Растворы, смеси, сплавы

Уляшева Раиса Александровна

учитель математики

МОУ Помоздинская СОШ им.В.Т.Чисталева

Республика Коми Усть-Куломский р-н

Растворы, смеси, сплавы

Нередко в пособиях для поступающих в ВУЗы встречаются задачи на смеси, сплавы, растворы. Математическая модель этих задач выражается обычно линейными уравнениями или системами (хотя есть исключения); решение таких задач в школьном курсе математики рассматривается в 7-ых, 8-ых классах. Выпускники, как правило, эти задачи “хорошо забывают” ко времени экзаменов.

Цель работы: рассмотреть различные способы решения задач такого типа на примере нескольких.

Задача 1 Имеются два слитка сплавов серебра и олова. 1сл. – 360г. серебра и 40г олова, а второй – 450г серебра и 150г олова. От каждого слитка взяли по куску и сплавили. В полученном сплаве оказалось 81% серебра. Определить массы каждого куска, если полученный сплав имеет массу 200гр.

Решим задачу несколькими способами.

I способ – традиционный алгебраический с составлением уравнения.

ПустьX – масса первого куска (г), а Y – масса второго куска (г).

Для первого сплава найдём содержание серебра:

360:400=0,9.

Для второго сплава содержание серебра будет равно

450:600=0,75.

Тогда рассчитаем массу серебра в новом сплаве:

200*0,81=162.

или

0,9X+0,75Y.

Значения этих выражений равны, поэтому мы можем записать уравнение:

0,9X+0,75Y=162.

Используя еще одно условие.

X+Y=200.

Получим систему

X +Y=200 ,

0,9X+0,75Y=162.

Решив систему, получим

X=80,Y=120.

IIcпособ –табличный.

В первой таблице отразим содержание серебра в каждом сплаве. Во второй – новый сплав.

Таблица 1.

Таблица 2.

Таблица обладает рядом преимуществ перед другими способами. Она позволяет видеть всю информацию в кратком виде, что заметно облегчает решение задачи, а к тому же избавляет от необходимости написания больших предложений и текстов, все пояснения в заголовках самой таблицы.

III способ.

Следующий способ используется реже, чем другие. Он приводит к решению обратной пропорции.

Допустим, 200г было 1сплава (0,9*200=180г серебра). Замена 1г 1-го сплава на 2-ой приводит к уменьшению содержания серебра на (0,9-0,75), т.е. на 0,15. Нам надо уменьшить со 180г до 162г, а точнее, на 18г.

Значит,II сплава надо взять 18 : 0,15=120, а I сплава - 200-120=80 (г),

IVcпособ.

Графический способ нагляден и прост, доступен для учащихся 6-ых классов.

В первом сплаве содержание серебра уменьшается с 90 до 81 (на 9). А во втором оно увеличивается с 75 до 81 (на 6).

Для того, чтобы получить новый сплав с содержанием серебра в 81%, нам необходимо взять 6 частей первого сплава и 9 частей второго.

-9 +6

Всего мы получили 15 частей, а если сократить на 3, то 2+3=5 частей. Зная массу сплава, рассчитаем массу 1 части.

1часть=200/5=40г. 1спл. 40*2=80г. 2спл. 200-80=40*3=120г.

Некоторые задачи приводят к решению уравнений второй степени и выше. Примером такой может служить следующая.

Задача 2.

Из сосуда с кислотой отлили 60л кислоты и долили 60л воды. Затем отлили 60л смеси и опять долили в сосуд 60л воды, после чего оказалось, что раствор содержит 10л кислоты. Сколько литров кислоты было в сосуде первоначально?

Примем за неизвестную величину х начальное количество кислоты. Последовательно заполним ячейки таблицы (порядок заполнения указан в таблице).

По данным этой таблицы составляем уравнение

(x-60)(x-60)/x=10 или

(x-60)²=10x,

решая которое, получим корни.

x₁=40,x₂=90. т.к. x>60, по смыслу задачи остаётся 1 решение.

Ответ: 90 литров.

Кубическое уравнение получили бы в случае, если процесс разбавления кислоты был бы повторен еще раз.

Эти приёмы можно применять не только к задачам на смеси, сплавы и растворы, но и к задачам, в которых рассматривается долевое вхождение одной величины в другую.

Например, в пособиях по подготовке к ЕГЭ встречаются задачи такого рода:

На предприятии доля работников с высшим образованием составляет 80%; после того, как штат сотрудников увеличился на 30 сотрудников с высшим образованием, их доля увеличилась до 85%. Найти первоначальное число сотрудников с высшим образованием.

_{В ванну, где было 78 литров воды с t = 15°вылили 24 литра кипятка (100°), определить температуру воды в ванне.}

_{Решим последнюю.}

_{В ванну влили 24 литра кипятка, следовательно, температура воды в ванне увеличилась до x°, а у кипятка она уменьшилась до той же температуры. Массы воды относятся обратно пропорционально разностям температур.}

_{Составим уравнение}

_{(100-x):78=(x-15):24.}

_{Получим х=35.}

_{Ответ: 35}⁰

_{Задача 3.}

Два сосуда, содержащие 42 и 6 кг раствора кислоты различной концентрации. Если эти растворы смешать, то получится раствор, содержащий 40% кислоты. Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 50 % кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

Решение

Решение оформим в таблицах, последовательно заполняя их ячейки. За xиy примем соответственно массы кислот в первом и втором растворах.

Получим первое уравнение: x+y =19,2.

Получим второе уравнение системы: x/42+y/6 =1.

Решив систему, получим: х=15,4.

Ответ: 15,4 кг.

Задача 4.

Смешав 30-процентный и 60-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для получения смеси? [2]

Решение

Заполним две таблицы: в первую поместим данные о первом смешиваниии растворов, во вторую - сведения о предполагаемом смешивании (если бы …).

Обозначения:х и у - соответственно массы первого и второго растворов в кг. Требуется в ответ вывевти значение х.

Получим два уравнения:

из первой таблицы -

0,3·x+0,6·y+0=0,36·(x+y+10),

из второй -

0,3·x+0,6·y+5=0,41·(x+y+10).

Уравнения получены приравниванием масс кислоты с исходных растворах и после смешивания.

Вычитая из второго уравнения первое, получим , что

x+y+10=100.

Далее из первого уравнения получим 0,3·x+0,6·y=36,подставиву=90-х, найдем: х=60(кг).

Ответ: х=60(кг).

Литература

1. ЕГЭ. МАТЕМАТИКА. Типовые тестовые задания. Под редакцией А.Л.Семенова, И.В.Ященко. «Экзамен», М.2013

2. http://reshuege.ru Задача № 99577 из каталога.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/109914-rastvory-smesi-splavy