Арифметическая и геометрическая прогрессия. 9 класс. Часть 2 (Методическое пособие)

Ф.И.О автора материала: Дыда Татьяна Ивановна

Место работы: МАОУ СОШ № 18, г. Армавир, Краснодарский край

Должность: Учитель математики

Обобщающее повторение в системе

подготовки к ГИА по математике

по теме:

«Арифметическая и геометрическая прогрессии. Часть II».

Автор – составитель:

Дыда Т. И. – учитель математики

МАОУ СОШ № 18 г. Армавир

§ 1. Числовая последовательность.

Справочный материал.

Если каждому натуральному числу nотнесено по некоторому закону число x, то говорят, что задана числовая последовательность: _{,, ,} …, _.

Числа_,называются членами последовательности, они не обязательно различны между собой. В некоторых случаях последовательность задаётся формулой её общего члена ₌ f (n), n N. Зная её, мы можем получить любой член последовательности. Для этого достаточно в правую часть формулы вместо nподставить номер искомого члена.

Например: =: 1, , , …,, … ;

=: 1; -1; 1; -1; …; 1; … ;

= 5 : 5; 5; 5; …; 5; … .

Последовательность называется возрастающей, если для всех n, <.

Последовательность называется убывающей,если для всех n, > _.

Возрастающие и убывающие последовательности называютсямонотонными.

Например, последовательности монотонные: 1, , , …,, … ;

1, , , …,, …;

1, 4, 9, …, n², … .

Последовательности не монотонные: 1, - , , …,,…;

1, 0, 3, 0,…, 2n – 1, 0, … .

Замечание.К монотонным последовательностям относятся также неубывающие ( ≤)и невозрастающие последовательности ( ≥ ).

Упражнения.

а) Последовательность ( ) задана формулой = .

Найдите_,, , -

б) Последовательность ( ) задана формулой = .

Найдите_{,,, .}

2. Выпишите первые пять членов последовательности ( ) и задайте эту последовательность формулой n-го члена, если = -10, = + 5, n ≥ 1.

3. Для каких членов последовательности ( ) выполняется условие:

а) > 200, если = 2n – 5; б) ≤ 30, если = 3n – 100?

4. Составьте одну из возможных формул n - го члена последовательности:

а) 1, 4, 9, 16, 25, … ; в) 0, 3, 8, 15, …; д) 2, , , ,… ;

б) 2, -2, 2, -2, … ; г) , , , ,… ; е) 5, 0, 5, 0, 5, ….

5. Изобразите последовательность ( точками координатной прямой:

а) = + 1; в) = ;

б) = 1 -; г) = · .

6. Последовательность (задана формулой = - 3 ·. Принадлежит ли этой последовательности число: ― 1875?

7. Дана последовательность общий член которой выражается формулой:

= (4n + 5) (n + 1). Докажите, что последовательность убывающая.

8. Является убывающей или возрастающей последовательность),

если= ?

9.Последовательность задана формулой = 2n –. Какое из следующих чисел является членом этой последовательности?

1) 2; 2) 4 ; 3) 8 ; 4) 5 .

10. Последовательность задана формулой n-го члена. У какой из них следующий член больше предыдущего?

1) = ; 2) = ; 3) = ; 4) = 2 ·.

11.Последовательность задана формулой = + 1. Какое из чисел является членом этой последовательности?

1) 4 ; 2) 6 ; 3) 5 ; 4) 3 .

12. Последовательность задана формулой = . Какое из этих чисел не является членом этой последовательности?

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

13.В двух последовательностях, n-е члены которых выражаются формулами = n(n + 36) +7 и = n(5n + 9), найдите равные члены с одним и тем же номером.

14.Дана последовательность ( ), где n N. Выпишите 4-6 членов этой последовательности, изобразите их точками на координатной прямой и ответьте на вопросы: является ли эта последовательность возрастающей или убывающей, существует ли число, к которому члены последовательности неограниченно приближаются?

1) = -2n; 4) = 5n; 7) = ;

2) = · n; 5) = ; 8) = 4 +;

3) = ; 6) = + ; 9) = -2+ 3.

15.В последовательность = найдите расстояние от точки 2 до точки: ; ; .

§ 2. Арифметическая прогрессия.

Справочный материал.

Числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предшествующему члену, сложенному с одним и тем же число, называется арифметической прогрессией.

Обозначается - ( ): , , , …,, … .

Разность между любым членом прогрессии и ему предшествующим равна одному и тому же числу, то есть - = - = … = - = … . Это число называют разностьюарифметической прогрессии и обозначают

буквойd.

Для того чтобы задать арифметическую прогрессию ( ), достаточно знать её первый член и разность d.

Приведём примеры арифметических прогрессий:

-1; 5; 11; 17; 23; 29; …; здесь = -1, d = 5 – (-1) =11 - 5 = 17 – 11 = 6;

17; 14; 11; 8; 5; 2; -1; - 4; …; здесь = 17, d = 14 – 17 = 11 – 14 = -3;

8; 8; 8; 8; 8; 8; …; здесь = 8, d = 8 – 8 = 0.

Еслиd > 0, то прогрессия возрастающая;

если d < 0, то прогрессия убывающая;

если d = 0, то прогрессия постоянная последовательность.

Последовательность ( ) является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда её любой член, начиная со второго, является средним арифметическим предшествующего и последующего членов,

то есть: = , где n N.

Формулы n-го члена арифметической прогрессии имеют вид:

= + d и = + d(n – 1) - основные формулы.

Формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии имеют вид:

= · n и = · n

Сумма членов, равноудалённых от концов прогрессии, есть величина постоянная, то есть + = + = … .

Упражнения с решениями.

Задача 1. Найти пятнадцатый член арифметической прогрессии

: 3; 7; 11; … .

Решение.

В прогрессии ( ): = 3, = 7, = 11, n = 15.

Разность арифметической прогрессии d = - ; d = 7 - 3 = 4.

По формуле = + d(n – 1), = + 14d = 3 + 4 · 14 = 59.

Ответ: = 59.

Задача 2. В арифметической прогрессии ( ) известно, что = 3, d = 4. Найдите .

Решение.

По формуле = · n , имеем = · 20 = · 20 = 820.

Ответ: = 820.

Задача 3. Между числами 17 и 32 вставить пять таких чисел, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

Решение.

Имеем прогрессию: 17; ; ; ; ; ; 32, значит = 17, = 32. Задача сводится к определению разности прогрессии по формуле

= + d(n – 1), = + d · 6; 32 = 17 + 6d; d = (32 – 17) : 6 = 2,5.

= + d = 17 + 2,5 = 19,5;

=+ d = 19,5 + 2,5 = 22; = + d = 24,5 + 2,5 = 27;

= + d = 22 + 2,5 = 24,5; = + d = 27 + 2,5 = 29,5.

Запишем прогрессию: 17; 19,5; 22; 24,5; 27; 29,5; 32.

Ответ: 17; 19,5; 22; 24,5; 27; 29,5; 32.

Задача 4. Разность арифметической прогрессии равна 4, сумма первых семи членов равна 105. Найти первый и седьмой члены прогрессии.

Решение.

Известно, что = 105, d = 4.

По формуле = + d(n – 1), = + 4 · 6; - = 24.

По формуле = · n , 105 = · 7; + = 30.

Составим и решим систему уравнений

Сложим почленно оба равенства, получим 2= 54, = 27, тогда = 27 – 24 = 3.

Ответ: = 3, = 27.

Задача 5. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии -10,2; -9,5; …

Решение.

Итак, = -10,2; = -9,5. Тогда d = - = -9,5 – (-10,2) = 0,7.

По формуле = + d(n – 1), = -10,2 + 0,7 (n – 1),

= -10,2 + 0,7n – 0,7 = 0,7n – 10,9.

По условию > 0, тогда 0,7n – 10,9 > 0, 0,7n > 10,9; n > 15 .

Но n N и > 0, таким образом первый положительный член арифметической прогрессии = + d · 15; = -10,2 + 0,7 · 15 = 0,3.

Ответ: = 0,3.

Задача 6. Какое наибольшее число последовательных нечётных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма осталась меньше 400?

Решение.

Последовательные нечётные числа, начиная с 1, образуют арифметическую прогрессию, у которой = 1, d = 2.

Сумма n первых членов арифметической прогрессии: = · n, тогда для заданной арифметической прогрессии: = · n =

· n = . По условию задачи < 400, т. е. < 400, – 400 < 0,

(n – 20) (n + 20) < 0. Решим неравенство, получим -20 < n < 20. Так как по условию n N, то n > 20, но и n ≥ 1, то получаем 1 ≤ n ≤ 19.

Ответ: 19 последовательных нечётных чисел, начиная с 1.

Задача 7. Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена = 3n + 4. Найдите сумму членов этой арифметической прогрессии с восьмого по сорок третий включительно.

Решение.

По условию = 3n + 4. Тогда = 7, = 10, d = - =10 – 7 = 3. Сумма членов прогрессии с восьмого по сорок третий включительно находится как разность сумм - . По формуле = · n,

= · 43 = 3010,

= · 7 = 112. Искомая разность равна 3010 – 112 = 2898.

Ответ: 2898

Задача 8. Найдите сумму всех чётных натуральных чисел, не превосходящих 241, которые не делятся на 10.

Решение.

Пусть S – искомая сумма, - сумма всех чётных натуральных чисел, которые не превосходят 241; - сумма всех чётных натуральных чисел, которые делятся на 10 и не превосходят 241; тогда S = - .

Найдём: = · 120 = 14520. Последовательность чисел, кратных 10 и не превосходящих 241, представляет арифметическую прогрессию, у которой = 10, = 240. Найдём число членов этой прогрессии. Так как она задаётся формулой = 10n, то 10n = 240, n = 24.

Найдём: = · 24 = 3000. Итак, S = 14520 – 3000 = 11520.

Ответ: S = 11520.

Дидактический материал.

Дана арифметическая прогрессия ( ). Зная три числа из пяти ( , d, n, , ), найдите два остальные:

а) Дано: = 7, d = 4, n = 13. Найдите , .

б) Дано: = 2, d = 2, n = 40. Найдите , .

в) Дано: = 56, d = -3, n = 11. Найдите , .

г) Дано: = 2, = 87, = 81. Найдите d, n.

д) Дано: = 21, n = 7, = 105. Найдите , d.

е) Дано: = 10, d = 4, = 50. Найдите n, .

ж) Дано: = 10, d = 4, = 330. Найдите: n, .

2.а) Найдите пятнадцатый член и сумму пятнадцати членов арифметической прогрессии: 2; 5; 8; … .

б) Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если = 25,= -3.

в) Сколько нужно взять членов арифметической прогрессии, чтобы сумма их равнялась 54, если = 9, = - 6?

г) В арифметической прогрессии ( ) известно, что = - 1,5; = .

Найдите + .

д) Найдите сумму членов с третьего по десятый включительно арифметической прогрессии: -3; -1; … .

е) Сумма трёх первых членов арифметической прогрессии ( равна 6, = 5. Найдите и разность прогрессии.

3.а) Какое из следующих чисел является членом арифметической прогрессии:

6; 12; 18; 24; …?

303, 2) 109, 3) 106, 4) 96.

б) Какое из чисел является членом арифметической прогрессии: 3; 6; 9; 12; …?

1) 83, 2) 95, 3) 100, 4) 102.

4.Какая из следующих последовательностей является арифметической прогрессией?

а) Последовательность натуральных степеней числа 2.

б) Последовательность натуральных чисел, кратных 7.

в) Последовательность квадратов натуральных чисел.

г) Последовательность чисел, обратных натуральным.

5.В арифметической прогрессии = 5, = 7. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии.

6.а) Сумма + = 14. Найдите сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.

б) Сумма + = - 8. Найдите сумму первых двенадцати членов этой прогрессии.

7.Космический корабль за 1 секунду проходит 50м, а за каждую следующую секунду на 80м больше, чем за предыдущую. Сколько метров он пройдёт с 10-й по 15-ую секунды включительно?

8.а) Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена = 3n + 5. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с десятого по сорок пятый включительно.

б) Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена = 2n + 3. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с двенадцатого по сорок пятый включительно.

в) Арифметическая прогрессия задана формулой n-го члена = 3n + 2. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с нечётными номерами, меньшими 50.

9.а) Сколько отрицательных членов в арифметической прогрессии:

-38,5; -35,8; …?

б) Сколько положительных членов в арифметической прогрессии:

96,4; 91,8; … .

в) Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии:

12,5; 11,2; … .

г) Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии:

-7,1; - 6,3;… .

д) Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии: 6,3; 5,8; … .

е) Какое наименьшее число последовательных нечётных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма оказалась больше 900?

10.а) Найдите сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 9 и не превосходят 400.

б) Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 170, которые делятся на 6.

11.а) Существует ли арифметическая прогрессия, в которой =7, = 13,

= 17?

б) Существует ли арифметическая прогрессия, в которой = 8, = -7,

= -17?

12.а) Найдите сумму арифметической прогрессии, если + = 24, · = 60.

б) Сумма второго, четвёртого и шестого членов арифметической прогрессии равна 18, а их произведение равно 120. Найдите первый член прогрессии.

13.а) В угловом секторе стадиона в первом ряду 7 мест, а в каждом следующем

на 2 больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 26 ряду?

б) На первую клетку шахматной доски положили 1 зерно, а на каждую следующую на 2 зерна больше, чем на предыдущую. Сколько зёрен положили на последнюю клетку?

14.а) Укажите наиболее близкий к нулю член арифметической прогрессии:

22,7; 21,4; …

б) Укажите наиболее близкий к нулю член арифметической прогрессии:

-15,1; -14,4; …

15. Найдите сумму первых двадцати членов арифметической прогрессии ( ), если

+ + + = 20.

16.Найдите суммувсех двузначных натуральных чисел.

Проверочная работа.

Вариант 1.

Последовательность задана формулой = 5n + 4. Найдите:

а) ________________ _____________________

________________ ___________________

б) номер члена последовательности, равного 109: ____________________

________________________________________________________________

В арифметической прогрессии = 3, = -5. Запишите формулу общего члена.___________________________________________________________

В арифметической прогрессии ( = - 2, d = 10, = 478. Найдите n. ________________________________________________________________

В арифметической прогрессии ( = 6, d = - 4. Найдите:

а) _________________________________________________________

б) _________________________________________________________

Шар, скатывающийся по наклонному желобу, в первую секунду проходит 0,4м, а в каждую последующую секунду на 0,4 больше, чем в предыдущую. Сколько времени будет двигаться шар по четырёхметровому желобу? ____________________________________________________________________________________________________________________________________

Найдите и d арифметической прогрессии с положительными членами, если:

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В арифметической прогрессии: - 63; -58; -53; … , найдите сумму всех отрицательных чисел.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В арифметической прогрессии первый член равен 3, третий 7. Найдите разность между 61-м и 32-м членами этой арифметической прогрессии.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

При каком значении хданные числа образуют арифметическую прогрессию?

а) 2х + 3; 5х + 2; 10х + 5: __________________________________________________________________________________________________________________________________

б) 3 + 6; + 4; 3 + 3х + 1: __________________________________________________________________________________________________________________________________

10.Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 150, которые делятся на 5: ____________________________________________________________

______________________________________________________________________

Вариант 2.

Последовательность задана формулой = 6 - 4n. Найдите:

а) ____________________ _________________________

____________________ _______________________

б) номер члена последовательности, равного ―242:__________________ _______________________________________________________________

В арифметической прогрессии = -5, = 2. Запишите формулу общего члена._________________________________________________________

В арифметической прогрессии ( = 2, d = 4, = - 42. Найдите n. _________________________________________________________________

В арифметической прогрессии ( = 3, d = - 2. Найдите:

а) ___________________________________________________________

б) ___________________________________________________________

Шар, скатывающийся по наклонному желобу, в первую секунду проходит 0,5м, а в каждую последующую секунду на 0,5 больше, чем в предыдущую. Сколько времени будет двигаться шар по пятиметровому желобу? __________________________________________________________________________________________________________________________________

Найдите и d арифметической прогрессии с положительными членами, если:

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В арифметической прогрессии: - 9,6; - 8,3; -7; … , найдите сумму всех отрицательных чисел.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В арифметической прогрессии первый член равен 5, пятый 7. Найдите разность между 79-м и 42-м членами этой арифметической прогрессии.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

При каком значении хданные числа образуют арифметическую прогрессию?

а) 3х - 8; 5х + 4; 6х + 2: __________________________________________________________________________________________________________________________________

б) 3 - 8; 7 - 3; 9 - 3х + 7: __________________________________________________________________________________________________________________________________

Найдите сумму всех натуральных чисел, не превосходящих 200, которые делятся на 8: _____________________________________________________

_________________________________________________________________

ТЕСТЫ.

Вариант 1.

Из следующих чисел выберите то, которое не является членом арифметической прогрессии: = -3n + 7.

А) - 8; Б) - 14; В) - 23; Г) 10.

2. Дана арифметическая прогрессия: ―3,2; 1; … .

Найдите пятый член этой прогрессии.

А) 12,8; Б) 16,6; В) 13,6; Г) 14,2.

3.В арифметической прогрессии ( ): = 32,2; = 7,8. Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии

А) 32,2; Б) 204; В) 160; Г) 96.

4. В арифметической прогрессии ( ): = - 2,4; d = 1,5.

Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.

А) -8,1; Б) 7,2; В) 8,1; Г) 16,2.

5. Второй и десятый члены арифметической прогрессии равны: 38 и ―18 соответственно. Найдите пятнадцатый член прогрессии.

А) - 48; Б) - 53; В) - 63; Г) - 57.

6. Сумма третьего и одиннадцатого членов арифметической прогрессии равна ―14,8. Найдите седьмой член этой прогрессии.

А) - 12,4; Б) - 7,4; В) - 8,6; Г) -10,2.

7. Найдите первыйотрицательный член арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена: = 204 - 15n.

А) - 8; Б) - 6; В) - 4; Г) - 9.

8. Найдите разность арифметической прогрессии d, если - = 58,4.

А) 7,3; Б) 8,4; В) 6,8; Г) 8,3.

9. Третий член арифметической прогрессии равен 17.

Найдите сумму первый пяти членов арифметической прогрессии.

А) 85; Б) 65; В) 77; Г) 95.

10. Сумма пятого и девятнадцатого членов арифметической прогрессии

равна 14,6. Найдите сумму первых двадцати трёх членов этой прогрессии.

А) 189,4; Б) 167,9; В) 153,6; Г) 190,9.

11. Разность четырнадцатого и пятого членов арифметической прогрессии

равна 18, а сумма пятого и второго членов этой прогрессии равна 2.

Найдите сумму первых пятнадцати членов этой прогрессии.

А) 150; Б) 148; В) 136; Г) 102.

Вариант 2.

Из следующих чисел выберите то, которое не является членом арифметической прогрессии: = 2 + 3 .

А) 29; Б) 5; В) 20; Г) 14.

2. Дана арифметическая прогрессия: 27; 24; … .

Найдите двадцать первый член этой прогрессии.

А) - 46; Б) - 33; В) 12; Г) -18.

3.В арифметической прогрессии ( ): = 46,7; = 3,3. Найдите сумму первых десяти членов этой прогрессии

А) 240; Б) 180; В) 260; Г) 250.

4. В арифметической прогрессии ( ): = - 6,3; d = 1,2.

Найдите сумму первых восьми членов этой прогрессии.

А) 12; Б) -12,8; В) 14,6; Г) - 16,8.

5. Третий и восьмой члены арифметической прогрессии равны: 27 и ―18 соответственно. Найдите тринадцатый член прогрессии.

А) -38; Б) - 45; В) - 53; Г) -43.

6. Сумма пятого и тринадцатого членов арифметической прогрессии

равна ―19,6. Найдите девятый член этой прогрессии.

А) - 9,8; Б) - 10,2; В) - 8,8; Г) - 12,3.

7. Найдите первыйположительный член арифметической прогрессии, заданной формулой n-го члена: = 16n - 209.

А) 12; Б) 15; В) 21; Г) 19.

8. Найдите разность арифметической прогрессии d, если - = 25,2.

А) 2,8; Б) 6,4; В) 4,8; Г) 5,3.

9. Девятый член арифметической прогрессии равен 9.

Найдите сумму первый семнадцати членов арифметической прогрессии.

А) 146; Б) 163; В) 153; Г) 172.

10. Сумма четвёртого и двадцать первого членов арифметической прогрессии равна 17,5. Найдите сумму первых двадцати членов этой прогрессии.

А) 193,5; Б) 144,5; В) 210; Г) 175,5.

11. Разность двенадцатого и шестого членов арифметической прогрессии

равна 24, а сумма шестого и третьего членов этой прогрессии равна 4.

Найдите сумму первых четырнадцати членов этой прогрессии.

А) 148; Б) 196; В) 204; Г) 162.

Самостоятельная работа. Формула n-го члена

Вариант 1. Уровень А.

Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии ( ) и

найдите, если= 3,6; d = - 0,6.

Найдите разность арифметической прогрессии( ), если = -1,6;

= - 3,7.

Найдите первый член арифметической прогрессии( ), если = 15;

= - 18,6.

Дана арифметическая прогрессия: - 25; - 21; … . Определите под каким номером в эту прогрессию входит число 3.

Уровень Б.

Дана арифметическая прогрессия: - 16,5; - 14,3; … . Найдите двадцать первый член и разность арифметической прогрессии.

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии ( ),

если = 2,6; = 8,9.

Найдите номер члена арифметической прогрессии( ) равного 62, если

= - 6; d = 4.

Арифметическая прогрессия задана формулой: = 19n – 106. Найдите первый положительный член прогрессии.

Уровень В.

Бригада изготовила в январе 48 деталей, а в каждый следующий месяц изготовляла на 7 деталей больше, чем в предыдущий. Сколько деталей изготовила бригада в декабре?

Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии ( ), если = -7,2; = 1,2.

Между числами 2,6 и ―10,2 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

Найдите значения х,при которых числа : х – 1; 4х – 3; + 1 составляют арифметическую прогрессию.

Вариант 2. Уровень А.

Составьте формулу n-го члена арифметической прогрессии ( ) и

найдите, если= - 5,1; d = 0,4.

Найдите разность арифметической прогрессии( ), если = 5,3; = 1,8.

Найдите первый член арифметической прогрессии( ), если = 18;

= 26,8.

Дана арифметическая прогрессия: 43; 40; … . Определите под каким номером в эту прогрессию входит число 1.

Уровень Б.

Дана арифметическая прогрессия: 24,6; 23,1; … . Найдите двадцать первый член и разность арифметической прогрессии.

Найдите первый член и разность арифметической прогрессии ( ),

если = - 0,7; = 8,9.

Найдите номер члена арифметической прогрессии( ) равного 66,

если = - 4; d = 7.

Арифметическая прогрессия задана формулой: = 121 - 9n. Найдите первый отрицательный член прогрессии.

Уровень В.

Мастерская выполнила в январе 36 заказов, а в каждый последующий месяц увеличивала производительность на 12 заказов. Сколько заказов выполнила мастерская в октябре месяце?

Найдите пятнадцатый член арифметической прогрессии ( ),

если = 3,8; = 7, 3.

Между числами ―16,5 и 61 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили арифметическую прогрессию.

Найдите значения х,при которых числа : х + 1; 2х + 1; - 3 составляют арифметическую прогрессию.

Самостоятельная работа. Формула суммы n первых членов арифметической прогрессии.

Вариант 1. Уровень А.

Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии:

- 9; - 4; … .

В первый день магазин продал 27кг яблок, а в каждый следующий день продавал на 3кг яблок больше, чем в предыдущий. Сколько яблок продал магазин за 10 дней?

Найдите сумму натуральных чисел, не превосходящих 50.

Дана арифметическая прогрессия ( ), где = 6n – 2. Найдите сумму её членов с восьмого по восемнадцатый включительно.

Уровень Б.

Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии ( ), если = 5n + 3.

Найдите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии ( ), если = -5; = -3, 4.

Найдите сумму чётных чисел не превосходящих 50.

При каком значении х числа х + 3; 2х – 1 и - 3 образуют положительную арифметическую прогрессию?

Уровень В.

В арифметической прогрессии 48; 44; … найдите сумму всех её положительных членов.

Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, кратных 5.

Найдите и d арифметической прогрессии, в которой

В арифметической прогрессии ( ) : = 18. Найдите

Найдите сумму: - + - + - + … + - + - .

Вариант 2. Уровень А.

Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии:

26; 20; … .

За первую секунду движения тело прошло 22м, а в каждую последующую проходило на 4м больше, чем в предыдущую. Найдите путь, пройденный телом за 8 секунд.

Найдите сумму натуральных чисел, не превосходящих 60.

Дана арифметическая прогрессия ( ), где = 3n + 4. Найдите сумму её членов с восьмого по восемнадцатый включительно.

Уровень Б.

Найдите сумму пятнадцати первых членов арифметической прогрессии ( ), если = 6n - 5.

Найдите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии ( ), если = 8; = 10,6.

Найдите сумму нечётных чисел не превосходящих 50.

При каком значении х числа х + 1; 3х + 5 и + 3 образуют положительную арифметическую прогрессию?

Уровень В.

В арифметической прогрессии -72; - 66; … найдите сумму всех её отрицательных членов.

Найдите сумму всех двузначных натуральных чисел, кратных 9.

Найдите и d арифметической прогрессии, в которой

В арифметической прогрессии ( ) : = 24. Найдите

Найдите сумму: - + - + - + … + - + - .

Контрольная работа.

Арифметическая прогрессия.

Вариант 1.

В арифметической прогрессии = 8n – 5. Найдите , .

В арифметической прогрессии = - 5, = 2. Напишите формулу общего члена прогрессии и найдите .

В арифметической прогрессии ( ), найдите сумму первых двадцати членов, если = - 1, = 1.

Найдите сумму членов с третьего по десятый включительно арифметической прогрессии ( ): - 3; - 1; … .

Сумма четвёртого и десятого членов арифметической прогрессии равна 6, а их произведение равно 8. Найдите сумму пятнадцати первых членов этой прогрессии.

Вариант 2.

В арифметической прогрессии = 16 – 5n. Найдите , .

В арифметической прогрессии = 6, = - 1. Напишите формулу общего члена прогрессии и найдите .

В арифметической прогрессии ( ), найдите сумму первых двадцати членов, если = 8, = 2.

Найдите сумму членов с третьего по девятый включительно арифметической прогрессии ( ): 2; 7; … .

Сумма третьего и девятого членов арифметической прогрессии равна 6, а их произведение равно . Найдите сумму пятнадцати первых членов этой прогрессии.

Вариант 3.

В арифметической прогрессии = 3n + 4. Найдите , .

В арифметической прогрессии = 3, = - 2. Напишите формулу общего члена прогрессии и найдите .

В арифметической прогрессии ( ), найдите сумму первых двадцати членов, если = 7, = 11.

Найдите сумму членов с пятого по шестнадцатый включительно арифметической прогрессии ( ): 4; 7; 10; … .

Найдите сумму всех натуральных чисел, кратных 4 и не превосходящих 202.

Вариант 4.

В арифметической прогрессии = 3n + 4. Найдите , .

В арифметической прогрессии = 15, = 9. Напишите формулу общего члена прогрессии и найдите .

В арифметической прогрессии ( ), найдите сумму первых тридцати членов, если = 6, = 2.

Найдите сумму членов с четвёртого по двенадцатый включительно арифметической прогрессии ( ): 3; 1; - 1; … .

Найдите сумму первых шестнадцати чётных натуральных чисел.

§ 3. Геометрическая прогрессия.

Справочный материал.

Числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый член, начиная со второго, равен предшествующему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число, называетсягеометрической прогрессией.

Обозначают( ) : , , , …,, … .

Отношение любого её члена к предшествующему равно одному и тому же числу, т. е. : = : = … = : = : = … . Это число называют знаменателемгеометрической прогрессии и обозначают буквой q.

Для того чтобы задать геометрическую прогрессию ( ),достаточно знать её первый член и знаменатель q.

Еслиq > 1, > 0, то геометрическая прогрессия являетсявозрастающей;

если 0 < q < 1 и > 0, то геометрическая прогрессия являетсяубывающей;

еслиq = 1, то имеем постояннуюпоследовательность;

приq < 0 – геометрическая прогрессия не является монотонной.

Например:

1; 3; 9; 27; … , здесь q = 3, = 1> 0 – прогрессия возрастающая;

1; ; ; ; …, здесь q = , = 1> 0 – прогрессия убывающая;

2; 2; 2; 2; …, здесь q = 1, то имеем постоянную последовательность;

1; - 2; 4; - 8; …, здесь q = - 2, последовательность не монотонная.

Последовательность( ) является геометрической тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, есть среднее геометрическое соседних с ним членов, т. е. ² = · , где n N, n ≥ 2.

Формулыn-го члена геометрической прогрессии:

= · q и = · .

Произведение членов, равноотстоящих от концов прогрессии есть величина постоянная: · = · = … .

Формулы суммы n первых членов геометрической прогрессии: = ,(q 1) и = , (q1).

Бесконечная геометрическая , , , …,, … , прогрессия знаменатель которой |q| < 1, называется бесконечной геометрической прогрессией. Если |q| < 1, то члены бесконечной геометрической прогрессии стремятся к нулю, когда их номера неограниченно возрастают.

Под суммой S бесконечной геометрической прогрессии, , , …,, … , у которой |q| < 1, понимают предел последовательности ( ), где = ,

=+ , = + + ; … ; = + + + … +. При этом имеет место равенство: S = , при |q| < 1.

Упражнения с решениями.

Задача 1. В геометрической прогрессии ( ) : = 6; q = 3; n = 4. Найдите и .

Решение.

Так как = · и n = 4, то = 6 · = 6 · 27 = 162.

По формуле = , = = = 240.

Ответ: = 162; = 240.

Задача 2. Найдите второй член возрастающей геометрической прогрессии ( ), если = 1; = 64.

Решение.

По формуле: ² = · , = ; = = 8. Так как последовательность возрастающая, то = 8.

Ответ:= 8.

Задача 3. Между числами -2 и -32 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.

Решение.

По условию в последовательности: - 2; ; ; ; - 32; … , надо найти ; ; .

По формуле = · ,получим = · , значит - 32 = - 2 · ; = 16;

q = , q = 2.

Если q = - 2, то = · q = - 2 · (- 2) = 4; = - 8; = 16.

Если q = 2, то = - 4; = -8; = - 16.

Ответ: - 2; 4; - 8; 16; - 32 или - 2; - 4; - 8; - 16; - 32.

Задача 4. Сумма первого и третьего членов арифметической прогрессии равна 15, а сумма второго и четвёртого членов 30. Найти сумму первых десяти членов данной прогрессии.

Решение.

Составим систему уравнений:

Разделим почленно второе уравнение системы на первое уравнение, получим q = 2,

подставим в первое уравнение, получим: · (1 +) = 15; · 5 = 15; = 3.

По формуле = , = = 3 · 1023 = 3069.

Ответ: = 3069.

Задача 5. При каком целом значении х последовательность х; х + 2; 5х – 2 является геометрической прогрессией.

Решение.

Числа, , являются последовательными членами геометрической прогрессии

Тогда и только тогда, когда · = ². Поэтому, если х удовлетворяет условию

задачи, то х(5х – 2) = (х +2)²; 5х²– 2х = х²+ 4х +4; 4х² - 6х – 4 = 0; 2х²– 3х – 2 = 0,

отсюда = - ; =2, но - не удовлетворяет условию задачи, т. к. не является целым.

Ответ: х = 2.

Задача 6. Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, а четвёртый 24.

Решение.

По условию задачи ( ) – геометрическая прогрессия, в которой = 6; = 24.

По формуле = · , имеем = · q; = · .

Составим систему уравнений и решим её.

Из второго уравнения = 4, q = 2.

Если q = 2, то = 3; если q = - 2, то = - 3.

Сумма n первых членов геометрической прогрессии = ,

а) еслиq = - 2, и = - 3, то = = = 256 – 1 = 255;

б) если q = 2, и = 3, то = = 3 · (256 – 1) = 765.

Ответ: 255 или 765.

Задача 7. Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к ним прибавить соответственно числа 1; 4; 19, то получатся три числа составляющие геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Решение.

По условию в арифметической прогрессии + + = 15. Так как - = - , то 2 = + , из условия ( + ) + = 15, то 2 + = 15,

3= 15, = 5, = + d = 5 + d.

По условию = 5 – d, в геометрической прогрессии:

= + 1 = 5 – d +1 = 6 – d;

= + 4 = 5 + 4 = 9;

= + 19 = 5 + d +19 = 24 + d.

Используя формулу: ² = · , можно записать, что ² = · , тогда

имеем: 9² = (6 – d)(24 + d), решим уравнение получим: = 3, = - 21.

Если d = 3, то = 2, = 5, = 8.

Если d = - 21, то = 26, = 5, = - 16.

Ответ: 2; 5; 8 или 26; 5; -16.

Задача 8. Найти сумму бесконечной прогрессии: 2; - ; ; - ; … .

Решение.

По формуле q = : , получим q = - : 2 = - . По формуле суммы бесконечной

геометрической прогрессии S = , получим S = = .

Ответ: S = .

Задача 9. Обратите периодическую дробь 0,58(3) в обыкновенную.

Решение.

Данную дробь можно записать в виде:

0,58333… = + ( + + …).

Выражение в скобках представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии,

у которой = 0,003; = 0,0003; q = : = 0,0003 : 0,003 = 0,1. Следовательно,

0,58(3) = + = + = .

Ответ:

Дидактический материал.

Дана геометрическая прогрессия ( ): 24; 12; 6; … . Найдите и .

Дана геометрическая прогрессия ( ): ; ; ; … . Найдите .

Найдите второй член геометрической прогрессии. Все члены которой положительны:

а) = 8, = 2; б) = 9, = 36; в) = 150, = .

4. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии. Найдите у.

а) … ; 4; 28; у; 1372; … ; в) …; 16; 24; у; 54; … ;

б) …; 216; 36; у; 1; … ; г) …; 81; 54; у; 24; … .

5. а) В геометрической прогрессии ( ): · = 13. Найдите · .

б) В геометрической прогрессии ( ): · = 25. Найдите · .

6. а) В геометрической прогрессии ( ): = 243; q = - .В каком случае при сравнении

членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?

<; 2) <; 3) >; 4) > .

б) В геометрической прогрессии ( ): = 256; q = - .В каком случае при сравнении

членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?

<; 2) > ; 3) < ; 4) > .

в) В геометрической прогрессии ( ): = - ; q = - 1,5.В каком случае при сравнении

членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?

<; 2) >; 3) <; 4) > .

г) В геометрической прогрессии ( ): = ; q = - 2, 25.В каком случае при сравнении

членов этой прогрессии знак неравенства поставлен неверно?

<; 2) > ; 3) < ; 4) > .

7. Четвёртый член геометрической прогрессии равен 24, а девятый 768. Найдите пятый член

этой прогрессии.

8. а) Геометрическая прогрессия задана условиями: = 2, = 3 .

Укажите формулу n –го члена этой прогрессии.

= 3 · ; 2) = 3 · ; 3) = 2 ·; 4) = 2 ·.

б) ) Геометрическая прогрессия задана условиями: = 5, = 2 .

Укажите формулу n –го члена этой прогрессии.

= 5 · ; 2) = 5 · ; 3) = 5 ·2n; 4) = 5 ·2(n – 1).

9. Найдите сумму:

а) десяти первых членов геометрической прогрессии: 10; 20; 40; …;

б) семи первых членов геометрической прогрессии: 5; 15; 45; …;

в) семи первых членов геометрической прогрессии: - 4; 16; - 64; …;

г) восьми первых членов геометрической прогрессии: 9; -3; 1; … .

10. В каждой строке таблицы по трём данным вычислите неизвестные значения величин,

если ( ) – геометрическая прогрессия.

11. Первый член геометрической прогрессии равен 1, а сумма третьего и пятого членов 90.

Найдите прогрессию.

12. Сумма трёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию равна 30. Если из

второго члена этой прогрессии вычесть 2, а остальные оставить без изменения, то получится

геометрическая прогрессия. Найдите эти члены.

Сумма трёх чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 93. Если из первого числа вычесть 48, а остальные числа оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите эти числа.

Между числами 1 и 16 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Между числами 2 и ―18 вставьте четыре числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию.

Сумма первых четырёх членов геометрической прогрессии равно 40, знаменатель прогрессии равен ―3. Найдите сумму первых восьми членов прогрессии.

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 39, знаменатель прогрессии равен - 4. Найдите сумму первых шести членов прогрессии.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

а) 1 + + + …; в) 1 - + - …;

б) 1 + + + …; г) 1 - + - … .

19. Обратите периодическую дробь в обыкновенную, используя формулу суммы

бесконечной геометрической прогрессии при |q| < 1.

а) 0,(6); б) 1,(81); в) 0,4(6); г) 0,32(45); д) 1,(72).

20.Второй член бесконечной геометрической прогрессии равен 20, а её сумма равна 80.

Найдите третий член этой прогрессии.

21. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна , а третий член

прогрессии равен . Найдите восьмой член прогрессии.

Проверочная работа.

Вариант 1.

Зная первые два члена геометрической прогрессии, найдите следующие за ними четыре члена: - 2; 6; … .___________________________________________________________

___________________________________________________________________________

В геометрической прогрессии ( ): = 8; q = - 2. Найдите ; .___________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

В геометрической прогрессии ( ): q = - 3; = 35. Найдите .____________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

В геометрической прогрессии ( ): = 3; = 81. Найдите ; . ________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Найдите произведение · · , если = - 4.____________________________________

____________________________________________________________________________

При каких значениях хчисла 30 - ; и 1 образуют геометрическую прогрессию?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Пятый член геометрической прогрессии равен 4,8, а её знаменатель ―2. Найдите сумму первых семи членов этой прогрессии.____________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Между числами 5 и 80 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Сумма первого и четвёртого членов геометрической прогрессии равна 36, а сумма второго и пятого членов равна 72. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого нужно сложить, чтобы их сумма была равна 124? _________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

______________________________________________________________________________

Три числа, сумма которых равна 18, образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Если первое число увеличить на 1, второе – на 2; а третье – на7, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.____________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

В геометрической прогрессии ( ), знаменатель которой – число положительное, · = 27, а · = . Найдите эти четыре члена прогрессии.____________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( ), если - 3 и - 6._____________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

_______________________________________________________________________________

Вариант 2.

Зная первые два члена геометрической прогрессии, найдите следующие за ними четыре члена: 4; - 20; … .___________________________________________________________

___________________________________________________________________________

В геометрической прогрессии ( ): = - 6; q = 3. Найдите ; .___________________

___________________________________________________________________________

___________________________________________________________________________

В геометрической прогрессии ( ): q = 3; = - 726. Найдите .____________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

В геометрической прогрессии ( ): = 5; = 125. Найдите ; . ________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Найдите произведение · · , если = - 6.____________________________________

____________________________________________________________________________

При каких значениях хчисла 1; и 3+ 4 образуют геометрическую прогрессию?

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Четвёртый член геометрической прогрессии равен 9, а её знаменатель . Найдите сумму первых шести членов этой прогрессии.____________________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

Между числами 6 и 486 вставьте три числа так, чтобы получилась геометрическая прогрессия.___________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Разность пятого и первого членов геометрической прогрессии равна 80, а разность шестого и второго членов равна 240. Сколько членов этой прогрессии, начиная с первого нужно сложить, чтобы их сумма была равна 364? _________________________________

____________________________________________________________________________

____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Три числа, сумма которых равна 33, образуют убывающую арифметическую прогрессию. Если первое число оставить без изменения, второе число уменьшить на 3; а третье – на 2, то получится геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

В геометрической прогрессии ( ), знаменатель которой – число отрицательное, · = - , а · = - 8. Найдите эти четыре члена прогрессии.____________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( ), если + и + 20._______________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Тесты.

Формула n-го члена геометрической прогрессии.

Вариант 1.

Найдите шестой член геометрической прогрессии: 5; - 10; … .

а) 160; б) 320; в) - 320; г) - 162.

2. Найдите первый член геометрической прогрессии: ; ; 12; -6; … .

а) - ; б) ; в) ; г) - .

3. Найдите первый член геометрической прогрессии ( ), если = - ; q = .

а) - 7; б) - ; в) 21; г) 63.

4. Укажите число, которому может быть равен знаменатель геометрической прогрессии:

-1; …; - ; … .

а) 4; б) - 4; в) ; г) - .

5. Дана прогрессия: 1; ; … . Найдите номер члена, равного .

а) 4; б) 5; в) 6; г) 7.

6. Геометрическая прогрессия задана условиями: = 2; = . Какое из данных чисел

является членом этой прогрессии?

а) ; б) ; в) ; г) .

7. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

… ; 2; 5; у; 31,25; … . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой у.

а) 12; б) 12,5; в) 15; г) 15,25.

8. Геометрическая прогрессия задана условиями: = 2; = 6. Какое из данных чисел

является членом этой прогрессии?

а) 36; б) 48; в) 54; г) 72.

9. В геометрической прогрессии = 3; = 2 . Найдите · .

Ответ: __________________________________________

10.В геометрической прогрессии = 3; = . Найдите .

а) 0,12; б) - ; в) ; г) - 25.

11. В геометрической прогрессии: 3; 1; … найдите номер члена равного .

а) 6; б) 7; в) 8; г) 9.

12. Найдите второй член каждой из геометрических прогрессий, все члены которых

положительны, если известны их первые и третьи члены. Ответ запишите в таблицу.

а) = 27; = 3; б) = 1; = 36; в) = 24; = .

1) 9; 2) 2; 3) 6; 4) 4.

В геометрической прогрессии = , = 12. Является ли членом этой прогрессии число 144?

Ответ: _________________________

Геометрическая прогрессия задана условиями: = 2; = . Укажите формулу n – го члена этой прогрессии.

а) = ; б) = ; в) = ; г) = 2 ·

15. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что пятый её член

равен 4, а восьмой её член равен 0, 004.

а) 0,1; б) 0,01; в) 0,001; г) 1.

16. Последовательность ( ) – геометрическая прогрессия, у которой = 3; q = .

Укажите верное неравенство.

а) < ; б) < ; в) > ; г) < .

Вариант 2.

1. Найдите пятый член геометрической прогрессии: - 5; 15; … .

а) - 405; б) 1215; в) - 1215; г) 405.

2. Найдите первый член геометрической прогрессии: ; ; 18; -3; … .

а) - 72; б) 72; в) 648; г) - 648.

3. Найдите первый член геометрической прогрессии ( ), если = - ; q = - .

а) - 10; б) 10; в) - 5; г) 5.

4. Укажите число, которому может быть равен знаменатель геометрической прогрессии:

1; …; ; … .

а) 9; б) - 3; в) - ; г) .

5. Дана прогрессия: 1; ; … . Найдите номер члена, равного .

а) 4; б) 5; в) 6; г) 7.

6. Геометрическая прогрессия задана условиями: = 2; = . Какое из данных чисел

является членом этой прогрессии?

а) 54; б) 27; в) 16; г) 24.

7. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

… ; 125; 50; у; 8; … . Найдите член прогрессии, обозначенный буквой у.

а) 45; б) 40; в) 24; г) 20.

8. Геометрическая прогрессия задана условиями: = 6; = 12. Какое из данных чисел

является членом этой прогрессии?

а) 36; б) 96; в) 54; г) 72.

9. В геометрической прогрессии = 8; = 4. Найдите · · .

Ответ: __________________________________________

10.В геометрической прогрессии = - 8; = - . Найдите .

а) ; б) - 0,88; в) - ; г) 0,88.

11. В геометрической прогрессии: 0,5; 1; … найдите номер члена равного .

а) 6; б) 7; в) 8; г) 5.

12. Найдите второй член каждой из геометрических прогрессий, все члены которых

положительны, если известны их первые и третьи члены. Ответ запишите в таблицу.

а) = 25; = 1; б) = 4; = 100; в) = 48; = .

1) 4; 2) 12; 3) 20; 4) 5.

13.В геометрической прогрессии = - 6, = 48. Является ли членом этой прогрессии число 192?

Ответ: _________________________

14.Геометрическая прогрессия задана условиями: = 3; = 2 . Укажите формулу n –го члена этой прогрессии.

а) =3 · 2n; б) = 3·; в) = 3·; г) = 3 · 2(n – 1)

15. Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если известно, что третий её член

равен 2, а девятый её член равен 54.

а) ; б) 3; в) ; г) .

16. Последовательность ( ) – геометрическая прогрессия, у которой = - 4; q = .

Укажите верное неравенство.

а) > ; б) > ; в) > ; г) < .

Тесты.

Формула суммы n членов геометрической прогрессии.

Вариант 1.

Дана геометрическая прогрессия ( ): = 5; q = 2; n = 7. Найдите .

а) 640; б) 635; в) 639; г) 645.

2. Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии: ; 1; 2; … .

а) 63,5; б) 64; в) 72,5; г) 80.

3. Найдите сумму членов с третьего по шестой в геометрической прогрессии:

5; 15; 45; … .

а) 1495; б) 1490; в) 1885; г) 1880.

4. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если

= 4; = 36; q < 0.

а) 3; б) 80 ; в) - 81 ; г) - 5 .

5. Найдите первый член геометрической прогрессии в которой q = , = 1 .

а) 1; б) - 1; в) 2; г) - 2.

6. Найдите число n членов геометрической прогрессии, если известно, что

= 2; = ; =.

а) 5; б) 10; в) 8; г) 6.

7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 0,5; - 0,05; 0,005; … .

а) 2,2; б) ; в) ; г) 0,8.

8.В геометрической прогрессии -3; ; - ; ; … найдите сумму всех отрицательных членов

а) - 6; б) - 1; в) -4; г) - 2.

9. Укажите числовой промежуток, которому принадлежит знаменатель геометрической

прогрессии с = 2; = 80.

а) ; б) ; в) ; г) .

10. Банк выплачивает 19% годовых. Какова будет величина вклада в 10 000 рублей

через два года?

а) 138 000; б) 119 000; в) 95 000; г) 136 890.

11. Снижение численности населения города составляет 3% в год. Каким будет население

города через 2 года, если сегодня в нём проживает 300 000 человек?

а) 282 000; б) 282 270; в) 291 000; г) 318 000.

12. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

+ + + … .

Ответ: ___________________________

Вариант 2.

Дана геометрическая прогрессия ( ): = 3; q = 2; n = 6. Найдите .

а) 93; б) 189; в) 96; г) 190.

2. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии: 3; - 1; ; … .

а) - ; б) 2 ; в) 4 ; г) - 2 .

3. Найдите сумму членов с третьего по шестой в геометрической прогрессии:

4; 8; 16; … .

а) 252; б) 224; в) 270; г) 244.

4. Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если

= - ; = - ; q > 0.

а) - 3 ; б) - 3 ; в) – 3,9; г) - .

5. Найдите первый член геометрической прогрессии в которой q = , = 8,12.

а) 40,6; б) - 5; в) 4; г) 5.

6. Найдите число n членов геометрической прогрессии, если известно, что

=; = ; =.

а) 4; б) 5; в) 3; г) 6.

7. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: - 0,1; 0,01; - 0,001; … .

а) 0,11; б) ; в) - ; г) - 0,111.

8.В геометрической прогрессии 2; - ; ; - ; … найдите сумму всех положительных

членов.

а) 2,25; б) ; в) 0,75; г) .

9. Укажите числовой промежуток, которому принадлежит знаменатель геометрической

прогрессии с = 1; = - 20.

а) б) ; в) ; г) .

10. Банк выплачивает 15% годовых. Какова будет величина вклада в 10 000 рублей

через два года?

а) 13 000; б) 11 500; в) 13 225; г) 12 000.

11. Снижение численности населения города составляет 2% в год. Каким будет население

города через 2 года, если сегодня в нём проживает 2 000 000 человек?

а) 1 960 000; б) 1 980 000; в) 1 906  000; г) 1 920 800.

12. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:

+ + + … .

Ответ: ___________________________

Самостоятельная работа.

Геометрическая прогрессия. Формула n-го члена.

Вариант 1. Уровень А.

Составьте формулу n – го члена геометрической прогрессии ( ), если - 4; - 12; - 36; … .

Найдите четвёртый член геометрической прогрессии ( ), если = 24; q = - .

Найдите первый член геометрической прогрессии ( ), если = 128; q = - 2.

В геометрической прогрессии ( ): = ; =. Найдите ; .

Уровень Б.

Найдите пятый и n – ый члены геометрической прогрессии: - 40; 4; … .

Найдите шестой член геометрической прогрессии ( ), если = -; q = 5 .

Найдите знаменатель геометрической прогрессии ( ), если = - ; = - 3.

Между числами и 5 вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию.

Уровень В.

Найдите шестой и n – ый члены геометрической прогрессии ( , если = 64 ; = .

Найдите седьмой член геометрической прогрессии ( , если = - 6; = - 12.

Найдите значение х, при котором числа - х; х + 1; х -5 составляют геометрическую прогрессию.

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 140, а сумма второго и третьего равна 105. Найдите эти три члена прогрессии.

Вариант 2.

Уровень А.

Составьте формулу n – го члена геометрической прогрессии ( ), если 5; - 10; 20; … .

Найдите четвёртый член геометрической прогрессии ( ), если = 244; q = .

Найдите первый член геометрической прогрессии ( ), если = - 243; q = 3.

В геометрической прогрессии ( ): = ; =. Найдите ; .

Уровень Б.

Найдите пятый и n – ый члены геометрической прогрессии: 50; - 5; … .

Найдите шестой член геометрической прогрессии ( ), если = ; q = - 6 .

Найдите знаменатель геометрической прогрессии ( ), если = ; = 6.

Между числами 64 и вставьте три числа так, чтобы они вместе с данными числами составили геометрическую прогрессию.

Уровень В.

Найдите шестой и n – ый члены геометрической прогрессии ( , если = 125 ; = .

Найдите седьмой член геометрической прогрессии ( , если = - 5; = - 15.

Найдите значение х, при котором числа х; х + 2; 5х - 2 составляют геометрическую прогрессию.

В геометрической прогрессии сумма первого и второго членов равна 45, а сумма второго и третьего равна 30. Найдите эти три члена прогрессии.

Самостоятельная работа.

Геометрическая прогрессия. Формула суммы n членов.

Вариант 1. Уровень А.

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии ( ), если = - 4; q = - 3.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 6; 3; ; … .

Найдите первый член геометрической прогрессии ( ), если = 21; q = .

Представьте в виде обыкновенной дроби число: 0,(8).

Уровень Б.

Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии ( ), если = 21; q = - 3.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 3; ; ; … .

В геометрической прогрессии ( ): = и = . Найдите .

Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,2(3).

Уровень В.

Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии ( ), заданной формулой = 0,2 · .

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: - 8 ; - 8; ; … .

Найдите знаменатель геометрической прогрессии ( ), если = 2504; = 4.

Представьте в виде обыкновенной дроби число 2,01(06).

Вариант 2.

Уровень А.

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии ( ), если = 6; q = - 2.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 18; 6; 2; … .

Найдите первый член геометрической прогрессии ( ), если = 31; q = .

Представьте в виде обыкновенной дроби число: 0,(9).

Уровень Б.

Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии ( ), если = 75; q = 5.

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 1; ; ; … .

В геометрической прогрессии ( ): = и = . Найдите .

Представьте в виде обыкновенной дроби число 0,4(6).

Уровень В.

Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии ( ), заданной формулой = 0,4 · .

Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии: 6 ; - 6; 3 ; … .

Найдите знаменатель геометрической прогрессии ( ), если = 5; = 1220.

Представьте в виде обыкновенной дроби число 5,25(21).

Самостоятельная работа.

Комбинированные задачи на прогрессии.

Вариант 1.

Сумма трёх чисел, составляющих убывающую арифметическую прогрессию, равна 60. Если от первого числа отнять 10, от второго 8, а третье число оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Если из четырёх чисел, составляющих арифметическую прогрессию, вычесть соответственно числа: 2; 7; 9 и 5, то получатся числа, составляющие геометрическую прогрессию. Найдите числа, составляющие арифметическую прогрессию.

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если среднее из них удвоить, наименьшее – утроить, а наибольшее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель такой геометрической прогрессии?

Три положительных числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если первое из них уменьшить в 1,5 раза, а второе и третье оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель данной геометрической прогрессии.

Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если наибольшее из них уменьшить в трое, а два других оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель такой геометрической прогрессии.

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 15. Если к этим числам прибавить соответственно 1; 1 и 4, то они образуют геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Три числа образуют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 24. Если первое число оставить без изменения, из второго числа вычесть 2, а к третьему прибавить 4, то получим геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что первое из них больше трёх.

Дана возрастающая арифметическая прогрессия. Первый, второй и пятый её члены образуют геометрическую прогрессию. Найдите, во сколько раз четвёртый член данной арифметической прогрессии больше первого.

Составляют ли первый, второй и шестой члены арифметической прогрессии геометрическую прогрессию, если её третий член равен 7, а пятый равен 13?

Вариант 2.

Сумма трёх чисел, составляющих возрастающую арифметическую прогрессию, равна 63. Если к первому числу прибавить 10, ко второму числу прибавить 3, а третье число оставить без изменения, то полученные числа составят геометрическую прогрессию. Найдите эти числа.

Если из четырёх чисел, составляющих геометрическую прогрессию, вычесть соответственно числа: 11; 1; 3 и 9, то получатся числа, составляющие арифметическую прогрессию. Найдите числа, составляющие геометрическую прогрессию.

Три числа образуют убывающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них увеличить в 5 раз, наименьшее – удвоить, а наибольшее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Чему равен знаменатель такой геометрической прогрессии?

Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если среднее из них увеличить в 1,5 раза, а второе и третье оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель данной геометрической прогрессии.

Три положительных числа образуют возрастающую геометрическую прогрессию. Если наименьшее из них уменьшить в трое, наибольшее уменьшить вдвое, а среднее оставить без изменения, то получится арифметическая прогрессия. Найдите знаменатель такой геометрической прогрессии.

Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Известно, что если первое число оставить без изменения, а от второго и третьего отнять 4 и 5, то образуется геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.

Три числа образуют арифметическую прогрессию, а их сумма равна 18. Если к первому числу прибавить 2, к третьему: ―1, а второе оставить без изменения, то получим геометрическую прогрессию. Найдите эти числа, если известно, что последнее из них меньше трёх.

Дана возрастающая арифметическая прогрессия. Первый, второй и седьмой её члены образуют геометрическую прогрессию. Найдите, во сколько раз пятый член данной арифметической прогрессии больше первого.

Составляют ли второй, четвёртый и шестой члены арифметической прогрессии геометрическую прогрессию, если её третий член равен 8, а восьмой равен 33?

Контрольная работа.

Геометрическая прогрессия.

Вариант 1.

Найдите шестой член геометрической прогрессии ( ), если = 9; q = - .

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если = 6; q = 2.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( ), если = 7; q = .

Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии с положительным знаменателем, четвёртый член которой равен 48, а шестой равен 12.

Вариант 2.

Найдите пятый член геометрической прогрессии ( ), если = 16; q = .

Найдите сумму первых трёх членов геометрической прогрессии, если =4; q = - 2.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( ), если = 25; q = - .

Найдите сумму первых семи членов геометрической прогрессии с отрицательным знаменателем, третий член которой равен: - 16, а пятый равен - 4.

Вариант 3.

Найдите четвёртый член геометрической прогрессии ( ), если = 5; q = - 4.

Найдите сумму первых четырёх членов геометрической прогрессии, если = - 12; q = 5.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( ), если = 36; q = .

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 112, а сумма следующих трёх её членов равна 14. Найдите седьмой член прогрессии.

Вариант 4.

Найдите пятый член геометрической прогрессии ( ), если = - 8; q = 5.

Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, если = 10; q = - 4.

Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии ( ), если = 20; q = .

Сумма первых трёх членов геометрической прогрессии равна 9, а сумма следующих трёх её членов равна ―72. Найдите пятый член прогрессии

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/107581-arifmeticheskaja-i-geometricheskaja-progressi