Урок-конференция «Начала анализа и математические модели в естествознании и экономике»

Действия учителя

Действия ученика

I.Вводное слово учителя. Вы уже знакомы с понятиями функции, производной. Вам уже известны и некоторые практические приложения начал анализа (геометрический и физический смысл производной, задачи на экстремум). Однако приложения начал анализа весьма многообразнее и охватывают как естественные, так и другие науки, что не позволяют осветить размеры школьного учебника. Вы знаете, математика является одной из самых древних наук, но роль ее в различных областях естествознания и в разное время была неодинаковой. Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его основные черты и свойства на языке математических понятий и соотношений, или, как теперь принято говорить, возможность построить математическую модель изучаемого объекта. Математическая модель.

Приведем простейший пример математической модели. Представим себе, что требуется определить площадь пола комнаты. Для выполнения такого задания измеряют длину и ширину комнаты, а затем перемножают полученные числа. Эта элементарная процедура фактически означает следующее. Реальный объект— пол комнаты — заменяется абстрактной математической моделью — прямоугольником. Прямоугольнику приписываются размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимается за искомую площадь.

Математическая модель, основанная на некотором упрощении, никогда не бывает, тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта

Математические модели давно и успешно применяются в физике. Они теперь широко используются и в химии, и в биологии, и в экономике.

Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е., прогнозировать результаты будущих наблюдений.

Учащиеся слушают

II.Производная в задачах естествознания и экономике

А сейчас мы рассмотрим работы творческих групп, которые провели самостоятельные исследования по темам. Еще раз убедимся в важности роли производной в исследовании процессов окружающего мира, покажем практическую необходимость и теоретическую значимость темы "Производная".

Учащиеся готовятся к выступлению. I группа – «Применение физического смысла производной при решении физических задач».

О физическом и механическом смысле производной (теория) рассказывает Воронин Дима. Учащиеся слушают. Решение задач показывают Шипилло Костя и Горбаюк Саша (презентация№1).Учащиеся решают с ними задачи.

IIгруппа –«Геометрический смысл производной».

О геометрическом смысле производной (теория и решение задач) рассказывает Буховенко Лена и Дятлова Настя. Учащимся розданы ксерокопии с задачам ЕГЭ (В8). Учащиеся записывают в тетрадь решение задач, (презентация№2).

IIIгруппа - «Решение биологических задач с помощью производной».

О биологическом смысле производной докладывают Нартов Саша (теория), Булгакова Кристина, Мищенкова Алёна (решение задач). Учащиеся записывают в тетрадь решение задач, (презентация№3).

IVгруппа - «Решение химических задач с помощью производной».

О химическом смысле производной докладывают Деева Настя, Саломатова Саша. Учащиеся записывают в тетрадь решение задач, (презентация№4).

Vгруппа - «Производная в фармакологии».

С разбором задач выступает Мельникова Полина. Учащиеся слушают,(презентация№5).

VI группа - «Решение задач с экономическим содержанием».

О экономическом приложении производной докладывает Зубов Алексей. Джафаров Илья выступает с докладом «Использование производной для решения задач по экономической теории». Учащиеся слушают и записывают решение задач, (презентация№6).

III. Вывод.

Из рассмотренных выше задач, следует несколько выводов.

Скорость прямолинейного движения есть производная пути s=s(t) по времени t, т.е. v=s’.В этом состоит механический смысл производной.

Скорость химической реакции есть производная количества вещества m=m(t) по времени t, т.е. v=m’.

Скорость роста популяции есть производная размера популяции p=p(t) по времени t, т.е. v=p’.

Скорость роста численности населения есть производная от количества населения А=А(t) по времени t, т.е. v=А’.

Сила переменного тока Iесть производная количества электричестваq=q(t) по времени t, т.е. I=q'.

Угловой коэффициент касательной к кривойy=f(x) в точке с абсциссой x есть производная f’(x). В этом состоит геометрический смысл производной.

Производительность труда f(t) есть производная от выработки продукции F(x) по времени t, т.е. f(t)=F’(t)

Производительность труда f(t) есть производная от выработки продукции F(x) по времени t, т.е. f(t)=F’(t)

IV. Домашнее задание.

1) Вычислить скорость роста бактерий в условиях ограниченности пространства, если закон увеличения числа бактерий имеет вид N=N0ekt, гдеk-const. Возрастает или убывает скорость со временем? 2) Закон изменения температуры T тела в зависимости от времениtвыражается формулой T=2,5t2. С какой скоростью нагревается тело в момент времени t=2сек. Через какое время скорость нагревания увеличится вдвое?

3) Пишущий элемент регистрирующего прибора совершает колебания по закону

X=2sin √π(t-0,8) см.

С какой скоростью пишущий элемент проходит через положение равновесия?

4) Газовая смесь состоит из окиси азота (NO) и кислорода ( O2). Требуется найти концентрацию O2

При которой содержащая смесь окиси азота окисляется с наибольшей скоростью.

5) Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону

s(t)= t2+2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

6) Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 2t3- t2 при t = 2с.

6) Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением I = 2t2 – 5t. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени 10 с.

7) Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t4 – 1. Найдите его угловую скоростьw в момент времени t и t=2 с.

Домашнее задание роздано каждому учащемуся

V. Итог урока.

Ребята, давайте оценим нашу работу на уроке.

Двое учащихся подняли руки на вопрос:- «Не совсем всё понял, хочу понять», остальные учащиеся – «Всё мог понять! Уроком доволен.»

В заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за работу!