Элективный курс по алгебре для обучающихся 8-9-х классов «Квадратный трехчлен»

Колосова Оксана Николаевна.

МОУ лицей № 3 города Волгограда.

Учитель математики.

Элективный курс по алгебре для обучающихся 8-9-х классов

«Квадратный трехчлен».

Пояснительная записка

Квадратный трехчлен с полным правом можно назвать одним из

центральных понятий школьной математики.

Будучи основным, он, естественно, формирует обширный класс задач с параметрами, разнообразных по форме и содержанию, но объединенных общей идеей - в основе их решения лежат свойства квадратичной функции.

Такое особое положение квадратного трехчлена отражается на выпускных школьных и на вступительных экзаменах. И на письменных, и на устных экзаменах в ВУЗы, и в контрольно - измерительных материалах ЕГЭ предлагается большое количество таких задач.

Умение заметить «скрытый» в задаче квадратный трехчлен - прием достаточно распространенный и в немалой степени эффективный при решении тригонометрических, иррациональных, логарифмических, показательных уравнений, неравенств и их систем. Многие задания названных или смешанных типов с параметрами и с модулями решаются рациональнее, если с помощью переформулировки свести их к исследованию расположения корней квадратного трехчлена.

В то же время в школьном курсе рассматриваются лишь самые простые, непосредственные применения свойств квадратного трехчлена в стандартных ситуациях. Эти задачи решаются, как правило, в один шаг и поэтому не дают учащимся возможности эффективно применять свои знания при решении задач несколько более сложных, а иногда и совсем простых, но сформулированных непривычным образом.

Предлагаемый курс «Квадратный трехчлен» восполнит в определенной мере этот пробел школьного образования.

Помимо обычных школьных навыков активного использования

свойств квадратного трехчлена, данный курс дает возможность учащимся научиться:

- выделять квадратный трехчлен во всех его разнообразных формах и уметь использовать его свойства для решения задач, внешне не связанных с квадратным трехчленом;

- владеть геометрической интерпретацией задач, связанных с квадратным трехчленом, в частности, уметь строить не только график квадратного трехчлена, но и трехчлена «общего вида», обладающего определенными, заданными свойствами;

- уметь исследовать квадратный трехчлен не только на числовой прямой, но и на конкретном числовом промежутке (конечном или бесконечном).

В данном курсе излагается материал, который соответствует программе углубленного изучения математики и выходит за рамки действующих учебников алгебры. Углубление реализуется на базе обучения приемам решения математических задач, требующих применения высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся.

Курс рассчитан на учащихся 8-9-х классов и предназначен для предпрофильной подготовки по алгебре. Он должен помочь ученику осознать степень своего интереса к предмету и оценить возможности овладения им, с тем чтобы по окончании 9-ого класса он смог сделать сознательный выбор в пользу дальнейшего углубленного или обычного изучения математики.

Исходя из этого,цели курса:

- подготовка учащихся к продолжению образования в избранном им

направлении;

- повышение уровня их математической культуры.

Методы обучения:

- объяснительно-иллюстрированное и проблемное изложение;

- постановка проблемных вопросов;

- решение задач;

- организация математического исследования учащимися;

- эвристические методы.

Несмотря на внешнюю ограниченность темы лишь квадратным трехчленом, математическое содержание задач, общий уровень проводимых рассуждений имеют, очевидно, более широкое значение как для общего развития и обогащения опыта творческой деятельности, так и для расширения возможностей учащихся в решении задач других типов.

Программа курса предусматривает возможность изучения содержания курса с различной степенью полноты:

I вариант - 17 часов,

II вариант - 34 часов.

Это позволяет варьировать объем, степень расширения и углубления курса в зависимости от конкретных условий.

Учебный план.

Содержание изучаемого курса.

Тема 1.Примеры зависимостей, выражающихся

квадратичной функцией.

Количество тепла, выделяемое за 1с при прохождении тока в проводнике с постоянным сопротивлениемR и силой тока I.

Падение груза с высоты h с начальной скоростью v₀.

Тело, брошенное под углом α к горизонту с начальной скоростью v₀.

Упражнения по решению задач с использованием данных зависимостей.

Эта тема обзорного характера, освещающая роль и место математики в современном мире и раскрывающая прикладные аспекты свойств квадратичной функции.

Тема 2.Квадратный трехчлен в неявном виде.

Рассматриваются задачи с различными формулировками, но объединенные общей решения - суметь увидеть квадратный трехчлен в замаскированной форме и воспользоваться его свойствами.

Формулировки заданий могут быть следующими: изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному уравнению, решить уравнение в целых числах, решить систему уравнений, разложить на множители многочлен, доказать неравенство, найти наибольшее и наименьшее значения выражения и др.

Тема 3.Исследование принадлежности корней квадратного

трехчлена ограниченной области.

3.1 Отбор корней квадратного трехчлена на луче.

Необходимое и достаточное условие расположения корней квадратного трехчлена меньше (больше, не меньше, не больше) заданного числа.

Необходимое и достаточное условие расположения заданного числа между корнями квадратного трехчлена.

3.2 Отбор корней квадратного трехчлена на конечном

числовом промежутке.

Необходимое и достаточное условие расположения корней квадратного трехчлена на конечном числовом промежутке.

Необходимое и достаточное условие расположения наибольшего (наименьшего) из корней квадратного трехчлена на конечном числовом промежутке.

Необходимое и достаточное условие расположения конечного числового промежутка между корнями квадратного трехчлена.

В п.3.1 и п.3.2 рассматриваются задачи со следующими формулировками: при каких значениях параметра корни (только один корень) больше (меньше, не больше, не меньше) заданного числа, корни (один корень) расположены между заданными числами, корни не принадлежат промежутку с концами в данных точках и т.п.

При анализе решения этих задач обратить внимание на то, что непосредственное исследование корней квадратного трехчлена с дискриминантом, не являющимся полным квадратом, связано с немалыми техническими трудностями, а рациональный путь решения основан на простой геометрической интерпретации условия.

Совершенно очевидно, что необходимые и достаточные условия п.3.1 и п.3.2 не описывают все задачи, связанные с расположением корней квадратного трехчлена. И не следует ставить задачу: для каждого типа примеров построить свое необходимое и достаточное условие такого расположения корней квадратного трехчлена, т.к. ключевая идея будет повторяться, а следовательно, в данных темах проще не строить общую теорию, а учиться решать задачи на самих задачах. Поэтому в обучении решению задач значительное место должен занимать поиск идеи решения, эвристического соображения.

Исключение определенных («запрещенных») значений корней квадратного трехчлена.

Дробные рациональные уравнения с параметром.

Решение данных уравнений включено в данный курс, т.к. это один из наиболее распространенных видов задач, которые переформулировкой сводятся к исследованию принадлежности корней квадратного трехчлена ограниченной области. Ограничение в этих задачах состоит в том, что корни трехчлена не должны принимать определенные («запрещенные») значения (их обычно конечное, небольшое число).

Тема 4. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения

корней квадратного трехчлена .

Рассматриваются различные уравнения, неравенства и их системы с параметром (иррациональные, четвертой степени, с модулями и др.), которые после переформулировки задания сводятся к исследованию расположения корней «скрытого» в задаче квадратного трехчлена.

Учебно-тематический план курса.

Литература для учителя.

Горнштейн П.И.,Полонский В.Б.,Якир М.С. Задачи с параметрами. 3-е издание, дополненное и переработанное. - М.:Илекса, Харьков: Гимназия, 1998.

Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах.- Львов,1991(Квантор;№2)

Шестаков С.А.,Юрченко Е.В. Уравнения с параметрами. - М.:Слог, 1993

Дорофеев Г.В. Как расположены корни трехчленов?//Квант.-1986-№7.

Дорофеев Г.В.,Затакавай В.В. Решение задач, содержащих параметры. - М.:Науч. - пед. об-ние «Перспектива»,1990

Ястрибинецкий Г.А. Задачи с параметрами. - М.:Просвещение,1986

Виленкин Н.Я.,Сурвилло Г.С.,Симонов А.С.,Кудрявцев А.И. Алгебра для 9 класса; Под ред. Н.Я.Виленкин. - М.: Просвещение,1998.(§5 п.21. Примеры зависимостей, выражающихся квадратичной функцией)

Литература для учащихся.

1. Галицкий М.Л., Гольдман А.М., Звавич Л.И. Сборник задач по алгебре для 8-9

классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углуб. изуч. математики.-

М.: Просвещение,1999.

2. Родионов Е.М. Справочник по математике для поступающих в ВУЗы. - М.: МЦ

«Аспект»,1992.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/108293-jelektivnyj-kurs-po-algebre-dlja-obuchajuschi