Факультативный курс «Решение планиметрических задач»

Министерство образования и науки Республики Казахстан

«Заринская средняя общеобразовательная школа»

Решение планиметрических задач

Программа факультатива

Факультативный курс «Решение планиметрических задач» рассчитан на 34 часа и предназначен для обучающихся 8 - 9 классов общеобразовательных школ

Автор программы: Алинова Гульнара Шахановна

с. Заря

2013 год

Календарный план

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Актуальностькурса состоит в том, что он направлен на расширение знаний учащихся по геометрии, развитие их теоретического мышления и логической культуры.

Новизнаданного курса заключается в том, что предлагаемый курс содержит задачи по разделам, которые обеспечат более осознанное восприятие учебного материала. Творческие задания позволяют решать поставленные задачи и вызвать интерес у обучаемых. Включенные в программу задания позволяют повышать образовательный уровень всех учащихся, так как каждый сможет работать в зоне своего ближайшего развития.

Отличительные особенности данного курса от уже существующих в том, что этот курс подразумевает доступность предлагаемого материала для учащихся, планомерное развитие их интереса к предмету. Сложность задач нарастает постепенно.

Обладать активными знаниями в области геометрии означает не только готовность приводить достаточно длинные списки математических фактов и умение строго воспроизводить доказательства некоторых из них. Активность математического знания – это стремление и способность всё осмыслить с обычным по аналогии, сложное разложить на части, найти применение общего правила к частному случаю, перейти от единичного факта к общей закономерности, создать целостное представление о математическом объекте и т. д.

Активное математическое знание нельзя получить как-то извне, его необходимо выработать самому, чтобы оно вышло в плоть и кровь и действовало с силой интуиции. К сожалению, по мнению одних, и к счастью, как считают другие, не существует каких бы то ни было готовых рецептов, предписывающих наиболее целесообразные пути освоения математического знания. Но действительно полезным и даже необходимым для развития математического мышления является его упражнение посредством самостоятельного решения задач.

В данном курсе последовательность изучения заданного материала определяется не тематикой и соответствием порядку изложения в учебнике, а уровнем сложности задач и степенью их стандартности.

Программа ориентирована на учащихся 8-9 классов (14--15 лет), которым интересна как сама геометрия так и процесс познания нового.

Факультативные занятия рассчитаны на 1 час в неделю, в общей сложности –34 ч в учебный год. Преподавание факультатива строится как углубленное изучение вопросов, предусмотренных программой основного курса. Углубление реализуется на базе обучения методам и приемам решения геометрических задач, требующих высокой логической и операционной культуры, развивающих научно-теоретическое и алгоритмическое мышление учащихся. Факультативные занятия дают возможность шире и глубже изучать программный материал, задачи повышенной трудности, больше рассматривать теоретический материал и работать над ликвидацией пробелов знаний учащихся, и внедрять принцип опережения.

Основные принципы:

-обязательная согласованность курса с курсом геометрии как по содержанию, так и по последовательности изложения. Факультатив является развивающим дополнением к курсу геометрии.

– вариативность (сравнение различных методов и способов решения задач );

– самоконтроль (регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач должен быть непременным элементом самостоятельной работы учащихся).

При проведении занятий по курсу на первое место выйдут следующие формы организации работы: групповая, парная, индивидуальная;методы работы: частично-поисковые, эвристические, исследовательские, тренинги.

Ожидаемые результаты освоения программы:

В ходе освоения содержания программы факультативных занятий «Решение планиметрических задач» ожидаются:

1. Развитие общеучебных умений, навыков и способов познавательной деятельности школьников;

2. Освоение учащимися на более высоком уровне общих операций логического мышления: анализ, синтез, сравнение, обобщение, систематизация и др., в результате решения ими соответствующих задач и упражнений, дополняющих основной материал курса;

3. Повышение уровня математического развития школьников в результате углубления и систематизации их знаний по основному курсу;

4. Формирование устойчивого интереса школьников к предмету в ходе получения ими дополнительной информации, основанной на последних достижениях математической науки и педагогической дидактики.

Цели данного курса:

Повышение интереса к предмету.

Овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения в практической деятельности, для изучения смешанных дисциплин, для продолжения образования.

Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств мышления, характерных для математической деятельности.

Задачи курса:

Развития мышления учащихся, формирование у них умений самостоятельно приобретать и применять знания.

Формирование познавательного интереса к математике, развитие творческих способностей, осознание мотивов учения.

Формирование умений выдвигать гипотезы, строить логические умозаключения, пользоватьсяметодами аналогии, анализа и синтеза.

Межпредметная связь: алгебра, геометрия, экология, физика, черчение, информатика.

Профильное направление: способствует углублению знаний учащихся по специальностям: математика, информатика, технолог, инженер, экономист, бухгалтер, менеджер и др.

Содержание тематического планирования.

Программа

1 - тема.Треугольник. Элементарные и опорные задачи (17 часов)

2 – тема.Четырёхугольники (9 часов)

3 – тема.Окружность (8 часов)

Основные обозначения и формулы

В треугольнике АВС обозначаются:

– углы и величины углов,

– длины сторон, противолежащих вершинамА, В, С соответственно.

– длины высоты, медианы и биссектрисы, проведённых из вершины А. Аналогично обозначаются длины остальных высот, медиан и биссектрис.

R,r – величины радиусов описанной и вписанной окружностей.

– площадь треугольника.

Между этими величинами существует ряд соотношений, позволяющих в случае необходимости вычислять одни из них по известным другим.

.

Теорема синусов: .

Теорема косинусов: .

.

Справедлива также следующая формула Герона

,

где.

Можно получить и иные соотношения, если в теореме косинусов и в последующих соотношениях поменять местами любые две из трёх пар или.

Соотношения, справедливые для прямоугольного треугольника (далее считаем , т. е. – гипотенуза): , теорема Пифагора: .

I. Треугольник. Элементарные и опорные задачи

Т е о р е м а к о с и н у с о в

Наиболее «работающей» теоремой школьного курса геометрии является теорема косинусов и её частный случай – теорема Пифагора.

Теорема косинусов определяет три элементарные задачи:

1. Даны две стороны треугольника и угол между ними. Найти третью сторону.

2. Даны три стороны треугольника. Найти какой-либо угол треугольника (косинус угла).

3. Даны две стороны треугольника и угол, не лежащий между ними. Найти третью сторону треугольника.

Если в первых двух задачах искомый элемент вычисляется однозначно и, так сказать, напрямую, то в третьей задаче для нахождения нужной стороны приходится решать квадратное уравнение. Понятно, что третья задача может иметь два, одно и ни одного решения. Дело в том, что соответствующая задача на построение треугольника по двум сторонам и углу, не лежащему между ними, может иметь одно или два решения или не иметь решения. На рис. 1а показан случай, когда задача построения треугольника АВСпо углу А и сторонам имеет два решения. На рис. 1б эта же задача имеет одно решение. «Видно», что при – решение одно; если , где - расстояние от точки Вдо АС(), решений два; при вновь одно решение; если , решений нет.

Теорема косинусов очень часто используется для составления уравнения (уравнений).

4. Стороны треугольника образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1. Косинус среднего по величине угла этого треугольника равен . Найти периметр этого треугольника.

Р е ш е н и е. обозначим среднюю по величине сторону через . Тогда две другие стороны равны . Данный угол противолежит стороне длиной . На основании теоремы

В

B

c

c

В

К

A

М

A

А

C

С

б)

Рис. 2

Рис. 1

косинусов составляем уравнение , из которого .

Последнюю задачу вряд ли можно отнести к категории элементарных. Но она, безусловно, очень проста. Приведём ещё пример простой неэлементарной задачи, составленной из двух уже известных нам «кирпичиков».

5. В треугольнике АВС известны стороны: АВ=3, ВС=5,СА=6. На стороне АВвзята точка Мтак, что ВМ=2АМ(рис. 2), а на стороне ВС взята точка Ктак, что 3ВК=2КС. Найти длину отрезка МК.

Решение задачи очевидным образом составляется из двух шагов. Первый шаг – по теореме косинусов находим косинус угла В(задача 2), второй шаг – из треугольника МВКпо теореме косинусов находим МК(задача 1) (ответ: ).

Стоит запомнить и включить в категорию опорных задач следующую теорему:

6. (!) Треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли квадрат его наибольшей стороны соответственно меньше, равен или больше суммы квадратов двух других сторон.

Утверждение этой теоремы легко следует из теоремы косинусов и свойств косинуса. Её доказательство учащиеся могут провести самостоятельно.

И ещё несколько задач для самостоятельного решения:

7. Определить вид треугольника (остроугольный, прямоугольный, тупоугольный) и найти косинус наибольшего угла треугольника, если его стороны равны: а) 6, 7, 9; б) 7, 24, 25; в) 23, 25, 34.

8. В треугольнике АВСотрезок, соединяющий середины АВи ВС, равен 3,сторона АВ равна7, угол С равен . Найти сторону ВС.

9.В треугольникеАВС известны стороны АС=2,АВ=3, ВС=4. Пусть BD– высота этого треугольника (D– на прямой АС). Найти длину отрезка CD.

10. (!) Пусть – длина медианы, проведённой к стороне треугольника. Две другие стороны равныbиc. Доказать, что .

11. В треугольнике со сторонами 3, 4 и 6 проведена медиана к большей стороне. Определить косинус угла, образованного медианой с меньшей стороной треугольника.

П р я м о у г о л ь н ы й т р е у г о л ь н и к

Очень часто встречаются задачи, для решения которых надо увидеть прямоугольный треугольник, вычленить его, после чего всё сводится к работе с этим треугольником. Поэтому считаем необходимым тему «прямоугольный треугольник» рассмотреть отдельно.

Сформулируем сначала несколько простых, но полезных утверждений.

12. (!) Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит этот треугольник на два подобных между собой и подобных исходному треугольнику треугольника.

13. (!) Медиана, выходящая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы. Верно и обратное утверждение: если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Прямым является угол, из вершины которого выходит рассматриваемая медиана.

Оба утверждения достаточно просто доказываются. Тем не менее укажем несколько возможностей для доказательства утверждения задачи № 13.

1. Можно воспользоваться формулой для длины медианы (задача № 10).

2. Пусть в треугольнике АВСуголСпрямой, углы Аи В равны соответственно и (рис. 3 а).

Возьмём на АВточкуОтак, что . Тогда треугольники СОАи СОВ равнобедренные,СО=ОА, СО=ОВ, т. е. СО– медиана и СО=.

3. Продолжим медиану СОпрямоугольного треугольника АСВ( ) на расстояние, равное ей. Получим четырёхугольник (рис. 3 б). Этот четырёхугольник будет параллелограммом для любого треугольникаАВС. (Подобное дополнительное построение часто бывает полезным при решении задач, в условии которых фигурирует медиана.) В нашем случае этот параллелограмм является прямоугольником. В прямоугольнике диагонали равны. Значит, СО=.

Сформулируем ещё одну опорную задачу.

14. (!) Пусть CD– высота прямоугольного треугольникаАВС, опущенная на гипотенузу АВ. Тогда .

A

A

С

O

O

C

B

В

D

A

C

B

б)

a)

Рис. 4

Рис. 3

Докажем первое равенство (рис. 4). Из подобия треугольников АСDи СDB(задача № 12, ) получаем , откуда. Два других равенства следуют из подобий треугольников АСDи АВС,ВСDи ВАС.

ПустьRиr– соответственно радиус описанной и вписанной окружности прямоугольного треугольника (как обычно, и b – катеты, c– гипотенуза этого треугольника), тогда справедливы формулы:

15. (!) , причём центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.

16. (!) , гдер– полупериметр треугольника, .

Утверждение задачи № 15 следует из утверждения задачи № 13.

Докажем формулу для r(задача № 16). Пусть Р– центр вписанной в треугольник АВСокружности (рис. 5, . CKPL– квадрат со стороной r, ,. Поскольку АМ+МВ=с, то , откуда. Учитывая теорему Пифагора, получим

. (16a)

Легко видеть также, что

. (16б)

На основании 1-й формулы задачи № 14 можно сформулировать две элементарные задачи: известны отрезки гипотенузы, на которые она разделена высотой, найти высоту; известна высота и один из отрезков гипотенузы, найти второй отрезок.

В заключение этого параграфа сформулируем «обобщённую теорему Пифагора».

17. Пусть CD– высота в прямоугольном треугольникеАВС, опущенная на гипотенузу. Возьмём в подобных треугольниках СBD,ACDи АВСсходственные линейные элементы. Обозначим величины этих элементов соответственно через, и . Тогда имеет место равенство .

Данное утверждение следует из теоремы Пифагора и свойства подобных треугольников. В самом деле стороны , AC=bи АВ=сявляются сходственными в треугольниках CBD,ACDи АВС.Для любых сходственных линейных элементов этих треугольников имеет место . Обозначив эти отношения через , получим . Следовательно, , поскольку .

Следующие задачи можно предложить учащимся для самостоятельного решения.

18. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит гипотенузу на отрезки, равные 24 и 54. Найти катеты этого треугольника.

19. Катет прямоугольного треугольника равен 6, проекция этого катета на гипотенузу равна 2. Найти гипотенузу и другой катет этого треугольника.

20. Найти гипотенузу прямоугольного треугольника, если известно, что его стороны образуют арифметическую прогрессию с разностью, равной 1.

21. Найти наименьший острый угол прямоугольного треугольника, если известно, что медиана, выходящая из вершины прямого угла, делит этот угол в отношении 2:1.

22. Чему равен острый угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника?

23. Катеты прямоугольного треугольника равны 8 и 15. Чему равно расстояние от вершины прямого угла до центра вписанной в этот треугольник окружности?

24. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Чему равен радиус окружности, проходящей через вершину прямого угла, середину большого катета и вершину противолежащего острого угла?

25. Один катет прямоугольного треугольника равен 6, медиана, опущенная на этот катет, равна 5. Найти гипотенузу.

26. Один катет прямоугольного треугольника равен 6, а проекция другого катета на гипотенузу равна 2,25. Найти гипотенузу этого треугольника.

27. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности его катетов. Найти отношение большего катета к меньшему.

28. Высота, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, делит треугольник на два. Радиусы окружностей, вписанных в эти два треугольника, равны 1 и 2. Найти радиус окружности, вписанной в исходный треугольник.

A

A

С

L

O

K

B

O

Р

A

B

B

M

C

M

C

M

б)

а)

Рис. 6

Рис. 5

О п и с а н н а я о к р у ж н о с т ь. Т е о р е м а с и н у с о в

Как известно, у любого треугольника существует единственная описанная около него окружность, центр которой совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Напомним ещё один факт из школьного курса. Рассмотрим окружность с центромО.ПустьВАС– угол, вписанный в эту окружность (рис. 6 а, б). Этот угол определяет на окружности дугуBC(на этой дуге нет точки А) и центральный угол ВОС, измеряемый этой дугой. Как видим, уголВОС может быть больше , если определяемая углом ВАСдуга больше полуокружности. Соответствующая теорема школьного курса утверждает, что центральный угол BOC в два раза больше вписанного угла BAC.Или иначе: вписанный в окружность угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Пусть теперь О– центр окружности, описанной около треугольникаАВС,D– середина стороны BC.Если угол Аострый, то . Из прямоугольного треугольника DOC (рис. 7) получим , откуда или, где – радиус описанной окружности.

Таким образом, доказана справедливость равенств:

29. (!) .

Первые два равенства (без равенства «=2R») дают теорему синусов. Утверждение о том, что радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, представляет собой частный случай доказанных равенств.

Следует запомнить следующую рекомендацию: задачи, в которых требуется найти радиус окружности, описанной около треугольника, очень часто могут быть решены на основании доказанных в задаче 29 равенств. В частности, если надо найти радиус окружности, описанной около треугольника с данными сторонами, то решение будет состоять из трёх шагов. Сначала по теореме косинусов находим косинус какого-нибудь угла этого треугольника. Затем вычисляем

А

C

C

M

О

A

С

D

В

B

B

A

Рис. 9 90

Рис. 8

Рис. 7

синус этого угла. И наконец, по теореме синусов находим радиус описанной окружности. При этом удачный выбор угла может облегчить вычисления, а неудачный – затруднить.

30. Найти радиус окружности, описанной около треугольника со сторонами 5, .

Будем искать косинус угла, противолежащего стороне . Получим , т. е. этот угол равен , а радиус описанной окружности будет .

Предлагаем ещё несколько задач по этой теме.

31. Одна сторона треугольника равна 2, прилежащие углы равны и . Найти две оставшиеся стороны этого треугольника.

32. Пусть основание равнобедренного треугольника равно , боковые стороны равны , высота, опущенная на основание, равна. Выразить радиус описанной около этого треугольника окружности через любые две из трёх величин: и .

33. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найти радиус окружности, проходящей через вершины острых углов этого треугольника и середину большего катета.

34. Стороны треугольника равны 2, 3 и 4. Найти радиус окружности, проходящей через концы большей стороны и середину меньшей стороны.

35. На основании равнобедренного треугольника взята произвольная точка . Доказать, что радиусы окружностей, описанных соответственно около треугольников и , равны.

36. В окружности радиуса проведена хорда , равная 2. Пусть – некоторая точка окружности. Чему равен угол ?

37. Хорда видна из центра окружности под углом . Пусть

П о с л е д о в а т е л ь н о е в ы ч и с л е н и е в е л и ч и н.

Если в задаче требуется найти длину какого-либо отрезка или вычислить величину какого-либо угла, имеет смысл сначала, не проводя вычислений, определить, какие, вообще, отрезки и углы могут быть найдены, исходя из данных задачи, с помощью приёмов, изложенных в пункте «Решение треугольников», или иных соображений. При этом можно помечать каким-либо образом вычисляемые отрезки и углы. Множество вычисляемых объектов будет при этом расширяться. И если случится так, что в их число попадёт нужный отрезок или угол, то легко можно будет составить цепочку последовательных вычислений необходимых отрезков и углов, которая приведёт к нахождению нужной величины. Тем самым и составится план решения задачи.

З а д а ч а 1. Выразить медиану треугольника (рис. 1) через известные стороны .

Р е ш е н и е . Как указано выше. Можно вычислить все углы треугольника . Точка есть середина известного отрезка , так что могут быть вычислены и длины отрезков. Тем самым в треугольнике могут быть вычислены две стороны и заключённый между ними угол. Следовательно, можно определить все элементы треугольника и, в частности, длину стороны . План решения составлен.

Итак, находим . Применяя теорему косинусов к треугольнику, получаем

.

Пользуясь равенством (1), имеем

.

О т в е т : .

A

Проведём теперь решение задачи с учётом найденных величины BG=11и соотношения AC=2AE.Из прямоугольных треугольников BDGи ABGнаходим

.

Тогда

Пользуясь формулой из ответа задачи 1, получаем

О т в е т : Стороны параллелограмма равны 22 и , бóльшая диагональ равна

Заметим, что диагональ параллелограмма можно было бы вычислить с помощью теоремы о том, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

В в е д е н и е н е и з в е с т н ы х.

Иногда. Нарисовав чертёж и отметив на нём все данные величины, а также определив все величины, которые могут быть вычислены с помощью указанных выше соображений, всё-таки не удаётся найти требуемые в задаче отрезки или углы. В этой ситуации может помочь следующий приём. Обозначим какой-нибудь буквой, скажем буквой , неизвестный отрезок или угол, а затем отметим все углы и отрезки. Которые могут быть выражены через с помощью приведённых в пунктах «Последовательное вычисление величин» и «Поиск решения «от искомого»» соображений. Тогда может случиться так, что один и тот же отрезок или угол имеет два различных выражения. Приравняв их, получим уравнение, корнем которого будет искомая величина.

З а д а ч а 3. В трапеции длина средней линии равна 4, углы при одном из оснований имеют величины . Найти длину меньшего основания трапеции, если длина отрезка, соединяющего середины оснований, равна 1.

C

О т в е т : 3.

М е д и а н ы т р е у г о л ь н и к а.

Т о ч к а п е р е с е ч е н и я м е д и а н

39. (!) Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2:1 (считая от вершины, из которой соответствующая медиана выходит).

Эта важная теорема в последнее время почему-то оказалась вне поля зрения школьных программ и школьных учебников.

Приведём одно из возможных доказательств этой теоремы.

Пусть и – медианы треугольника (рис. 8), – точка пересечения и . – средняя линия треугольника. По свойству средней линии параллельна и . Треугольники и подобны (второй признак подобия: ). Следовательно, . Проведя третью медиану , точно так же покажем, что точка пересечения и (а также и ) разделит ( ) в том же отношении 2:1, а это означает, что все три медианы пересекаются в одной точке

Понятно, что для остроугольного треугольника точка пересечения высот (как и центр описанной окружности) расположена внутри треугольника, а для тупоугольного – вне треугольника. Если – точка пересечения высот треугольника, то – точка пересечения высот треугольника, и вообще любая из четырёх точек и является точкой пересечения высот треугольника, образованного тремя другими точками.

Решите несколько задач.

46. В треугольнике проведены высоты и . Найти, если а) ; б) .

47. В треугольнике стороны и равны соответственно 7 и 8, угол равен. Найти расстояние от основания высоты, опущенной на сторону , до середины стороны .

48. Доказать, что радиусы окружностей, описанных около треугольников и , где – точка пересечения высот треугольника, равны.

Б и с с е к т р и с ы т р е у г о л ь н и к а.

Ц е н т р в п и с а н н о й о к р у ж н о с т и

Из различных свойств биссектрисы внутреннего угла треугольника выделим прежде всего следующую теорему.

49. (!) Пусть – биссектриса угла треугольника (рис. 11). Тогда .

Эту теорему иногда формулируют следующим образом: «Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные сторонам этого треугольника, заключающим биссектрису».

Вновь, как и при доказательстве теоремы о высотах треугольника (№ 45), ограничимся одним наиболее традиционным рассуждением. На продолжении стороны возьмём точку так, что . Тогда, т. е. прямая

D

Предлагаем решить следующие задачи:

52. Найти длину биссектрисы прямого угла прямоугольного треугольника с острым углом в и меньшим катетом, равным 1.

53. Стороны треугольника равны 2, 3 и 4. Найти: а) длины отрезков, на которые разделена средняя сторона треугольника биссектрисой противоположного угла; б) длину биссектрисы к средней стороне этого треугольника.

54. Найти углы треугольника, если известно, что две его стороны видны из центра вписанной окружности под углами и .

55. В треугольнике проведена биссектриса . Найти углы этого треугольника, если известно, что .

56. Один из углов треугольника равен , противоположная сторона равна 4, один из отрезков, на которые эта сторона разделена опущенной на неё биссектрисой, равен 1. Найти две оставшиеся стороны треугольника.

57. Угол треугольника равен, радиус окружности, описанной около , равен 2. Найти радиус окружности, проходящей через точки и и центр окружности, вписанной в .

58. Стороны треугольника равны 5, 6 и 7. Найти отношение отрезков, на которые биссектриса большего угла этого треугольника разделена центром окружности, вписанной в треугольник.

59. Выразить сторону правильного треугольника и радиус описанной около него окружности через – радиус вписанной окружности.

60. Найти стороны треугольника, если известен радиус вписанной в него окружности и углы и , под которыми видны из центра этой окружности две стороны треугольника.

П л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а

Напомним сначала некоторые наиболее известные формулы для площади треугольника: , где – площадь треугольника, – высота, опущенная на сторону .

На основании теоремы синусов (задача № 29) получаем равенства: . Теперь, заменяя во второй из данных выше формул площади сначала , а затем получим ещё две формулы:

61. (!) .

Полезно также запомнить выражение для площади треугольника через – радиус вписанной окружности и – полупериметр этого треугольника:

62. (!) .

Для доказательства данного равенства рассмотрим три треугольника и (рис. 12). Площадь треугольника равна сумме площадей этих трёх треугольников. Следовательно, , что и требовалось доказать.

Легко видеть, что формула 62 верна для любого описанного многоугольника.

Понятно, что если точка расположена на прямой (рис. 13), то отношение площадей треугольников и равно отношению сторон и , т. е.. Этот факт легко обобщается, а именно:

63. (!) Пусть точка расположена на прямой (рис. 14 а, б) точка – на прямой , тогда отношение площадей треугольников и равно отношению произведений сторон, содержащих вершину , т. е..

Сформулированное в задаче 63 утверждение сразу следует из второй формулы для площади треугольника, поскольку синусы углов с вершиной в треугольниках и равны. (Эти углы или равны (рис. 14а), или в сумме составляют (рис. 14б)).

Из школьного курса известна также формула, выражающая площадь треугольника через его стороны, так называемая формула Герона: .

Пожалуй, в практических вычислениях формулой Герона не всегда удобно пользоваться. Во всяком случае, если не все стороны треугольника являются рациональными, то вычисление площади лучше осуществлять в два этапа. Сначала по теореме косинусов найти косинус какого-либо угла треугольника, затем синус этого угла (напомним, он всегда положителен), а потом вычислить площадь треугольника.

Рис. 14

Полезно запомнить следующее свойство трапеции:

75. (!) Пусть – трапеция с основанием и , – точка пересечения её диагоналей (рис. 16). Тогда треугольники и – равновелики ( ). И обратно. Пусть – четырёхугольник. Тогда из равновеликости треугольников и следует параллельность и .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Из параллельности и вытекает равновеликость треугольников и , из равновеликости треугольников и – равновеликость треугольников и . Проследив эту цепочку в обратном направлении, получим обратное утверждение.

Рис. 16

87. Найти площадь параллелограмма, стороны которого равны и , а угол между диагоналями равен .

III. Окружность

Х о р д ы и у г л ы

Д о к а ж е м сначала несколько теорем, достаточно часто применяемых при решении различных задач.

88. (!) Доказать, что две дуги окружности, заключённые между двумя параллельными её хордами, равны между собой.

Справедливость этого утверждения следует из симметрии окружности относительно её диаметра (рис. 18).

89. (!) Доказать, что угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг, заключённых между его сторонами и их продолжениями за вершину угла.

Рис. 21

Аналогично доказывается также, что

93. (!) Если в четырёхугольнике равны углы и , то этот четырёхугольник вписанный.

Решите следующие задачи:

94. В треугольнике угол равен, угол - . Окружность с центром в точке проходит через , пересекает в точке , – в точке . Чему равен угол ?

95. В треугольнике известны стороны: . Окружность, проходящая через точки и , пересекает прямую в точке , а прямую в точке . Известно, что . Найти.

96. Диагонали четырёхугольника , вписанного в окружность, пересекаются в точке , прямые и пересекаются в точке . Известно, что . Найти и .

97. Около треугольника со сторонами 5, 6 и 7 описана окружность. Найти длину хорды этой окружности, отличной от стороны треугольника, проходящей через одну его вершину и делящей пополам среднюю по длине сторону треугольника.

98. В четырёхугольнике известны углы: . Чему равен ?

99. Пусть – точка на диаметре окружности с центром . и – точки окружности, расположенные по одну сторону от , причём. Чему равен угол ?

100. Пусть – диаметр окружности, – некоторая точка плоскости. Прямые и вторично пересекают окружность в точках и соответственно. Прямые и пересекаются в точке . Чему равен угол между прямыми и ?

О к р у ж н о с т и и к а с а т е л ь н ы е.

П л о щ а д ь к р у г а и е г о ч а с т е й

Сформулируем и д о к а ж е м сначала две теоремы. Первая из них продолжает тему № 89, 90, являясь их частным, а вернее. Предельным случаем.

101. (!) Проведём через некоторую точку окружности хорду и касательную к окружности. Тогда каждый из двух углов, образованных этими хордой и касательной, измеряется половиной дуги, заключённой внутри него.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть – хорда окружности, – касательная, – диаметр (рис. 22). , поскольку каждый из этих углов дополняет до угол. Следовательно, угол , как и вписанный угол , измеряется половиной дуги , заключённой внутри угла .

Следующая теорема 102 по формулировке и доказательству аналогична теореме 91.

102. (!) Пусть – точка, расположенная вне окружности радиуса (рис. 23), на расстоянии от её центра. Произвольная секущая, проходящая через , пересекает окружность в точках и , – касательная к окружности (– точка касания). Тогда .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Утверждение следует из подобия треугольников и (по теореме 101).

Аналогом теоремы 92 для вписанного четырёхугольника является теорема 103 для описанного четырёхугольника:

D

Первая часть утверждения следует из равенства касательных, проведённых к окружности из одной точки (см. рис. 24а).

Обратное утверждение докажем от противного. Проведём биссектрисы углов и четырёхугольника и обозначим через точку их пересечения (рис. 24б). Точка равноудалена от сторон и , а также от сторон и , т. е. она равноудалена от трёх сторон и четырёхугольника , и можно построить окружность с центром, касающуюся этих сторон. Пусть суммы противоположных сторон четырёхугольника равны, но построенная окружность не касается стороны четырёхугольника . Поведём через точку касательную к окружности, отличную от, и обозначим через точку пересечения этой касательной с прямой. Четырёхугольник является описанным, следовательно, . По условию . Вычитая одно равенство из другого, получим , т. е. в треугольнике разность двух сторон равна третьей стороне. Это невозможно. Значит, точки и совпадают.

В заключение этого раздела напомним формулы длины окружности и её дуги, площади круга и его частей.

Длина окружности:. Длина дуги окружности, соответствующей центральному углу величиной (в радианной мере): . Площадь сектора: . Площадь круга: . Площадь сегмента, соответствующего дуге (центральному углу в радиан), лучше всего представить в виде разности площадей сектора и равнобедренного треугольника с боковыми сторонами, равными , и углом между ними : .

B

110. К окружности проведены касательные, касающиеся её в концах диаметра АВ. Произвольная касательная к окружности пересекает эти касательные соответственно в точках Kи М. Доказать, что произведение постоянно.

111. На сторонахАВ иADквадратаABCDвзяты точки Kи М так, что . Доказать, что прямая KMкасается окружности, вписанной в квадрат.

112. Дан прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 и острым углом . Найти площадь общей части двух кругов, проходящих через вершину прямого угла, с центрами в вершинах острых углов треугольника.

113. На катетах прямоугольного треугольника, как на диаметрах, построены круги. Доказать, что сумма площадей частей этих кругов, расположенных вне описанного около треугольника круга, равна площади треугольника.

Список использованных источников

Математика в школе: Научно-методический журнал Государственного комитета СССР по народному образованию. – М.: Изд-во «Педагогика», 1989, № 1 – 6, с ил.

Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Планиметрические задачи. – М.: Изд-во МГУ, 1992. – 16 с. – (Библиотека абитуриента: Математика).

Лисичкин В. Т., Соловейчик И. Л. Математика: Учеб. пособие для техникумов. – М.: Высш. шк., 1991. – 480 с.: ил.

Черняк Ж. А., Черняк А. А. Решения наиболее трудных задач из Сканави. – М.: Рольф, 2000. – 384 с., с илл. – (Домашний репетитор).

Шарыгин И. Ф., Голубев В. И. Факультативный курс по математике: Решение задач: Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1991. – 384 с.: ил.

Шыныбеков А. Н. Алгебра и начала анализа: Для 10 класса общеобразовательной школы – Алматы: Атамұра, 2006. – 320 с.

Тесты. Математика. 5 – 11 кл. / Сост. М. А. Максимовская и др. – М.: ООО «Агентство «КРПА «Олимп»: ООО «Издательство АСТ», 2003. – 425[7]c.

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/13469-fakultativnyj-kurs-reshenie-planimetricheskih