Элективный курс для учащихся 9-х классов «Удивительный мир уравнений. Нестандартные методы решения»

Элективный курс для учащихся 9-х классов

Удивительный мир уравнений.

Нестандартные методы решения

Составитель: Кочубей Лидия Владимировна,

учитель математики

МБОУ « Средняя школа №2»

г. Десногорска Смоленской области

2015

Пояснительная записка

Общеизвестно, что в олимпиадных заданиях, различного рода экзаменационных заданиях часто встречаются уравнения, которым в «традиционном» школьном курсе в силу различных причин уделяется мало внимания, или не уделяется вовсе.

Основная цель курса «Удивительный мир уравнений. Нестандартные методы решения» - научить анализировать каждое уравнение и процесс его решения; т.е. научить такому подходу к решению уравнений, при котором уравнение выступает как объект тщательного изучения, исследования.

Предлагаемый курс позволит учащимся использовать и систематизировать знания, полученные при изучении различных тем школьного курса алгебры, расширить знания за рамками этого курса, поможет учащимся восполнить пробелы предыдущей подготовки, лучше овладеть общеучебными умениями и навыками, которые позволят успешно осваивать программу старшей профильной школы, даёт возможность проявить себя и добиться успехов. Курс поможет учащимся оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы, способствует созданию положительной мотивации обучения, подготовки учеников не только к сдаче экзаменов, но и успешному обучению в профильной школе.

Материал курса доступен для изучения, способствует развитию логического мышления учащихся, повышению их интеллектуального и творческого развития, математической культуры, поможет учителю показать ученикам как красоту и совершенство, так и сложность и изощрённость в решении уравнений.

Изучение курса предполагается вести в виде лекций, семинарских занятий с использованием проблематизации и диалога с учащимися. Возможны и разные формы индивидуальной и групповой деятельности учащихся. При проведении занятий используются как объяснительно – иллюстративные, так

- 2 -

и активные методы обучения.

Итогом изучения курса является овладение учащимися нестандартными методами решения уравнений; формирование и развитие у обучающихся коммуникативных навыков, которые способствуют развитию умений работать в группе, вести дискуссию, отстаивать свою точку зрения. В процессе обучения учащиеся приобретают умения анализировать уравнение, составлять алгоритм его решения.

Продолжительность данного курса 17 часов.

- 3 -

Содержание курса.

1. Функциональный подход к решению уравнений. Использование монотонности, экстремальных свойств, оценки значений, нахождения области определения входящих в уравнение функций к решению уравнений. Уравнения вида f ( f ( х )) = х. Применение графиков функций к решению уравнений с параметрами и модулями.

7 часов

2. Последовательности, применение их свойств к решению уравнений.

Использование свойств арифметической, геометрической прогрессии к решению уравнений. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Применение её свойств к решению уравнений. Предел последовательности. Теорема Вэйерштрасса о сходимости монотонной и ограниченной последовательности, её применение к решению уравнений.

3 часа

3.Уравнения высоких степеней.

Метод понижения степени уравнений. Теорема Безу и её следствия. Формулы Виета, их применения к решению уравнений высоких степеней. Зависимость между коэффициентами уравнений, её применение к решению уравнений. Возвратные уравнения.

5 часов

- 4 -

Учебно - тематический план

- 6 -

Методические материалы

Тема: Использование свойств функций, входящих в уравнения, при решении уравнений.

Цель: Научить использовать монотонность, экстремальные свойства, оценку значений, область определения, входящих в уравнение функций, при решении уравнений.

Содержание:

1. Повторить свойства функций у = ах + b, у = ах² + bх + с, у = .

2. Рассмотреть теоремы:

а) Если функция f ( х ) монотонна на промежутке I, то уравнение

f ( х ) = С имеет на промежутке I не более одного корня.

б) Если функция f ( х ) возрастает на промежутке I, а функция g ( х ) убывает на промежуткеI, то уравнение f ( х ) = g ( х ) имеет на этом промежутке не более одного корня.

3. Рассмотреть и оформить в тетрадях решение примеров а – д.

Решить уравнение:

а) + = 2

Решение: Область определения уравнения - [ - 1: + ), на данном промежутке функция у = х² + 3х + 6 возрастает, значит возрастает функция

У = . На этом промежутке возрастает и функция у = , откуда следует, что левая часть уравнения - возрастающая на [ - 1: + ) функция ( как сумма двух возрастающих функций ). Правая часть уравнения – постоянная, уравнение, следовательно имеет не более одного решения. Корень х = - 1 легко найти.

Ответ: - 1.

- 7 -

б) + = 3 – х

Указание: левая часть уравнения – возрастающая на [ 1: + ) функция, а

правая часть – убывающая. Легко найти х = 1.

Ответ: 1

в) х² + у² = 4 ( х + у – 2 )

Решение. Запишем уравнение в виде: х² + у² - 4х – 4у + 8 = 0

( х – 2 )² + ( у – 2 )² = 0.

Сумма квадратов двух выражений равна нулю, если оба слагаемые равны нулю. То х = 2, у = 2.

Ответ: х=2, у=2.

г) 3х + = + 2х +2

Решение. Найдём ОДЗ этого уравнения. Оно задаётся условиями

, откуда . Этим условиям удовлетворяет единственная точка х = 2. Поэтому ОДЗ уравнения состоит из одной точки х = 2. Проверим, является ли это число решением данного уравнения. Подставим

х = 2 в исходное уравнение, получим 6 = 6 ( верное равенство). Поэтому данное уравнение имеет единственный корень х = 2.

Ответ: х = 2.

д) = 5 х + - 90.

Указание. Левая часть данного уравнения не превосходит 15, а правая – не меньше 15. Следовательно, равенство может иметь место лишь при условии, что левая и правая части равны 15. То есть при х = 19.

Ответ: х = 19.

Дидактический материал.

Решить уравнение.

1. 5 х² + у² - 4 ху – 2х + 1 = 0

Ответ: х = 1; у = 2.

- 8 -

2. 5 х² - 4х + 1 = у ( 2х – у )

Ответ: х = ; у = .

3. = 4 х + - 45

Ответ: х = 13.

4. + + 25 = 4х² +

Ответ: х = .

5. х + 1 =

Ответ: х = 1.

6. 2 = - 1

Ответ: х = 3.

Тема: Уравнение вида f ( f ( х )) = х.

Цель: Закрепить умение применять свойство монотонности функции к решению уравнений, рассмотреть уравнения вида f ( f ( х )) = х .

Содержание.

1. Повторить понятие монотонно возрастающей и убывающей функции.

2. Рассмотреть теорему : Если у = f ( х ) – монотонно возрастающая функция, то уравнения

f ( х ) = х

и

f ( f ( х )) = х

эквивалентны.

- 9 -

Подчеркнуть, что она справедлива лишь для возрастающей функции, а для

убывающей функции это утверждение не имеет места. Чтобы убедиться в этом, достаточно привести контрпример с функцией f ( х ) = - х. В этом случае уравнение f ( f ( х )) = х не равносильно уравнению f ( х ) = х ( уравнение х = х не равносильно уравнению - х = х).

3. Рассмотреть и оформить в тетрадях решение примеров.

а) = х – 1.

Решение. Перепишем уравнение: 1 + = х. Рассмотрим функцию

f ( х ) = 1 + . Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение

f ( f ( х )) = х. В соответствии с теоремой заменим его на эквивалентное уравнение f ( х ) = х или 1 + = х, х - - 1 = 0, = ,

х = .

Ответ: х = .

б) ( х³ + 6 )³ + 6 = х.

Решение. Рассмотрим функцию f ( х ) = х³ + 6. Эта функция монотонно возрастает. Имеем уравнение f ( х )) = х. В соответствии с теоремой заменим его на эквивалентное уравнение f ( х ) = х или х³+ 6 = х, х³ = х – 6.

Решив уравнение графически, определим х = - 2.

Ответ: х = - 2.

Дидактический материал.

Решить уравнение.

1) = х

Ответ: х = 1.

- 10 -

2) х³ + 1 = 2

Ответ: 1, ,.

3)

Ответ: .

Тема: Применение графиков функций к решению уравнений .

Цель: Формирование умений учащихся применять графики функций к

решению уравнений с параметрами и модулем

Содержание:

1. Повторить

а) понятие абсолютной величины;

б) кусочные функции.

2. Рассмотреть правила построения графиков функций

у = f ( | x | ), у = | f ( х ) |, у = | f ( | х | ) |, у = .

3. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров а – в.

а) Решить уравнение | х - 1| + | х - 3 | = а

относительно х.

Построим график функции у =| х - 1| + | х - 3 |. Числа 1 и 3 разбивают числовую прямую ОХ на три полуинтервала:

( - ; 1 ] ( 1: 3 ] ( 3; + ), на каждом из которых каждое слагаемое с модулями освобождается от модулей по - разному:

- 11 -

1)

2)

3)

Тогда : у =

График каждой из функций – части прямой, заданные уравнениями (1), (2), (3), которые вместе образуют ломаную.

у = а – уравнение семейства прямых, параллельных оси ОХ.

Если а < 2, то одна из семейства прямых у = а с ломаной не имеет общих точек, и заданное уравнение решения не имеет.

Если а = 2, то прямая у = 2 имеет множество общих точек, абсциссы которых образуют . Решение уравнения .

Если а>2, то прямая у = а с ломаной имеет по две общие точки. Абсциссы одной общей точки ( левой ) находим из уравнения а = - 2 х + 4

- 12 -

х = ; для другой ( правой ) точки а = 2х – 4, х = .

Ответ : если а < 2, то решений нет;

если а = 2, х ;

если a >2, то , .

б) Решить уравнение 3 – х = | х – а |

Построить графики функций у= 3 – х и у= | х – а |. График функции

уфиксирован и от параметра а не зависит. График функции улегко получается из графика функции у = | х |, зависит от параметра а ( при его изменении смещается вдоль оси абсцисс). Поэтому рассмотрим три характерные случая расположения графиков этих функций.

а) Этот случай, как видно из рисунка, будет при а < 3. График функции упоказан штрих – пунктирной линией, функции у- сплошной. Видно, что графики этих функций пересекаются в единственной точке В. Рассмотрим АВС, в котором А = С = 45º. Проведём в этом треугольнике высоту ВD. Так как АВС равнобедренный, то ВD также и медиана этого треугольника. Поэтому абсцисса точки D ( т.е. решение данного уравнения)

- 13 -

х = .

б) Этот случай имеет место при а = 3. Тогда графики функций уи усовпадают по лучу АВ и абсцисса любой точки этого луча является решением данного уравнения, т.е х .

в) Этот случай будет при а > 3. Видно, что графики функций уи уне пересекаются ( т.е. не имеют общих точек). Поэтому уравнение решений не имеет, т.е. х ǿ.

Ответ : при а х = ;

при а = 3 х ;

при ах ǿ.

- 14 -

в) | х² - 2х - 1| = .

Построим графики функций у= | х² - 2х - 1| ( сплошная линия) и у= (штрих – пунктирная прямая).

Видим, что эти два графика пересекаются в двух точках А (1; 2) и В ( 4; 7 ) , абсциссы которых х = 1 и х = 4 и являются корнями данного уравнения.

Ответ: х = 1 и х = 4.

Дидактический материал:

а) При каких значениях параметра а уравнение 6= ах + 7 имеет единственное решение?

Ответ: а U { }

б) При каких значениях параметра а уравнение | х + 3 | = а | х – 2 | имеет единственное решение? Найдите это решение.

Ответ: х = - 3 при а = 0,

х = - 0,5 при а = 1

в) Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

| х² - 5| х || = а ( х + 4 ) имеет ровно три различных корня.

Ответ: а = 0, а = 1.

- 15 -

Тема: Использование свойств последовательностей при решении уравнений.

Цель: Расширить знания учащихся о последовательностях. Выработать

умения применять теорему Вэйерштрасса, свойства арифметичес-

кой и геометрической прогрессии к решению уравнений.

Содержание:

1. Повторить:

а) понятие последовательности; свойства арифметической и геометрической прогрессии, формулы суммы первых n – членов прогрессии;

б) определение бесконечной геометрической прогрессии и её свойств.

2. Дать определение предела последовательности, рассмотреть теорему Вэйерштрасса о сходимости монотонной и ограниченной последовательности.

3. Разобрать и оформить в тетрадях решение примеров а – д.

Решить уравнение:

а. 2 + 5 + 8 + 11 + … + Х = 155

В левой части уравнения находится сумма членов арифметической прогрессии 2; 5; 8; 11; …Х; первый член которой 2 и разность 3. Пусть в эту сумму входит n слагаемых. Тогда, используя формулу для суммы n первых членов арифметической прогрессии, получаем:

Второе уравнение получим, записав последний член этой суммы:

- 16 -

х = 2 + 3 ( n - 1) = 3n - 1.

Подставив второе уравнение в первое, придём к квадратному уравнению относительно n:

или 3 n ² + n - 310 = 0, корни которого n= 10 и n = -

( не подходит, так как n – число натуральное). После этого находим Х = 3 10 – 1 = 29. Итак, Х = 29 – единственный корень данного уравнения.

Ответ : 29

б) 1 + 2 + 4 + 8 +…+ Х = 255

В левой части уравнения находится сумма геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем 2. Пусть число слагаемых равно n. Тогда эта сумма равна : . Отсюда . Так как Х является n членом прогрессии, то Х = 128.

Ответ: 128

в) 1 + 2х + 4х² + … + ( 2х)ⁿ + … = 3,4 – 1,2х, если известно, что I х I< 0,5.

Согласно формуле, имеем

1 + 2х + 4х² + … = или

(3,4 – 1,2х) (1-2х) = 1

2,4 х² - 8х + 2,4 = 0

- 17 -

3х² - 10х + 3 = 0

= 3; . Условие удовлетворяет только корень.

Ответ: .

г) х² - 1 + ( х² -1)² + ( х² - 1) ³ + … = 3

1 способ. Левая часть уравнения является суммой членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Согласно формуле

имеем S = 3; b = х² - 1; q = х² - 1, то уравнение примет вид

, то .

2 способ. Запишем уравнение в виде ( х² - 1) (1 + ( х² - 1) + ( х² - 1 )² + … = 3.

Используя теорему Вэйерштрасса, получим

(х² - 1 ) ( 1 + 3 ) = 3, то х =

Ответ:.

д)

Вместо числа 2, что стоит под знаком корня, подставим его значение:

2= , получим

Продолжая этот процесс, получим

- 18 -

Используя теорему Вэйерштрасса, получим х + 2 = 4, х = 2

Ответ: 2

Дидактический материал

Решить уравнение:

а) 1 + 7 + 13 + … + х = 280

Ответ : х = 55

б) 1 + + + …+ + … = 3 – х, если известно, что | х | < 2

Ответ : х = 1

в) 2х + 1 + х² - х³ + х- х+ … = , где | х | < 1

Ответ : ;

г) + х + х² + … + х+ … = , где | х | < 1

Ответ: ;

д)

Ответ: 6

е)

Ответ: 2

ж)

Ответ: 4

з)

Ответ: 6

- 19 -

и)

Ответ: 61

Тема: Метод понижения степени уравнения. Теорема Безу и её следствия.

Цель: Познакомить учащихся с теоремой Безу и её следствиями; научить применять их при решении задач.

Содержание:

1. Рассмотреть теорему Безу и её следствия.

Если коэффициенты приведённого уравнения

х+ ах + а х+ … + а= 0, где а , а , а , … а- целые числа, то целые корни уравнения следует искать среди делителей свободного члена.

Если целый корень хподбором найден, делим многочлен на х - х . Частное от деления – многочлен (n - 1 )- й степени. Аналогично ищем его корни.

Продолжаем этот процесс до тех пор, пока полученный после деления многочлен будет второй степени. Приравняв его к нулю, получаем уравнение второй степени, корни которого находим, решая квадратное уравнение.

2. Рассмотреть и оформить в тетрадях решение примеров:

а) х + х³ - х² - 7х – 6 = 0

Целые корни ищем среди делителей числа 6 - ± 1, ± 2, ± 3, ±6. Подставив эти числа в уравнение, находим корень х = 1. Разделим многочлен на х + 1:

- 20 -

х + х³ - х² - 7х – 6

х + х³

- х² - 7х

- х² - х

- 6 х – 6

- 6 х – 6

0

Решаем уравнение х³ - х – 6 = 0. Получим х = 2. Выполним деление

х³ - х - 6 х – 2

х³ - 2х² х² + 2х + 3

2х² - х

2х² - 4х

3х – 6

3х – 6

0

Решая уравнение х² + 2х + 3 = 0, находим, что оно не имеет действительных корней.

Ответ: -1; 2.

б) Решить уравнение

5х³ - 6х² + 11х – 2 = 0.

Умножим обе части уравнения на 5². Получим:

- 21 -

5³ х³ - 6· 5²х² + 55·5х – 50 = 0. Введём замену

5х = у, (**)

Получим у³ - 6у² + 55у – 50 = 0.

Целые корни найдём среди целых делителей числа 50, то есть среди чисел ± 1, ±2, ± 5, ± 10, ± 25, ± 50). Имеем у= 1.

Частное от деления многочлена у³ = 6 у² + 55 у – 50 на у = 1 даёт трёхчлен

у² - 5 у + 50, который не имеет действительных корней.

Возвращаясь к замене (**), получим х = .

Ответ: х = .

Дидактический материал:

Решить уравнения:

а) х- 2х³ + 5х² - 8х + 4 = 0

Ответ: х = 1.

б) х- 3х³ + х² + 3х – 2 = 0

Ответ: х = 1, х = 2, х = - 1.

в) х- 3х³ - 8х² + 12х + 16 = 0

Ответ: х = -1, х = 2, х = 4, х = - 2.

Тема: Формулы Виета, их применение к решению уравнений

высоких степеней.

Цель. Рассмотреть формулы Виета для уравнений 3и 4степени. Научиться применять их при решении уравнений 3и 4степени с параметрами.

- 22 -

Рассмотреть формулы Виета для уравнений 3и 4степени.

1. Сумма корней приведённого уравнения степени n равна второму коэффициенту с противоположным знаком;

2. сумма различных произведений корней, взятых по два, равна третьему коэффициенту;

3. сумма различных произведений корней, взятых по три, равна четвёртому коэффициенту с противоположным знаком и т.д;

4. произведение корней равно свободному члену со знаком, равным ( - 1 ) .

Рассмотреть и оформить в тетрадях решение примеров а, б.

а). Решить уравнение

х³ - 6х² + 3х +а = 0,

если известно, что его корни составляют арифметическую прогрессию.

Решение. По теореме Виета

х+ х+ х= 6

хх+ хх+ хх= 3

ххх= - а.

Запишем эти уравнения в виде:

( х + х) + х= 6, (*)

х( х + х) + хх= 3, (**)

ххх= - а. (***)

Поскольку х , х , хсоставляют арифметическую прогрессию, то х+ х= 2хи тогда с уравнения (*) найдём 2х+ х= 6, х= 2, а с уравнения (**) получим

8 + хх= 3, хх= - 5.

Подставив х= 2 и хх= - 5 в уравнение (***), получим а = 10.

Решив уравнение х³ - 6х² + 3х + 10 = 0, найдём х= - 1, х= 2, х= 5.

Ответ : -1; 2; 5.

- 23 -

б) При каких значениях а и b корни уравнения ах+ bх² + 1 соствляют арифметическую прогрессию?

Решение. Пусть корни уравнения х , х , х , х составляют арифметическую прогрессию. Тогда х+ х = х+ х . Но по теореме Виета х + х + х + х = 0,

хх+ хх+ хх+ хх+ хх+ хх=

х х хх = .

С уравнения (*) и свойства прогрессии следует , что х + х = х + х=0.

Отсюда х= - х , х= - х . Используя данные соотношения между корнями уравнений (**) и (***), получим

Используя найденные соотношения между корнями, запишем прогрессию, которую создают корни, в виде х , х , - х , - х . Тогда по свойству арифметической прогрессии 2 х = х- х , получим х= 3 х .

или

Отсюда а = .

Ответ: при любом b 0 и а = .

- 24 -

Дидактический материал.

а) При каком значении а сумма трёх корней уравнения

х - 11 х ³ + ах² - 61 х + 30 = 0, равняется 15?

Ответ: а=41, х = 1, х =2, х =3, х =5.

б) При каком значении а корни уравнения

х³ - 9х² + ах – 15 = 0

создают геометрическую прогрессию, разность которой равна 2? Найти корни уравнения.

Ответ: а=23, х = 1, х = 3, х =5.

в) При каком значении а корни уравнения

х + 5х³ + ах² - 40х + 64 = 0

создают геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен -2? Найти корни уравнения.

Ответ: а= - 30, х = 1, х = - 2, х= 4, х = -8.

Тема: Зависимость между коэффициентами уравнений, её применение

к решению уравнений. Возвратные уравнения.

Цель: Рассмотреть зависимость между коэффициентами уравнений,

уметь применять её при решении уравнений, усвоить понятие

возвратного уравнения.

Содержание:

1. Рассмотреть уравнения вида

ах + bх³ + сх² + bх + а = 0

( т.е. уравнение четвёртой степени ), у которых равны коэффициенты, одинаково удалённые от начала и от конца. Такие уравнения называют возвратными. Для решения этого уравнения разделим обе части на х² и

- 25 -

сгруппируем члены с одинаковыми коэффициентами .

Получим а ( х² + ) + b ( х + ) + с = 0. Введём замену

х + = у, получим а ( у² - 2 ) + b у + с = 0.

Решив его и вернувшись к замене, решим уравнение

х + = у и х + = у , найдём х.

2. Рассмотреть уравнение

ах + bх³ + сх² + dх + e = 0.

Если между коэффициентами выполняются зависимость

а + b = b + с + d = d + e , то левая часть уравнения раскладывается на множители, одним из которых будет х² - х + 1 .

3. Рассмотреть уравнение вида

( х – а ) ( х – b) ( x – d ) = А, где а < b < c < d,

b - а = d – c, можно решить, используя замену переменных

у = х - .

4. Рассмотреть уравнение вида

( х – а ) ( х _ b ) ( x – d ) = А х², если а b = cd, то решение сводится к решению совокупности двух квадратных уравнений при помощи замены у = х + ; если выполняется зависимость , то ввести замену .

- 26 -

5. Рассмотреть уравнение вида

( х + а )+ ( х + b ) = А

и ( х + а ) - ( х + b)= С.

Их можно решать, используя замену х = у - .

6. Рассмотреть и записать в тетрадях решение уравнений.

Решить уравнение

а) 6 х+ 35 х³ + 62 х² + 35 х + 6 = 0.

Решение: Введём замену х + = у, получим

6 ( у² - 2 ) + 35 у + 62 = 0.

Его корнями являются у= - ; у =- . Решая уравнение

х + = - , находим корни х= - 3; х= - , а из уравнения х + = - корни х = - 2; х= - .

Ответ: - 3; - ; - 2; - .

б) х+ 2 х³ + 3х² - 2х + 5 = 0

Решение: 1 + 2 = 2 + 3 – 2 = - 2 + 5. Равенство выполняется, то левая часть уравнения делится на х² - х + 1. Уравнение примет вид:

( х² - х + 1 ) ( х² + 3х + 5 ) = 0

Ответ: нет действительных корней.

в) ( 6 – х )+ ( 8 – х )= 16

Решение: Введёт замену у = = 7 – х, получим

( у + 1 )+ ( у – 1 )= 16 или у+ 6у² - 7 = 0.

Решив биквадратное уравнение, получим

у= 1; у= - 1. Вернувшись к замене, получим

- 27 -

х= 8; х= 6.

Ответ: 6 ; 8.

г) ( х + 2 ) ( х + 3 ) ( х + 8 ) ( х + 12 ) = 4 х²

Указание: В левой части уравнения перемножить скобки 1 и 4, 2 и 3. Преобразовать выражение, учесть, что х = 0 не является корнем уравнения, разделим обе части на х², ввести замену х + = у. Получим

( у + 14 ) ( у + 11 ) = 4. Отсюда у= 15, у= - 10. Вернувшись к замене, получим х = - ; х= - ; х= - 6; х= -4.

Ответ : - ; -6; -4.

Дидактический материал:

Решить уравнения:

1. х+ 2х³ + 3х² - 2х + 1 = 0 Ответ : нет действительных корней.

2. . х- 2х³ - х² - 2х + 1 = 0 Ответ : .

3. ( 2х² - 3х + 1 ) ( 2х² + 5х + 1 ) = 9х² Ответ : - ;.

4. ( х + 3 )- ( х – 1 )= 64 Ответ : - 1.

5. х+ ( х – 2 )= 2 Ответ : 1.

6. ( х + 1 )- ( х + 3 )= - 32 Ответ : - 1; - 3.

- 28 -

Итоговое занятие

Семинар на тему : « Самое лучшее из решений. За и против».

Цель: Определить эффективность изучения курса учащимися.

Дидактический материал

Решить уравнения:

1. + = - 1 Ответ : 1.

2. 6х³ + х² - 11х – 6 = 0 Ответ : - 1; ; - .

3. х³ - 5 х - 12 = 0 Ответ : 3.

4. х³ + 2005 х + 2006 = 0 Ответ : - 1.

5. х+ х³ - 11 х² - 5 х + 30 = 0 Ответ : 2; -3; - ; .

6. = Ответ : 2.

7, 3 х = - х+ 4 Ответ : 1.

8. 4 х- 16 х³ + 7х² - 32 х + 16 = 0 Ответ : 4; .

9. ( х + 2 )- х= 32 Ответ : 0; -2.

10. ( х – 1) ( х+ 1 ) ( х + 3 ) ( х + 5 ) = 105 Ответ : - 6; 2.

11. 2 х+ 3 х³ - 4 х² - 3 х + 2 = 0 Ответ : -1; 1; -2; .

12. При каких положительных значениях с уравнение 2 х + =5 х – 1 не имеет корней? ( Решить уравнение графически и аналитически ).

Ответ: 0 <c < 4 .

13. ( х² - 2 х – 1 ) = Ответ: 1; 4.

14. + = 0 Ответ : нет решения.

- 29 -

15. Решить уравнение

х³ + х² + 2х + а = 0, зная, что оно имеет три различных корня, образующих геометрическую прогрессию.

Ответ : а=8; х =-1; х =-2; х =-4.

16. Решите уравнение х³ + х² + а = 0. зная, что оно имеет три различных корня, образующих арифметическую прогрессию.

Ответ : а = - ; х= - -; х=- ; х = - .

17. , где х – целое положительное число.

Ответ : 7.

18. х + х² + х³ + … = 5 Ответ : .

19. = х Ответ : 3.

- 30 -

Критерии оценки эффективности реализации программы ( успешности учащихся)

Ученик получает зачёт ( оценка не ниже « 4» ) при условии :

1. Выполнения не менее 2 обязательных заданий из «Дидактического материала», представленных в условленный срок, в предложенной учителем форме с соблюдением стандартных требований к их оформлению

2. Дополнительные баллы выставляются за:

а) качественно выполненное задание по собственной инициативе;

б) решение заданий из других источников;

в) решение уравнений различными способами.

Для промежуточной аттестации рекомендовать:

1. Решение учеником в качестве домашнего индивидуального задания предложенных учителем задач из «Дидактического материала». Большинство задач данного курса – это задания, в которых предлагается самостоятельно установить алгоритм решения, т.е. провести небольшое самостоятельное математическое исследование, что существенно способствует развитию логического мышления, или

2. Решение группой учащихся в качестве домашнего задания предложенных учителем задач из «Дидактического материала» или из какого – либо другого источника.

Итоговое занятие – семинар «Самое лучшее из решений. «За» и «Против»».

- 31 -

Литература

М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник задач по алгебре для 8 – 9 классов. М., «Просвещение», 1992

И.Л. Никольская, Факультативный курс по математике для 7 – 9 классов средней школы. М., «Просвещение», 1993

П.И. Горнштейн, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Задачи с параметрами М., Илекса, Харьков, «Гимназия», 1998

О. Гайштут. Решение задач и упражнений. Киев, «Магистр S», 2000

О.В. Куликова, А.И. Рурукин, Ю.А Сафарова. Решение задач по алгебре и геометрии для учащихся 9 классов. М., «Заочная школа МИФИ» , 2004

Л.В. Кованцова, И. Г. Малышев. Сборник задач по математике. Киев, «Вища школа». 1999

М.И. Сканави. Решение конкурсных задач по математике. М., «Инфолайн», 1995

В.В. Вавилов. Задачи по математике. Алгебра. М., «Наука». 1987

К.М. Расулов, В.П. Василенков, Ю.Г. Елисеев. Смоленские математические олимпиады школьников. Смоленск, 1995

М.К. Потапов, А.В. Шевкин. О решении уравнений вида φ ( φ ( х )) = х. Математика в школе № 5. 2005

Адрес публикации: https://www.prodlenka.org/metodicheskie-razrabotki/146621-jelektivnyj-kurs-dlja-uchaschihsja-9-h-klasso