Решение неравенств алгебраическим методом

Разработка системы уроков повторения, направленных на подготовку к ЕГЭ

по математике по теме

«Решение неравенств алгебраическим методом».

Содержание.

1. Примерное планирование учебного времени.

2. План-конспект урока по теме «Равносильные преобразования неравенств».

3. Проверочная работа (в одном варианте).

4. Краткий анализ знаний учащихся.

1. Примерное планирование учебного времени. Всего 10ч.

Самостоятельная работа по теме «Равносильные преобразования неравенств»

1 вариант

2.

4.

2 вариант

2.

3. 4.

3 вариант

1. 2.

3.. 4.

4 вариант

1. 2.

3. 4.

2. План-конспект урока по теме «Равносильные преобразования неравенств».

Урок в 11-м классе по теме "Равносильные преобразования неравенств " 

Тип урока: урок применения знаний, умений, навыков решения неравенств алгебраическим методом.

Цели урока:

обучающая: в результате урока учащиеся обобщают и систематизируют знания по теме «Равносильные преобразования неравенств», добиваются более глубокого усвоения знаний.

развивающая: в результате урока учащиеся учатся анализировать, выделять главное, доказывать и опровергать логические выводы;

воспитательная: в результате урока учащиеся развивают коммуникативные навыки, ответственное отношение к достижению цели.

Оборудование компьютер, мультимедийный проектор.

Ход урока

I. Актуализация опорных знаний

При решении неравенств мы рассматривали разные виды и разные способы решения неравенств. Сегодня мы вспомним основные виды неравенств, назовём способы их решений и более подробно остановимся на алгебраическом методе решения неравенств(методе равносильных преобразований).

Чтобы решать сложные неравенства, надо хорошо знать решение простейших неравенств.

1. Виды неравенств и их решение.

Вопрос учащимся: Какие преобразования используют при решении неравенств?

Учащиеся называют: возведение в чётную или нечётную степень, логарифмирование, потенцирование, применение формул, позволяющие привести неравенство к более простому виду.

Вопрос: Что может произойти с множеством решений неравенства в процессе преобразований?

Учащиеся отмечают, что множество решений либо не меняется, либо расширяется (можно получить посторонние решения), либо сужается (можно потерять решения).

Поэтому важно знать какие преобразования неравенств, являются равносильными и при каких условиях, что подразумевается под понятием равносильность неравенств.

Равносильность неравенств.

Два способа установления равносильности:

1.Убедиться в совпадении множеств корней.

2.Применять преобразования, не нарушающие равносильность.

Формирование понятия равносильности :

- При помощи частных примеров выясняется, какие преобразования

не изменяют корни уравнений;

- Отрабатывается понимание, что для решения уравнений можно

пользоваться не только тождественными преобразованиями;

- Выясняется, в результате каких операций получается уравнение,

равносильное данному.

Сущность метода:

1.Последовательный переход с помощью тождественных и

равносильных преобразований от данного неравенства к более

простым до тех пор, пока не получится одно или несколько

простейших данного вида.

2.Решение простейших неравенств по известной формуле или

алгоритму.

Перечислим некоторые преобразования неравенств, приводящие данное неравенство к неравенству, равносильному ему на множестве всех действительных чисел.

Перенос члена неравенства (с противоположным знаком) из одной части неравенства в другую;

Умножение (деление) обеих частей неравенства на положительное число;

Применение правил умножения многочленов и формул сокращённого умножения;

Приведение подобных членов многочлена;

Возведение неравенства в нечётную степень;

Логарифмирование неравенства  , т.е замена этого неравенства неравенством

Назовем преобразования неравенств, приводящие исходное неравенство к неравенству равносильному ему на некотором множестве чисел

Возведение неравенства в чётную степень; (на множестве где обе функции неотрицательны)

Потенцирование неравенства; (на множестве где обе функции положительны)

Умножение обеих частей неравенства на функцию; (на множестве где функция положительна)

Применение некоторых формул (логарифмических, тригонометрических и др.) (на множестве где одновременно определены обе части применяемой формулы)

Фронтальная работа

Вопрос учащимся: Равносильны ли неравенства? Почему?

4) 

II. Закрепление изученного материала

Учитель: В зависимости от интерпретации неравенства различают

алгебраический

функциональный

графический

геометрический

подходы в решении неравенств. При алгебраическом подходе выполняют равносильные общие или частичные преобразования неравенств. При функциональном подходе используют свойства функций (монотонность, ограниченность и т.д.). Основой геометрического подхода является интерпретация неравенств и их решений на координатной прямой, координатной плоскости или в пространстве. В некоторых случаях алгебраический и функциональный подходы взаимно заменяемые. Сегодня вспомним решение иррациональных и показательных уравнений путем равносильных преобразований.

Решите неравенство: (сильный ученик работает у доски)

Пример 1.

Возведя неравенство в третью степень , получим неравенство равносильное исходному неравенству. Применив формулу куба разности , перенеся члены неравенства в правую часть и приведя подобные члены многочлена, получим неравенство х²+х-6>0. Решив квадратное неравенство ,найдем множество его решений – интервал(-3;2).

Ответ (-3;2).

2. Решить неравенство ( самостоятельно)

>0

Решение.

Заметим, что x²+2x+3>0 при любом значении переменной. Умножим обе части неравенства

>0 o  >0 o x²-x-2>0 o (x+1) (x-2)>0

Ответ:( .

3. Решить неравенство (с взаимопроверкой)

>6-x

Решение.

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем.

а)   

x>6.

б)  2 

<x<6.

Ответ: x> .

4.Решить неравенство: (самостоятельно)

= 5- х,

 -

15

Ответ: [-15;1].

Решим показательные неравенства: (объяснение учителя)

При решении показательных неравенств выполняются преобразования аналогичные тем, что и при решении показательных уравнений, основано решение неравенств на следующем свойстве степеней:

a^f(x)>a^(x),a>1f(x)>(x)

a^f(x)>a^(x), 0<a<1f(x)<(x)

Решите неравенство:

, так как 0,3<1, то

2х²–3x+6>5

2x²–3x+1>0

2x²–3x+1=0

; x=1; x= ;



Ответ:

Решите неравенство:

, так как , умножим обе части неравенства на , знак неравенства не изменится, получим равносильное неравенство

, пусть

, тогда 1<t<2, возвращаемся к старой переменной 

, так как 2>1, то 0<x<1.

Ответ: 0<x<1.

III Самостоятельная работа по сайту http://reshuege.ru/

«РешуЕГЭ» , выполнение задания С3

1 вариант C 3 № 484598. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ:  .

2 вариант C 3 № 484599. Ре­ши­те си­сте­му не­ра­венств 

Ре­ше­ние.

По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 

IV.Домашнее задание. (5 мин.) Заранее записано на интерактивной доске. Раздаются карточки с домашним заданием. Учитель поясняет задание, обращает внимание, что аналогичные были решены на уроке. Решить неравенства : Приложение

V. Итог урока

Что нового узнали на уроке? Выставление оценок.

Приложение

1.   < х-1

2.   <  +  .

3.   +  >3.

4.   <2x+1.

3. Проверочная работа в одном варианте:

1.Сколько целочисленных решений имеет неравенство:

Ответ:3

2.Решить неравенство:

Ответ:(-2;2).

Решить неравенство:

Ответ:

4^х+2^х+х²<x²+6

Ответ:.

Ответ:.

3^4х+sinx> 3^sinx+2

Ответ:

З адание С3 из ЕГЭ

Ответ: 

4.Краткий анализ знаний учащихся


Урок проведен в классе, где математика изучается на профильном уровне. Разобранные способы решения неравенств знакомы учащимся из курса алгебры 10-11 класса. Материал урока позволил повторить изученный материал (равносильные преобразования неравенств, решение иррациональных и показательных неравенств), а также систематизировать знания по методам, которые применяются довольно часто.

Интерес к теме урока высокий, т.к. тема имеет применение на ЕГЭ во второй части (С3). Уровень обученности класса позволяет рассматривать неравенства сложность которых выше среднего, решать системы неравенств из открытого банка заданий ЕГЭ.

Тем не менее в классе есть ученики, для которых выполнение части заданий С3 затруднительно. Это учтено при составлении текстов самостоятельной работы: задания вариантов 3 и 4 сложнее, чем 1 и 2.

При выставление оценок учитывалось количество правильно решенных заданий. 2 задания ( для слабых учащихся ) – «3», 3 задания «4», за полные 4 задания –«5».

При выполнении проверочной работы за верно выполненное 3 задания ставилась оценка «3», за 4 задания оценка «4», за 5 и 6 заданий оценка «5».

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/119433-reshenie-neravenstv-algebraicheskim-metodom