≤ 1;

обратные тригонометрические функции ограничены;

множества значений арксинуса и арккосинуса представляют собой замкнутые промежутки, арктангенса и арккотангенса – открытые.

Все указанные свойства фиксируются в табл.1.

Анализируя её, учащиеся ещё раз вместе с учителем не только повторяют выделенные в ней черты сходства и различия в определениях обратных тригонометрических функций, но и проговаривают соответствующие дефиниции.

На I этапе учитель обязан обсудить с учащимися следующие вопросы:

- всякая ли функция имеет обратную?

- каким условиям должна удовлетворять обратимая функция?

- имеют ли тригонометрические функции, рассматриваемые в их естественной области определения, обратные?

Учитель предлагает учащимся следующие задания:

1. Укажите промежутки области определения, на которых тригонометрические функции имеют обратные.

2. Объясните, как взаимосвязаны свойства взаимно обратных функций? Покажите эту связь для функций

f ( x ) = sin x,x ϵ [ - π/2 ; π/2],

и

g ( x ) = arcsinx.

Отвечая на эти вопросы, учащиеся заполняют табл.2 и строят графики функций

f ( x ) = sin x,x ϵ [ - π/2 ; π/2],

g ( x ) = arcsinx,

используя их симметричность относительно прямой y = x.

Таблица 2

Одновременно с этим другой ученик выполняет аналогичную работу с функциями

y = tg x,х ϵ (- π/2 ; π/2), и y = arctg x.

Запись (а ; b) ϵ Гf читается так: «Точка с координатами (a ; b) принадлежит графику функции f».

Далее учитель предлагает учащимся сравнить полученные графики (рис.1), обращает их внимание на графическую интерпретацию особых свойств обратных тригонометрических функций.

II этап семинара: доказательство тождеств

Главная задача этого этапа состоит в выделении четырех основных групп тождеств, обсуждение идей их доказательств (табл.3).

В заданиях А – В приведены тождества, справедливые на их естественных областях определения.

Утверждения Г я предлагаю зафиксировать именно в виде равносильностей на указанных множествах.

Обсуждая доказательства этих тождеств, учитель должен обратить внимание учащихся на то, что главный инструмент для их обоснования – использованиеопределений соответствующих функций.

Некоторые тождества доказывает учитель, другие утверждения обосновывают учащиеся.

Например, учитель подчеркивает, что тождество

sin (arcsin x) = x

является непосредственным следствием из определения.

Из основного тригонометрического тождества, определения тангенса и только что доказанного получаем:

cos² (arcsin x) = 1 - sin² (arcsin x),

т.е.

cos² (arcsinx) = 1 - x²

Так как

arcsinxϵ [-π/2 ; π/2],

то

cos (arcsin x) ≥ 0,

следовательно,

Работая с утверждениями из раздела Г, учитель должен обратить особое внимание на логическую структуру этих утверждений, «коварство» тождеств на множестве и снова подчеркнуть, что решающую роль в их обосновании играют определяющие свойства.

III этап семинара: тренировочные упражнения

Рассмотрение теоретического материала завершается тренировочными упражнениями.

Они не требуют больших технических выкладок, однако для их выполнения необходимо глубокое понимание изучаемого материала. Кроме того, эти упражнения существенно влияют на общую математическую культуру учащихся.

Упражнения подобраны так, чтобы провоцировать типичные ошибки учащихся.

Например, задание 1а требует применить тождество

sin (arcsin x) = x,

которое справедливо в естественной области определения.

Поэтому учащиеся должны сделать вывод, что графиком функции

y = sin (arcsin x)

является отрезок прямой, заданной уравнением y = x, при

х ϵ [-1 ; 1].

Аналогично в заданиях 1б, в следует применить тождества

arcsinx + arccos x = π/2

и

arctgx + arcctg x = π/2

и сделать вывод, что графиком функции

y = arctg x + arcctg x

является прямая

y = π/2,

а графиком функции

y = arcsin x + arccos x

служит отрезок прямой

y = π/2,

соответствующий значениям

х ϵ [-1 ; 1].

Имея дело с заданиями 1г и 1д, учащиеся должны прежде всего найти области определения данных функций, т.е. установить:

arсcosx – π ≥ 0, arcsin²x - π²/4 ≥ 0.

Первое из этих неравенств справедливо только в одном случае, когда

arccos x = π,

т.е.

х = -1,

а тогда графиком функции

y = √(arccos x – π)

служит единственная точка (-1 ; 0).

Второе неравенство можно представить в виде

(arcsinx – π/2) (arcsin x + π/2) ≥ 0,

что равносильно совокупности систем

Отсюда

Таким образом, графиком функции

служат две точки с координатами (1 ; 0) и (-1 ; 0).

Выполнение упражнений вида 1 ломает стереотипные представления учащихся, повышает их графическую и функциональную культуру.

Выполнение заданий 2 и 3 предполагает лишь использование свойств тригонометрических и обратных тригонометрических функций, а также арифметических квадратных корней.

Учитывая множества значений соответствующих функций, учащиеся должны делать следующие выводы:

- уравнение 2а имеет единственное решение х = 1;

- уравнение 2б не имеет решений;

- неравенства 3а и 3б имеют единственное решение х = -1.

Выполняя задания 3в и 3г, некоторые учащиеся спешат заявить, что неравенства

arcsin x ≤ π/2, arcctgx › 0

выполняются при любых х.

Учитель в очередной раз возвращает их к определениям, согласно которым множество решений первого из данных неравенств является промежуток [-1 ; 1], а множество решений второго промежутка (- ∞ ; + ∞).

Переходя к заданию 4, учитель обращает внимание на тонкий момент.

Если каждое из уравнений

arccosx = a

и

arcsinx = π/2 – а

не имеет решений, то они равносильны.

Каждое из уравнений не имеет решений, когда

а ϵ ( - ∞ ; 0 ) U ( π ; + ∞ ).

Если же

а ϵ [0 ; π],

то единственными решениями этих уравнений по определению будет число cosа. Поэтому эти уравнения равносильны при любом а.

Подобные упражнения можно предложить учащимся для домашней работы.

IV этап семинара: практический раздел

Задания на тождественные преобразования. Вычислите:

1.а) sin (arctg (-2));

б) sin (arcsin 1/3 – arccos 1/5);

в) cos (arcsin ¼ + arccos ¼);

г) cos² (1/2 arcctg 2);

д) 2 arctg ¼ + arctg 7/23.

2. а) arcsin (sin 14);

б) arcctg (tg 10).

Обсуждая решение этих задач, учитель вновь должен побудить учащихся к определениям обратных тригонометрических функций и основным тригонометрическим тождествам.

Например, выполняя задание 1а учащиеся должны рассуждать следующим образом.

Пусть

arctg (-2) = ɤ.

Тогда по определению арктангенса

tg ɤ = -2

и

ɤϵ (- π/2 ; 0).

Отсюда

tg² ɤ = sin² ɤ/cos² ɤ = sin² ɤ/1 - sin² ɤ = 4.

Из уравнения

sin² ɤ = 4 – 4 sin² ɤ

находим, что

sin² ɤ = 4/5.

Поскольку

ɤϵ (- π/2 ; 0)

то

sin ɤ ‹ 0

и

sin ɤ = - √4/5.

Окончательно,

sin (arctg (-2)) = - 2√5/5.

Выполнение других заданий пункта 1 предполагает, что помимо аналогичных действий будут использоваться формулы сложения тригонометрических функций, двойного половинного аргументов.

Например, упражнение 1б учащиеся должны выполнить следующим образом.

Обозначим

arcsin 1/3 = α,

arccos 1/5 = β.

Тогда

sinα = 1/3,

cosβ = 1/5

и

В то же время учитель должен призывать учащихся к отысканию наиболее рациональных решений.

Например, с учетом тождества

arcsinx + arccos x = π/2,

хϵ [-1 ; 1],

задание 1в становится практически устным:

cosπ/2 = 0.

Выполнять задание 2 можно разными способами.

Можно использовать формулы приведения и утверждения типа Г из табл.3.

В случае 2а получим

arcsin ( sin 14 ) = arcsin (sin (14 - 4π)) = 14 - 4π,

так как

14 - 4π ϵ [-π/2 ; π/2].

Другой способ основан на использовании определения арксинуса. Именно,

Теперь дело сводится к решению уравнения

sinx = sin 14

и отысканию того корня, который принадлежит промежутку

[ - π/2 ; π/2 ].

V этап семинара: решение уравнений

Семинар завершается обобщением методов решения уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции.

Я выделяю четыре типа уравнений:

1. Простейшие;

2. Сводимые к алгебраическим;

3. Решаемые с использованием свойств функций;

4. Уравнения, решение которых основано на переходе к следствию (применение одной и той же тригонометрической функции к обеим частям уравнения).

Примеры уравнений:

1. arccos (7x + 5)/13 = arcsin (4x + 1)/13

((7х + 5)/13)² = ((4х + 1)/13)²

65х² + 78х -143 = 0

х = 1 х = 142/65

Ответ: 1.

2.arcsinx arcos x = π²/18

arcsin (π/2 – arcsin x) = π²/18

18 arcsin² x - 9π arcsin x + π² = 0

arcsinx = t |t | ≤ π/2

18t² - 9πt + π² = 0

t = π/3 t = π/6

arcsinx = π/3 arcsin x = π/6

х = ½ х = √3/2

Ответ: ½ ; √3/2.

3. 2arcsin 2x = 3 arccosx

функцияy = 2 arcsin 2x ̶̵̶ возрастающая

функцияy = 3 arccosx ̶̵̶ убывающая

уравнение имеет единственный корень: х = 0,5.

Ответ: 0,5.

В стандартных школьных учебниках таких уравнений нет, а их решение систематизируют знания ученика по всему курсу тригонометрии, проверяет понимание и усвоение понятий этого раздела. Набор тренировочных упражнений по данной теме находится в разделе «Приложение».

4. Заключение

Обучение - самый важный и надежный способ получения систематического образования. Будучи сложным и многогранным специально организуемым процессом отражения в сознании ребенка реальной действительности, обучение есть не что иное, как специфический процесс познания, управляемый педагогом. Именно направляющая роль учителя обеспечивает полноценное усвоение школьниками знаний, умений и навыков, развитие их умственных сил и творческих способностей.

При проведении семинаров обучение не сводится к механической передаче знаний, умений и навыков. Это двусторонний процесс, в котором в тесном взаимодействии находятся педагоги и воспитанники (учащиеся): преподавание и учение. При этом преподавание должно рассматриваться условно, так как учитель не может ограничиться только изложением знаний - он развивает и воспитывает, т.е. осуществляет целостную педагогическую деятельность. Деятельность учителя как организатора и руководителя всей учебной работой учащихся всегда высоко оценивалась.

Однако необходимо отчетливо представлять себе и роль самого ученика, так как он является центральным звеном основного и исходного отношений в педагогическом процессе. Успех обучения в конечном итоге определяется отношением школьников к учению, их стремлением к познанию, способностью осознанно и самостоятельно приобретать знания, умения и навыки, активностью.

Поскольку развитие ученика происходит только в процессе его собственной деятельности, то основой обучения следует считать не преподавание, а учение.

Выбор данной темы обусловлен тем, что существует целый список заданий с которыми учащиеся впервые могут встретиться лишь на выпускных экзаменах.

Одной из таких тем является изучение обратных тригонометрических функций. Целью данного урока – семинара было углубление и расширение знаний по теме: «Обратные тригонометрические функции», поскольку решение заданий по данной теме систематизирует знания по всему курсу тригонометрии, проверяет понимание и усвоение важнейших понятий раздела.

Построение графиков обратных тригонометрических функций повышает графическую и функциональную культуру.

Предложенные в данной работе задания целесообразно использовать именно на обобщающем семинаре, поскольку происходит не просто решение упражнений, а обязательное обсуждение, теоретический анализ природы математического знания.

Материал подобран таким образом, чтобы в работе были задействованы все учащиеся класса в соответствии со своими способностями. Если класс «слабый», то можно исключить некоторые вопросы (не доказывать, например, все тождества, уравнения подобрать более простые и т.д.).

На уроке присутствует (по выражению С.Л. Рубинштейна) «основной нерв мышления: постоянное включение объекта во всё новые системы связей, через которые раскрываются не выявленные свойства, а потому четко просматриваются основные этапы:

- воспроизведение повторяемого материала;

- систематизация и обобщение ранее изученного;

- углубление и расширение знаний;

- применение теоретических знаний к решению различного рода упражнений.

Все это служит выполнению поставленной цели урока.

Литература

1. Алгебра и математический анализ. 10 класс: Учебник для углубленного изучения математики в общеобразовательных учреждениях / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбург – 12 издание, исправленное - Москва: Мнемозина, 2005 г. – 335 с.

2. Н.П. Левченко

Математика: Тренировочные задания тестовой формы с кратким ответом: Рабочая тетрадь для учащихся общеобразовательных учреждений. – Москва: Вентана – Граф, 2008 г. – 96 с. (Практикум для подготовки к ЕГЭ).

3. С.А. Шестаков, П.И. Захаров

ЕГЭ 2011. Математика. Задача С1 / Под редакцией А.Л. Семенова и И.В. Ященко – Москва: МЦНМО, 2011 г. – 120 с.

4. А.А. Темербекова

Методика преподавания математики: Учебное пособие для студентов высших учебных заведений – Москва: Гуманитарный издательский центр «Владос, 2003 г. – 176 с.

5. Л.М. Фридман

Теоретические основы методики обучения математики: Пособие для учителей, методистов и педагогических высших учебных заведений - Москва: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 1998 г. – 224 с.

6. Приложение

Вычислить:

1. sin (2arccos ¼)

2. cos (arcsin (- ½))

3. ctg (arccos ¼)

4. sin (arcctg 2√2)

5. sin (arcsin 3/5 + arcsin 8/17)

6. tg (arcsin 1/3 + arccos ¼)

7. sin (arctg 2 + arctg 3)

8. sin (2arctg 1/3) + cos (arctg2√3)

9. arcsin (sin 1,7π)

10. arccos (cos 10)

11. sin (arcsin (-½) – arccos (-√3/2) + arctg√3)

12. sin (arcsin (3/5) + arccos 1/3))

13. tg (7π/4 + ½ arccos 2a/b) + tg (7π/4 – ½ arccos 2a/b)

14. arccos (cos (2arcctg (√2 – 1)))

15. tg (3π/4 – 1/4arcsin (-4/5))

16. sin² (arcctg ½ - arctg (-1/3))

17. tg (½ arccos 3/5 – 2arcctg (-2))

18. tg (2arccos 5/√26 – arcsin 12/13)

19. cos (½ arcsin 4/5 – 2arcctg (-½))

20.arccos 4/5 – arccos ¼.

Найти значение f (n) = arcsin (sinn) при n = 1, 2, 3, 4, 5.

Доказать тождества:

1. arcsin √3/2 + arccos √3/2 = π/2

2. cos (2arcctg 7) = sin (4arcctg 3)

3. cos (2arctg 2) – sin (4arctg3) = 9/25

4. arcsin 5/13 + arcsin 12/13 = π/2

5. sin² (arctg 3 – arcctg (-½)) = ½

6. arcsin 4/5 + arccos 2/√5 = arcctg 2/11

7. sin (2arctg ½) + tg (½ arcsin 15/17) = 7/5

8. arctg 1 + arctg 2 + arctg 3 = π

Решить уравнение:

1. 3 arcsin √x = π

2. sin (1/5 arccos x) = 1

3. sin (5 arcctg x) = 1

4. 2 arcsin² x – arcsin x -6 = 0

5. 2 arcsin x = π/3 + (π²/9)/arcsin x

6. 2 arcsin x + arccos (1-x) = 0

7. arcsin x + arccos (x-1) = π

8. 2 arccos x = arcsin (2x √(1 - x²)

9. arcsin x = arcctg x

10. arcsin x + arcsin x/√3 = π/2

11. arccos (√3 x) + arccos x = π/2

12. 2 arccos x = arccos (2x²- 1)

13. arcsin 2x = 3 arcsin x

14. 2 arctg x + 3 arcctg x = π/2

15. arctg √(x² + x) + arcsin √(x² + x +1) = π/2

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/105577-metodika-organizacii-i-provedenija-obuchajusc