Конспект открытого урока по математике «Применение производной к исследованию функций»

Методическая разработка

открытого урока по математике «Применение производной к исследованию функций»

ФИО автора материала: Дюканова Галина Ивановна

Место работы: МБОУ «Малокуликовская средняя общеобразовательная школа» Орловского района Орловской области

Должность автора: Учитель математики

Тема урока: «Применение производной к исследованию функций».

Класс: 10

Цели урока:

Образовательные: рассмотреть применение производной к исследованию функций и к решению экзаменационных задач.

Развивающие: развитие зрительной памяти, математически грамотной речи, сознательного восприятия учебного материала и интереса к предмету через использование информационных технологий.

Воспитательные: воспитание трудолюбия, самостоятельности в поисках и выборе пути решения задач, творческих умений и культуры общения, формировать понимание развития своего интеллекта как ценностной характеристики современной личности.

Задачи урока:

дать понятие о возможностях применения элементов дифференциального исчисления в описании и изучении процессов и явлений реального мира;

показать широкий спектр приложений производной;

развивать навык чтения графиков функций и производной функции;

развивать монологическую речь в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий;

развивать навыки самостоятельной и индивидуальной работы.

Методическая цель: сформировать практические умения и навыки исследования функций с применением производной.

Форма урока: комбинированный.

Тип урока: урок получения практических навыков.

Форма организации деятельности на уроке: фронтальная, индивидуальная.

Методы: словесный, наглядный, репродуктивный, частично-поисковый, практический.

Материально-техническое оснащение: компьютер, мультимедийный проектор, экран, классная доска, таблица формул дифференцирования, раздаточный материал.

План урока:

Организационный момент (вступительное слово учителя).

Повторение теоретического материала:

А) фронтальный опрос;

Б) математический диктант;

В) задачи-картинки.

Практическое применение производной:

А) самостоятельная работа;

Б) решение различных задач;

В) экономическая задача.

4. Решение экзаменационных задач:

А) интервалы монотонности;

Б) точки экстремума;

В) значения производной.

5. Теоретический конкурс «Применение производной».

6. Подведение итогов.

Ход урока

Организационный момент (вступительное слово учителя).

«Мало иметь хороший ум, важно уметь применять его» Р. Декарт

(Р.Декарт в 1637 году впервые ввел прямоугольную систему координат, которую называют также – Декартова система координат)

2. Повторение теоретического материала.

А) фронтальный опрос

Что такое производная?

В чем состоит геометрический смысл производной?

Где используется производная?

Условия монотонности функции.

Сформулируйте достаточный признак возрастания (убывания) функции.

Дать определение критических точек функции.

Какие точки называют точками экстремума?

Сформулируйте необходимое условие экстремума.

Алгоритм построения графика функции с помощью производной.

Алгоритм нахождения наибольшего (наименьшего) значения функции на интервале.

Б) Математический диктант

(ответы проверяют друг у друга, сверяясь с ответами на доске)

Записать определение производной с помощью математических символов.

Ответить на вопрос: Когда функция дифференцируема в точке?

Записать правило дифференцирования.

Чему равна производная степенной функции.

Найти производную функции

В чем заключается геометрический смысл производной.

Найти производную функции y=sinx-cosx.

В каком случае функция возрастает на некотором промежутке.

Что можно сказать о производной точке экстремума?

Найти производную

В) Задачи-картинки

1. Какое значение принимает производная функции y=f(x) в точке А?

Ответы: 1) 2) )3) )

0

Какое значение принимает производнаяфункцииy=f(x) в точке B? Ответы: 1)2) ) 3) )

y

Y=f(x)

Y

А

B

Y=f(x)

1

0

x

x

x

Назовите промежуток убывания функции. (рис.3)

Ответы:1)0<x<3,2) 0<x<2, 3) x>2

y

Y

x

x

Назовите промежуток возрастания функции. (рис. 4)

Ответы: 1) x<0, 2) x>0, 3) -∞<x<+∞

Назовите точки, в которых производная равна 0. (рис. 5)

Ответы: 1) 2)3) 0;

3.Практическое применение производной:

А) Самостоятельная работа.

1. Найти производную функции

a) y=

b) f(x)=sin(2x+ )

2. Напишите уравнение касательной к графику функции y=3в точке .

Б) Решение различных задач.

Учебник «Алгебра и начала анализа» Колмогоров А.Н., №290 (а, б) (два ученика решают у доски индивидуально).

№295 (а) (ученик решает у доски с пояснением).

В) Экономическая задача.

Предприятие производит x единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятий от объема выпуска выражается формулойf(x)=-0.02 +600x-1000. Исследовать потенциал предприятия.

Решение:

Функция исследуется с помощью производной. Получаем, что при х=100 функция достигает максимума. Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до единиц. При х=100 они достигают максимума и объем накопления равен 39 000 денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Таким образом, экономика неотъемлемая часть нашей жизни. Мы работаем, учимся, занимаемся домашним хозяйством, но не подозреваем, что без экономики всего этого могло бы и не быть. Экономические задачи помогают нам правильно тратить ресурсы и средства.

Решение экзаменационных задач.

А) Интервалы монотонности.

Задача 1. На рисунке изображен график функции, определенной на интервале (-6; 8).

О пределите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение. Производная функции положительна на тех интервалах, на которых функция возрастает, т.е. на интервалах (-3; 0) и (4,2; 7). В них содержатся целые точки -2, -1, 5 и 6, всего их 4.Ответ: 4.

З адача 2. На рисунке изображен график функции,определенной на интервале (-5; 5).

Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функции убывают, т.е. на интервалах (-3,8; 1,2) и

(2,8; 4,4). В них содержатся целые точки -3, -2, -1, 0, 1, 3, 4.

Их 7 штук. Ответ: 7

Преподаватель.На исходном графике производной нас интересуют в первую очередь нули функции, поэтому выделяем только их. Знак производной легко определить по исходному чертежу: если график производной лежит выше оси OX, то f’ (x) < 0.

Задача 3. На рисунке изображен график производной функцииf(x), определенной на интервале (-11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Р ешение.

Промежутки возрастания функции f(x) соответствуют промежуткам, на которых производная функции положительна, то есть интервалам (-11; -10), (-7,-1), (2; 3).

Наибольший из них – интервал (-7; -1), длина которого 6. Ответ: 6

Задача 4. На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение.

Промежутки убывания функции f(x) соответствуют

промежуткам, на которых производная функции

отрицательна, то есть интервалам (-1; 5) длиной 6 и

(7; 11) длиной 4. Длина наибольшего из них 6.

Ответ: 6.

Б)Задача 5 .Точки экстремума.

Преподаватель.Отмечаем на координатной оси нули производной – и все. Выяснить знаки производной на промежутках между нулями. Там, где знак меняется с минуса на плюс, находится точка минимума. И наоборот, если знак производной меняется с плюса на минус, это точка максимума. Отсчет всегда ведется слева направо. Если в задаче установлены ограничения на переменнуюx, дополнительно отмечаем их.

Задача 6. На рисунке изображен график производной функцииf(x), определенной на интервале (-10; 8). Найдите количество точек экстремума функцииf(x) на отрезке [-9; 7].

Решение.

Точки экстремума соответствуют точкам смены знака производной - изображенным на графике нулем производной. Производная

обращается в нуль в точках -8, -3,3, 5. На отрезке [-9; 7] функция имеет 5 точек экстремума.

Ответ: 4.

З адача 7. На рисунке изображен график производной функцииf(x), определенной на интервале (-18; 6). Найдите количество точек минимума функции на отрезке [-16;2].

Решение.

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке функция имеет одну точку минимумаОтвет: 1.

Задача 8. На рисунке изображен график функции y=f’(x) на интервале (-16;4). На отрезке [-11;0] найдите точку максимума функции f(x) на этом отрезке.

Решение.

Отметим на полученном графике знаки производной.Очевидно, в точке x = -5 знакпроизводной меняется с плюса наминус – это точка максимума.

Ответ: -5.

В)Задача 9. Значение производной.

Преподаватель.Если в задаче дан график функции f(x), касательная к этому графику в некоторой точке x₀, и требуется найти значение производной в этой точке, применяется следующий 1-й способ «Метод двух точек»: найти на графике касательной две «адекватные» точки: их координаты должны быть целочисленными. Правильно выписывайте координаты – это ключевой момент решения, и любая ошибка здесь приводит к неправильному ответу.

K = f’(x₀) = (y₂ – y₁)/(x₂ – x₁).

2-й способ: Значение производной с точке x₀ совпадает с тангенсом угла наклона касательной в точке x₀,k = tg. Вычисление углового коэффициента облегчается тем, что касательная проходит через два узла целочисленной решетки. Эти точки выделены на рисунке жирным. Соединяем эти точки под прямым углом. Тангенс угла наклона касательной tg = про/при = (вертик/гориз) и если график касательной возрастает, то k > 0, а если убывает, то k < 0.

Задача 10. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссойx₀. Найдите значение производной функцииf(x) в точке x₀.

Решение:

1-й способ:

Рассмотрим точки (0; -2) и (5; 8) и найдем значение производной:k=f '(x₀) = (- 2 - 8) / (0 - 5) = -5 /(-10) = 22-й способ:

Тангенс угла наклона касательной tgα = про/при = (вертик/гориз) = 10/5 = 2 и k > 0,то f'(x₀) = 2.Ответ: 2.

Задача 11. На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссойx₀. Найдите значение производной функцииf(x) в точке x₀.

Р ешение.

1-й способ:

Рассмотрим точки (0; 0) и (6; -3) и найдем значение производной:

k = f’(x₀) = (- 3 - 0) / (6 - 0) = -1 / 2 = -0,5

2

6

Т ангенс угла наклона касательной tgα = про/при = (вертик/гориз) = -3 / 6 = -0,5 и k < 0 то f’(x₀) = -0,5

Ответ: -0,5

Теоретический конкурс «Применение производной».

Рассказать о различных случаях применения производной (доклады учащихся).

Подведение итогов.

Информация о домашнем задании, инструктаж к выполнению.

Производная – одно из самых важных понятий математического анализа. Актуальность темы следует из того, что человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач. Знания производной позволяют решать многочисленные задачи по экономической теории, физике, алгебре, геометрии. Попробуйте объяснить, для чего лично вам может пригодиться сегодняшнее занятие.

Подведение итогов успеваемости, выставление оценок.

С каким настроением вы уходите с урока?

Поднимите соответствующую карточку. Я хочу вам пожелать, чтобы производная ваших знаний была только положительная, это значит, знания ваши будут только возрастать.

Спасибо за урок.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/129741-konspekt-otkrytogo-uroka-po-matematike-primen